數學抽象素養培養的教學策略

◎李澤禹 (吉林師范大學數學學院，吉林 長春 136000)

隨著經濟的發展、科學技術的進步，現代社會對人才培養的要求也日益提高.對此，我國的教育政策做出了一些調整，1999年開始全面實施素質教育.對于數學教育方面，提出不再是簡單的知識傳授，而是數學素養教學.在《普通高中數學課程標準》中首次提出了六大核心素養，即：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析.處于首要地位的數學抽象，是數學的基本思想，同時也是培養學生良好的理性思維的基礎.

一、掌握數學抽象能力的必要性

發展學生的數學抽象素養具有十分重要意義.首先，數學是一門相對抽象的學科，具備較強的數學抽象能力是認識和研究數學對象的重要前提.另外，數學學習不是零散的、片面的，而是需要建立一個系統的知識體系，理解知識之間的內在聯系，有利于更加深入學習.另外，數學學習不僅僅是為了解題，而是讓學生通過一定的題目加深對公式、定理等數學知識的理解，利用數學解決生活中的問題.因此培養數學抽象素養很有必要.

二、數學抽象素養培養的教學策略

1.深度開發教材，智慧運用教材

教材是教學設計的基礎，通過對教材進行仔細研究，我們會發現教材中的內容與生活實際聯系密切，在生活素材選擇和數學知識產生過程中，教材編纂者會進行一些巧妙的設計，這些設計為我們實踐指明了方向.所以教師就要在分析教材時運用智慧，剖析教材.雖然教材的內容具有系統性和整體性，但是教師可以根據學生實際發展水平對教材內容進行合理的開發和調整，盡量同學生實際生活相聯系，從而使學生將數學知識進行內化.例如，在講授集合的特點時，可以將班級的所有同學定義為班級這個集合中的元素，利用提問的方式進行引導，問學生：他們自己是不是集合中的一部分？緊接著又問：其他班的某位同學屬不屬于這個集合中的一部分，讓學生結合教材內容針對集合的定義展開探討，從而對集合與元素的定義理解更加深刻.通過這樣的教學方式可以充分調動學生的學習熱情，另外把數學聯系生活可以將數學知識深化.整個過程幫助他們正確運用知識，促進他們從班級分類的實例到對集合抽象定義的一般化規律總結，提高學生的數學抽象核心素養水平.

2.尋找邏輯關系，加強內部聯系

數學教材的編制主要以章節的形式，各個章節之間的內容既相互獨立又相互聯系.這就要求教師在教學中，要把握好每個章節知識的關聯性，利用課堂教學、習題訓練、章末小結等環節引導學生發現數學知識間的關聯性，同時，教師讓學生對所學內容進行梳理和概括，通過知識的總結進一步提高他們的數學抽象水平.可按照如下流程操作：首先，在進行章末總結時，可采取對比、歸納和構建思維導圖的方法，架構起本章知識的脈絡以及與其他章節間的聯系.再者，教師在教學中要注意把握好本節課所學新知識與先前內容之間的聯系，讓學生通過對比分析、加深理解.例如，在三角函數的學習中，教師可以將正弦、余弦和正切這三個函數從概念、計算、圖形、特殊值等方面進行類比，幫助學生從宏觀上對該部分進行把握，從而形成知識網絡.

3.利用數形結合，尋找解題方法

史寧中教授把數學抽象劃分為：數量與數量關系的抽象，圖形與圖形關系的抽象，虛擬和現實的抽象.想要解決數學抽象的有關問題，首要任務是把感性認識和直觀體驗兩者之間進行結合.數無形不直觀，形無數不入微，所以數形結合是提升數學抽象水平的有效途徑.利用圖形解決問題，學生會將一些比較抽象的知識轉化成圖形直觀，以便更加容易理解和解答.例如：f(x)定義域為R，f(x)=f(x+a)，學生們僅通過代數式往往無法理解其具體含義，這時借助圖形化的手段思考，就會變得簡單且直觀.相反，對于某些比較復雜的圖形，我們無法直接從圖形中捕捉信息，這時候，我們可以利用坐標系等手段，將幾何問題轉化成代數問題，從而更加容易求解.例如，在空間立體幾何中，求二面角的有關問題，我們直接通過圖形較難求解，但是如果將其轉化為求法向量的夾角就變得容易許多.由此我們發現，數形結合對于提高課堂效率、培養學生抽象能力具有重要作用.

