利用練習課教學，實現融會貫通
——模型思想在數學練習課中的教學體驗

◎黃 赤 (湖南省湘潭市湘潭縣天易水竹學校，湖南 湘潭 411100)

有很多學生認為要學好初中數學是一件很困難的事.根據筆者的經驗，這些學生存在的問題，分為以下幾種情況：

①將學不好初中數學的原因歸結為小學階段的應用題沒學好；②學習定理時，沒有認真理解定理的推導，不知道如何用幾何語言表達自己的想法和思路，能想出答案，但寫不出規范過程；③對已學知識沒有歸納、總結，無法將方法進行靈活運用；④看不出題目中的隱含條件，無法把已知條件、圖形語言與需要證明的結論相聯系.

針對以上四種妨礙學生學好數學的情況，我嘗試將數學模型融入練習課教學中，針對性地進行模型訓練，在學生掌握一些常用結論的推導后，再進行同類習題的練習.經過由陌生到熟悉的過程，學生輕松體會到成功的喜悅，自然而然就提高了學習興趣，進而增強了解題能力.

因此，練習課的重點是：熟悉模型，熟悉模型中固定結論的推導及原理.例如，講解湘教版八下數學課本的復習題1第7題，我們是這樣做的：

例1如圖1(左)，已知∠AOB=30°，P是∠AOB的平分線上一點，CP∥OB，交OA于點C，PD⊥OB，垂足為點D，且PC=4，求PD的長.

從題中我們發現，將角平分線和平行線相結合，可以得到一個等腰三角形，這是由一般到特殊的過程，歸納為：

模型一：

角平分線+平行線得等腰三角形(如圖1).

學生通過探究，發現平行線、角平分線、等腰三角形，三個結論中任取其中兩個條件，就可以推導出另一個結論，正是知其二而得一.接著我們發現這道題中還涉及角平分線的性質，于是我們又深入探討角平分線的性質，得到以下兩種與角平分線有關的類型.

類型1角平分線的性質

已知：OP平分∠AOB，過點P作PF⊥OA,PE⊥OB,

則：PE=PF，△OEP≌△OFP并對稱.

歸納為：

模型二：

角平分線+兩垂直得對稱全等(如圖2左).

類型2角平分線+一垂直

已知：OP平分∠AOB，PC⊥OP于點P,延長CP交OB于點D,

則：點P是CD的中點，PC=PD，△OCD是等腰三角形，△OCP≌△ODP(這個全等不是三線合一來的，而是利用角邊角定理證明出來的，這是學生的易錯點.)

歸納為：

模型三：

角平分線+一垂直得等腰三角形(如圖2右).接下來再讓學生練習下列7個習題.

①如圖3，平行四邊形ABCD的周長為20 cm，AE平分∠BAD.若CE=2 cm，則AB=________.

②如圖4，在平行四邊形ABCD中，∠D=100°,∠DAB的平分線AE交DC于點E，連接BE，若AE=AB.求∠EBC的度數.

③如圖5，點D、E分別是AB，AC的中點，BE是∠ABC的平分線，有下列結論：①BC=2DE；②DE∥BC；③BD=DE；④BE⊥AC.其中正確的是( ).

A. ①② B. ①②③ C.①②④ D.①②③④

這三個題中圖形的形狀雖然與圖1不一樣，但其條件與我們研究的模型一相同，所以學生在理解了模型一的基礎上，對于這類問題就能迎刃而解.

④如圖6，OP平分∠AOB，PE⊥OB于點E，PE=5,求點P到OA的距離的最小值.

⑤如圖7，在Rt△ABC,∠ABC=90°,CD平分∠ACB交AB于點D，DE⊥AC于點E，BF∥DE交CD于點F.求證：DE=BF.

⑥如圖8，△ABC中∠A=90°,AB=AC，BD是∠ABC的平分線，請說明AB+AD=BC.

通過這道題回顧作輔助線的常用方法——截長補短法.

⑦如圖9，已知在四邊形ABCD中，BC>AB,AD=CD,BD平分∠ABC，求證：∠BAD+∠BCD=180°

⑧如圖10，AD∥BC，點E在線段AB上，DE，CE分別為∠ADC，∠BCD的平分線.求證：CD=AD+BC.

第⑧題的圖10，讓我們很容易聯想到三垂直模型，于是做如下訓練.

例2如圖11，∠DCE=90°,CD=EC,DA⊥AB于點A，EB⊥AB于點B,試猜想AB與AD、BE之間的關系，并證明.

三垂直模型中，我們可以得到既定的結論：∠ACD=∠E,當DC=CE時，兩三角形全等.

如圖12 ，AB=BC,BC⊥AB于點B,FC⊥CB于點C，E為BC上一點，BE=CF,試探究AE與BF之間的關系，并證明.

圖11與圖12都有三個垂直，所以基本結論相同，利用互余找出相等的角，如果有線段相等，那么就會有全等三角形.

三垂直模型與一線三等角模型是很相似的，學生由八年級升入九年級，隨著知識的增加，用發散思維讓學生自己研究這些數學模型，將結論進一步完善，所謂“授之以漁”，才是教師教學的主要目的.

由此發現，在習題教學中融入模型思想訓練后，學生在做習題時，只要遇到類似模型的問題就能更快速、準確地找到解題的方法和途徑，還會在復雜問題中，分解出自己所熟悉的模型，從中“化繁為簡”，提高了解題速度，優化了解題過程，豐富解題內涵.

但凡事過猶不及，過分地強調和突出“模型”，容易導致學生忽視知識的本源，放棄最自然的解題思路的形成，從而禁錮了思維.所以我們主張，模型的應用需要學生具有一定的知識和能力的積累，不宜以模型思維包打一切.在講授模型法解題的同時，更應注意突出模型的知識本源，形成基于通性通法的自然思路，這才是提高解題能力、優化思維品質的必由之路.

“問渠那得清如許？為有源頭活水來.”為提高學生的解題能力，在練習課中利用模型教學是一個很好的途徑.