用函數觀點處理遞推數列的模式

◎賈廣素 齊 偉 (山東省孔子國際學校,山東 濟寧 272000)

一、利用函數的圖像研究數列的性質

若將數列{an}的遞推式記成an+1=f(an)，a1=f(x)，則a2=f(a1)=f(f(x))，a3=f(a2)=f(f(f(x)))，…，此過程可如此繼續下去，數列的遞推問題實質就是函數的迭代問題，可以用“蛛網模型”作圖展示，直觀分析出函數的單調性、有界性、周期性等.

A.2019 B.2018 C.4038 D.4037

(2019年清華大學THUSSAT測試)

(2019年杭州市二模擬)

解析考慮函數f(x)=-x2+cx-1，在同一坐標系中作出f(x)=-x2+cx-1與y=x的圖像.

如果c≤0，則a2≤0，不滿足{an}單調遞增，從而知c>0.由a2=-1+c-1>a1=1，知c>3.

如果AB段不是單調遞增的話，就會出現如圖所示左右擺動轉圈圈的情況，這顯然不滿足{an}單調遞增.

二、利用不動點理論簡化遞推關系

當已知數列的首項a1和遞推式an+1=f(an)時，可以提煉an+1與an的函數關系式y=f(x)，若方程f(x)=x有根x0(此根為函數y=f(x)圖像與函數y=x圖像交點的橫坐標)，就可以將遞推式變成以下兩種情形：

情形一an+1-x0=f(an-x0)，令bn=an-x0，代入消元得bn，將問題轉化為研究數列{bn}；

(2020年山東省模擬考試)

從而原不等式得證.

C.當b=-2時，a10>10 D.當b=-4時，a10>10

(2019年浙江省高考)

對于選項C：令an+1=an=x，x=x2-2，即x2-x-2=0，由(x-2)(x+1)=0，則x=-1或x=2，令a=-1，則a10=-1<10，故C錯誤；

三、利用函數的值域研究數列的范圍

對于已知數列首項a1和遞推式an+1=f(an)，求證：G(an)

(2020年濟南市一模)

四、將數列前n項和問題轉化為項的范圍

如果所證式一側為某個數列的前n項和的形式，我們也可將待證不等式的另一側看作是另一個數列的前n項和，通過研究相對應項之間的大小關系，從而使不等式的證明得以解決.

(1)判斷x>0時，f(x)-h(x)的零點個數，并加以說明；

(2)正項數列{an}滿足a1=1，ane-an+1=f(an).

①判斷數列{an}的單調性，并加以證明；

(2020年山東省三校聯考)

令φ(x)=ex-x-1，x>0,從而φ′(x)=ex-1>0，所以φ(x)在(0，+∞)上單調遞增，又φ(x)>φ(0)=0，所以f(x)-h(x)>0，從而f(x)-h(x)的零點個數為0.

(2)由于ane-an+1=f(an)，知an+1=lnan-lnf(an)，從而可知

an+1-an=lnan-lnf(an)-an=lnan-[ln(ean-1)-an]-an=lnan-ln(ean-1)

由(1)知，當an>0時，有1+an

從而an+1

令g(x)=2xex-e2x+1(x>0)，從而g′(x)=2ex+2xex-2e2x=2ex(1+x-ex)，由(1)知1+x-ex<0，從而g′(x)<0，g(x)

結束語

遞推數列作為高考數學的一塊十分重要的內容，如何用函數的方法統一高效地幫助學生思考此類問題是高中教師備考的重點，希望本文能給大家提供一些幫助.