淺談利用單位圓解決三角函數問題

◎韓 燁 (吉林師范大學,吉林 長春 130000)

1.通過單位圓探究三角函數

1.1 認識單位圓

在我們的數學學習過程中有一個十分關鍵的數學工具，那就是——“圓”.圓具有渾然天成的美感，“單位圓”是我們對圓進行的更為深入細致的定義.在我們以往的學習當中對“單位圓”進行這樣的定義：以“1”為半徑的圓叫作單位圓.單位圓的方程為：x2+y2=1，由單位圓我們可以誘導出復平面、幾何反演變換、指數映射等等相關問題.

“單位圓”在數學學習中占據著十分重要的地位，是解題的好幫手，是開啟三角函數學習的金鑰匙.在解決三角函數的問題中單位圓有著十分廣泛的應用，對我們能夠正確理解和運用正弦函數，余弦函數，正切函數的定義和性質，繪制函數的圖像有重要的作用.我們也能夠更加直觀地得到三角函數的一些信息.為了更好更快地解決三角函數的相關問題，熟練掌握并靈活運用單位圓的概念和性質是首要準備.

1.2 認識三角函數

三角函數的定義:三角函數是基本初等函數之一，三角函數通常是以角度為其自變量，再由角度對應任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數，或者也可以用單位圓中的對應線段的長度來進行定義，我們把這樣的函數稱為三角函數.三角函數是我們高中數學學習中至關重要的一環，其地位與重要性影響著接下來諸多內容的學習.

1.3 利用單位圓探究三角函數

“終邊定義法”作為我們最早認識三角函數的方法，的確在初期的學習中占據著主要的地位，但隨著學習的深入、知識的豐富、方法的更新以及問題的復雜程度增加，終邊定義法已經失去明顯的優勢，不利于后期知識的學習.所以我們提出了更為簡單清楚的方法.

為了追求更為簡便的方法，獲得更為直觀的表達，“單位圓定義法”出現在我們的視野當中.假如我們用更為直觀的“單位圓定義法”來對三角函數進行定義的話，對理解三角函數來說是否更有幫助？為了解決這一問題，我們將數形結合的數學思想貫穿于其中，同時在定義三角函數的過程中我們運用了單位圓的特點.

單位圓定義法的引入，對正弦、余弦函數的計算過程帶來更為容易理解的簡化.同時，也更好地凸顯出三角函數最為重要的特點——周期性.在一定程度上來說，我們可以將三角函數的基本性質(周期性，奇偶性)看作是圓的一種直觀表達，把單位圓當作學習三角函數的載體，使得我們可以更好地將兩者結合在一起共同學習.

引入了單位圓，利用單位圓的特性,運用三角函數與單位圓之間的重要聯系.舉例來說我們可以通過某一角的三角函數值來確定其在單位圓上與之對應的坐標,也可以通過已知單位圓上與之對應的坐標來確定角所對應的函數值等一些有關的問題.我們不難看出單位圓的重要地位，作為經常應用的一種簡單方法，單位圓以其直觀性，具象化常常出現在我們的解題過程當中.對此我們應該重點推廣單位圓在三角函數中的應用，為接下來的學習奠定基礎.

通過利用單位圓的對稱性和具象性，充分調動數形結合的數學思想，將這一思想貫穿于全部的解題過程當中，有利于我們解決三角函數的問題.將單位圓的優勢發揮到極致，使原本有些難以理解的三角函數的學習變得簡單明了.

1.4 單位圓在三角函數中的作用

通過學習單位圓為接下來學習三角函數做好鋪墊.靈活利用單位圓，學會十分巧妙地構造單位圓，把單位圓作為解決三角函數問題的橋梁，將問題帶入到單位圓的圖形之中，運用數形結合的思想，使解題變得具象化，體現了單位圓的重要性.

掌握了具有直觀、形象等特點于一身的單位圓，以及學會利用數形結合的思想來理解問題，能夠將數形結合的思想熟練運用于三角函數的相關性質、推導過程的理解當中，能夠解決多種三角函數的相關問題.使三角函數的問題由難化易，思路明了，快速準確.

單位圓在三角函數中的廣泛應用，在以下幾個方面表現得尤為突出：

(1)練掌握三角函數的公式.由于單位圓具有對稱的特性，我們可以引發學生對單位圓對稱性的思考與應用，通過討論、畫圖等操作，我們不難看出，三角函數的誘導公式可以通過單位圓上所對應的對稱點及其坐標間的關系來進行表達.從而使公式二到公式六，這五個公式形成一個整體，便于理解記憶，方便表達與運用.

