例談構(gòu)造函數(shù)法在解題中的應(yīng)用

◎陳惟前 (江蘇省揚州市新華中學，江蘇 揚州 225009)

我們知道數(shù)學解題中要善于挖掘題目中的隱含條件，通過對題干和結(jié)論內(nèi)容進行梳理和分析，才能將原本模糊的內(nèi)容更加清晰地表現(xiàn)出來，這個過程一般都需要利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，蘊含著豐富的數(shù)學思想與數(shù)學方法，相當一部分函數(shù)、方程和不等式等問題需要通過構(gòu)造相關(guān)函數(shù)并巧妙運用函數(shù)性質(zhì)加以解決.此類題目難度大、靈活性強，因此倍受命題者的青睞.今天筆者就學生在解決函數(shù)、方程、不等式、表達式等問題時經(jīng)常遇到的需通過構(gòu)造函數(shù)并借助于函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)加以解決的問題進行簡單小敘，總結(jié)構(gòu)造函數(shù)的常用方法以饗讀者.

一、利用分離參數(shù)法構(gòu)造函數(shù)

例1已知函數(shù)f(x)=exlnx-aex(a∈R),若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________.

評注利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造不等式恒成立問題，解決恒成立問題常常用分離參數(shù)法，通過分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.

二、利用直接作差法構(gòu)造函數(shù)

三、利用式子特殊結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)

則f′(t)=2017t2016+2013>0，所以f(t)=t2017+2013t+1為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以x-1=1-y，則x+y=2，故答案為：2.

評注這個例題解決了解方程問題，通過發(fā)現(xiàn)式子結(jié)構(gòu)的規(guī)律性特征，構(gòu)造同一個函數(shù)解決問題，考查了邏輯推理能力.

四、利用結(jié)構(gòu)對稱性構(gòu)造函數(shù)

分析根據(jù)條件恒等變形(要明確x1,x2的大小關(guān)系，不妨設(shè)x1>x2)把原問題轉(zhuǎn)化為f(x1)-2x1>f(x2)-2x2恒成立，根據(jù)式子兩邊的對稱性可知，構(gòu)造函數(shù)，g(x)=f(x)-2x,則g(x1)>g(x2)，又x1>x2，所以g(x)=f(x)-2x在(0,+∞)上為增函數(shù)，利用單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為上述例1的情形加以解決.

評注本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想的靈活運用，通過恒等變形發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的對稱性，從而想到構(gòu)造函數(shù)，將問題化歸為函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問題.

五、利用幾何意義構(gòu)造函數(shù)

例5設(shè)直線x=m與函數(shù)f(x)=x2+1，g(x)=x+lnx的圖像分別交于P(m,yP),Q(m,yQ)兩點，則|yP-yQ|的最小值為________.

分析由題意知|yP-yQ|是兩點P,Q間距離，所以用點P縱坐標減去點Q縱坐標，從而構(gòu)造出函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值即可.

所以，當x=1時，所設(shè)函數(shù)的最小值為1，所以|PQ|的最小值為1.

評注本題考查表達式最小值問題，解題方法是利用幾何意義轉(zhuǎn)化已知條件，從而得到目標函數(shù)，通過函數(shù)求最值解決問題.

六、利用減元法構(gòu)造函數(shù)

(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)證明：x1x2>e2.

評注減元是解決本類問題的主導思想，構(gòu)建齊次式是關(guān)鍵，所證表達式、關(guān)系式若能轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1,x2的齊次式，就能通過此方法達到構(gòu)造函數(shù)的目的.

七、利用主元法構(gòu)造函數(shù)

評注證明兩個變量的不等式時，可以將其中一個變量看成自變量另一個為常量處理，本題也可把a看作自變量.

函數(shù)、方程及不等式是高中階段重要的數(shù)學內(nèi)容，而運用函數(shù)構(gòu)造的方式來進行數(shù)學問題解決也是十分重要的解題思想運用.構(gòu)造函數(shù)解題需要我們深入分析問題的結(jié)構(gòu)特征和內(nèi)在規(guī)律，結(jié)合所學的數(shù)學知識，轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，它是函數(shù)思想的重要體現(xiàn),需要采取觀察、分析、聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化等策略，借助于相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)學問題.相信只要我們勤于思考，數(shù)學解題能力一定能夠有所提升.