常微分方程中Riccati類型不等式的探討

◎胡玉璽 王 娜 楊晨晨 (.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京) 理學(xué)院， 北京 00083；.北京信息科技大學(xué)，北京 009)

常微分方程是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)重要的基礎(chǔ)課，求解一般的常微分方程是學(xué)生應(yīng)該要掌握的內(nèi)容.但是，并非所有的常微分方程都可以求解，特別是對(duì)非線性的常微分方程.Riccati方程是一類非線性微分方程，它的形式如下：

(1)

該方程是由意大利學(xué)者Riccati在1724年提出.盡管方程(1)形式非常簡(jiǎn)單，但截至目前，仍然沒(méi)有有效的方法去求解該方程.法國(guó)數(shù)學(xué)家Liouville在1841年對(duì)一類簡(jiǎn)單的Riccati方程：

證明只有當(dāng)

方程的通解才可以用初等函數(shù)及其積分表述出來(lái),參考[1,2].從上面我們可以看出，Riccati方程的求解是非常困難的，國(guó)內(nèi)學(xué)者也有一些深入的探討，參考[3].

雖然Riccati方程(1)的求解很困難，但是當(dāng)系數(shù)b(t)=c(t)=0時(shí)，Riccati方程退化為一個(gè)可以變量分離形式的一階非線性常微分方程，它的求解是很簡(jiǎn)單的.為探究方程(1)的一些定性性質(zhì)，不妨假設(shè)a(t)=1，則方程(1)解的表達(dá)式如下：

其中y0是初值.從上述解的表達(dá)式可以看出，當(dāng)初值y0滿足一定條件時(shí)，Riccati方程的解會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破.這刻畫了非線性方程很重要的性質(zhì).遺憾的是，只有形式非常簡(jiǎn)單的Riccati方程才可以有初等解.這啟發(fā)我們，既然Riccati方程的求解如此困難，我們能否考慮Riccati類型的不等式并得到解的一些定性性質(zhì)呢？事實(shí)上，在流體力學(xué)方程組中已經(jīng)多次出現(xiàn)Riccati類型的不等式，參考[2].我們首先看簡(jiǎn)單的Riccati類型不等式，假設(shè)函數(shù)y(x)滿足

問(wèn)題是當(dāng)初始值y0滿足什么條件時(shí)，上述問(wèn)題的解整體存在或者在有限時(shí)間內(nèi)爆破？

對(duì)上式兩邊關(guān)于t積分，可以得到

如果初始值y0>0,則有

下面我們對(duì)Liouville研究的特殊Riccati方程，給出相應(yīng)的Riccati不等式，即研究如下的問(wèn)題：假設(shè)函數(shù)y(x)滿足

(2)

問(wèn)題是：當(dāng)初始值y0滿足什么條件時(shí)，上述問(wèn)題的解y(t)在某個(gè)時(shí)刻t0處爆破？

需要指出的是，如果把(2)式的“≥”變成等號(hào)，則相應(yīng)的方程是沒(méi)有初等函數(shù)形式的解，因而更無(wú)從研究解的定性性質(zhì).如果把Riccati方程的等號(hào)變成不等號(hào)，相應(yīng)的解的空間會(huì)擴(kuò)大很多，繼而可以得到滿足(2)的初等函數(shù)形式的解并研究它們的性質(zhì).

在具體證明之前，我們先分析一下上述不等式.不等式左邊是函數(shù)y(t)的變化率，右邊有兩項(xiàng)，其中y2這一項(xiàng)是對(duì)y(t)有增長(zhǎng)作用，t2對(duì)y(t)有抑制作用，所以需要選擇合適的初值，使得增長(zhǎng)作用大于抑制作用，進(jìn)而保證函數(shù)y(t)一直非線性增長(zhǎng)直至無(wú)窮.

我們將用偏微分方程中常用的脫靴(bootstrap)技巧來(lái)給出上述問(wèn)題的答案.首先我們假設(shè)

y(t)2≥2t2.

(3)

上述假設(shè)屬于先驗(yàn)假設(shè)，后續(xù)我們驗(yàn)證(3)式成立.因此，由(2)和(3)式可以得到

(4)

對(duì)(4)中的不等式兩端關(guān)于t積分，可以得到

因此，對(duì)上式通分便得到

(5)

引理1：假設(shè)(3)式成立，并且y0≥1，則有

y(t)2≥4t2.

(6)

(7)

易知，上式不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)

y0-2t+y0t2≥0.

(8)

因此(8)式成立，進(jìn)而(7)式成立，證明結(jié)束.

由引理1可知，先驗(yàn)假設(shè)(3)成立.事實(shí)上，我們可以定義

定理：假設(shè)y0≥1，則Riccati類型不等式(4)的解y(t)一定在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

注記1：上述定理關(guān)于初值的條件y0≥1可以進(jìn)一步優(yōu)化.事實(shí)上，先驗(yàn)假設(shè)(3)可以設(shè)為

y(t)2≥at2,a>1.

(9)

由上面分析，在假設(shè)(9)成立的條件下，我們可以得到

(10)

(7)

上述不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)

注記2：我們可以把Riccati不等式中的t2替換為任意的函數(shù)a(t),通過(guò)討論a(t)的性質(zhì)以及初值條件來(lái)說(shuō)明解y(t)在有限時(shí)間內(nèi)爆破.