(2)定義任意角的三角函數.傳統的在直角三角形中定義三角函數的方法已經不能滿足我們的需要，所以我們將在單位圓中對三角函數進行定義.這種定義方法更加靈活實用，有利于我們解決復雜的問題.首先我們通過觀察點所在的區域來確定各函數值的正負，再通過具體坐標計算出函數值.這一方法將廣泛應用于三角函數的計算當中，對推廣三角函數的基本關系式以及誘導公式有著至關重要的作用.

(3)推廣誘導公式.在三角函數的解題過程中誘導公式有著重要的地位，是解答三角函數問題必不可少的手段之一.通過觀察直角坐標系中的單位圓，利用單位圓的幾何直觀效果，我們不難看出角α的終邊與角β的終邊關于y軸對稱，并且與單位圓的交點的縱坐標相等，橫坐標的絕對值相等且符號相反.

(4)利用單位圓中的三角函數線熟練地繪制三角函數的圖像.我們可以快速地從圖像上直觀發現三角函數的特性，解決有關三角函數問題時靈活地利用三角函數線可以達到事半功倍的效果.

不同于其他函數單調枯燥的解題過程，三角函數有著諸多的解題方法，而我們經常使用的方法主要是定義法和圖像法，其中圖像法以其直觀方便的特點常常被用于解答較為復雜的三角函數問題.當我們解答三角函數的問題時首先要弄清楚三角函數的性質.在掌握三角函數的性質并且對三角函數建立起初步的認識之后，我們發現以往的方法具有一定的局限性，在面對復雜的問題時，應該尋求更加簡便的方法來解決問題.面對這樣的情況我們巧妙地引入了單位圓，通過運用單位圓本身直觀的形象，準確簡便等特性，利用相關的數學知識，使三角函數問題由難化易，由繁變簡，思路明確，方法準確.

2.解題中的具體應用及技巧

2.1 比較三角函數值的大小

解題技巧：比較函數值以及對應角的大小等問題通常出現在填空或選擇題當中，比較基礎但不容忽視.在比較三角函數值大小的問題時,有時會出現如上題當中三角函數值與角直接進行比較的類型，有時會出現不同角的函數值需要比較，如果問題不能通過直接比較或簡單的計算得出結論,那我們不妨換一種思路，可以尋求另外一種解題方法.解決此類問題主要運用單位圓在三角函數中的應用來進行思考,將普通的比較問題經由數形結合的方法轉化為圖形的形式，將所有的角以及數值都結合在同一個單位圓當中，便于比較與計算.

2.2 求三角函數的定義域

解題技巧：在遇到需要我們使用簡便方法來解決所求變量的取值范圍問題時,單位圓起著不容忽視的作用,它比通常的三角函數解題過程更加直觀,對提高解題效率有很大的幫助,同時能夠掌握更多解題的技巧和方法.但在使用此方法解題時,需要學生對平面直角坐標系有一定認識和掌握,并且對坐標系中各個象限的性質及規律能夠熟練掌握，這樣才能夠又快又準地解決此類求范圍的問題.

2.3 求三角函數值

2.4 證明三角函數不等式

證首先根據題目條件構建單位圓如圖1，得，sinα=QP，cosα=OQ.

在△OPQ中，QP+OQ>OP.

所以，sinα+cosα>1.

通過比較面積的表達式，不難發現存在這樣一種關系:S△OPB+S△OPA

綜上，問題得以證明.

3.結語

本文著重介紹了利用單位圓探究三角函數，以及在基本題型中單位圓的初步應用.通過以上對單位圓在三角函數中的應用的探究，我們不難發現，單位圓對解決三角函數問題的作用重大.由于單位圓的直觀性使它成為研究三角函數的一個不可或缺的重要工具.當我們面對三角函數問題時，首先運用單位圓，再結合數形結合的數學思想，然后借助圖像，利用圖像將問題直觀地呈現出來，從而達到所求目標.在我們關注一個概念的同時，更應該注重它的應用和推廣.

數形結合思想是伴隨我們整個數學學習生涯始終的思想，是學習數學的靈魂.“數”與“形”密不可分，緊密相關.“數”與“形”只有在充分結合的情況下才能夠發揮出最大的作用.在三角函數的解題過程當中，單位圓的身影時常出現.作為解決三角函數問題的好幫手而出現的單位圓，無疑將數形結合的解題方法和優勢發揮得淋漓盡致.

單位圓的引入為解決三角函數問題架設了新的橋梁，提供了有力的幫助，當運用單位圓解決三角函數一些基礎的問題時，單位圓成了不二選擇，奠定了單位圓在解決三角函數問題中的重要地位.