4.引導學生表述，提高概括能力

語言表述是數學抽象的首要過程.首先，需要從事物中提取其本質特征，接下來利用語言或文字的方式進行表述.我們常見的類型就是下定義或者提出新概念.能對事物進行精煉且準確的概括，這種能力是數學學習的基礎，其中包括兩個方面：第一，是分析和比較的辨異思維；第二，是概括與總結的求同思維.因此，概括能力對于發展數學抽象來說十分重要.例如，在初中階段一次函數的概念教學中，教師通過展示生活中發生的幾個實例，讓學生根據題干信息列出等式，并引導學生歸納概括所有等式所具有的共同特征，最后通過師生合作得出一次函數的定義.

5.巧用數學模型，提高思維水平

在教學過程中落實數學抽象需要利用一些有效的手段，其中數學建模就是一條重要途徑.通過數學建模有助于數學抽象素養的形成，在一定程度上，將數學問題進行抽象化可以看成構建數學模型的過程.另外，建模是數學問題在形式層面的抽象，比語言表述更加具有概括性和精煉性.同時，利用數學建模還可以將實際問題轉化為數學問題，最終用數學方法加以解決.例如，在教學過程中向學生拓展一些經典的數學模型，以及用數學模型解決實際問題的案例，學會從數學模型的角度以抽象視角看待我們所需要解決的問題，提升了學生在實際問題中應用數學知識的能力，從而提高數學抽象素養.我們可以設計一個數學模型的課堂實踐活動，從而引入本節內容.例如，把15個大小相同的乒乓球放在一個不透明的箱子里，并按照順序從1～15進行編號，一次只取一個小球，記錄數據并放回.通過這個活動可以發現，每一次抽取的過程中，這15個乒乓球中每一個小球被抽到的機會是相等的.通過這個數學模型的建立,幫助學生掌握古典概型的定義、性質以及產生所需要的前提條件，進而提升數學抽象素養.

6.利用數學活動，感知產生過程

7.采用小組合作，構建抽象模式

在教學的過程中，作為教師要力求改變以往“灌輸式”教學模式，創建不同的學習小組，提高學生的交流與合作意識，從而提升學習興趣.在與組內成員共同探究某一問題時，能夠互相取長補短，相互學習，拓展思維.同時，在分組中要注意以下問題：第一，每個小組人數要均衡，在4—6人左右，組內要實現學習能力較強的學生與學習能力較弱的學生數量上的均衡，從而小組成員能夠達到相互幫助的效果.第二，要保持良好的紀律性.教師可以采取定時定量的方式，規定學生一定時間內講解的習題量，教師嚴格檢查，對于不合作的學生，要進行批評教育，從而維護良好的紀律.例如，在“直線與平面的位置關系”的教學中，通過上一節“直線與直線位置關系”的學習對學生進行啟發誘導，從公共點數量角度進行分類，讓學生針對問題展開小組討論，各抒己見，讓不同思維進行交融，最終獲得答案.在討論的過程中，不斷碰撞和統一，最終形成正確的抽象思維模式.

8.用好數學史，提升趣味性

在數學教學中，將數學史知識自然地滲透到課程中，可以讓學生加深對某一理論或者數學家的認識.將數學史知識融入課堂，可以幫助學生了解數學知識的產生過程，增強學生的文化素養，讓學生獲得全面發展.以“勾股定理”的教學為例，在課程開始時，教師可以向學生講述畢達哥拉斯去朋友家做客發生的故事，既向學生介紹了數學史的知識，也達到利用數學故事引入新課的目的.接下來教師引導學生動手操作，第一步，讓學生拿出一張方格紙，在方格紙上畫出自己喜歡的直角三角形，完成后同學們互相觀察發現每位同學畫的直角三角形是不同的.第二步，讓學生以自己所畫三角形的三邊為邊長畫正方形，引導學生發現這三個正方形面積之間的關系，并提示學生利用割補法計算.第三步，在學生完成計算后向多名學生提問，檢驗發現的規律是否具有普遍性.最后教師順勢將學生的操作過程與畢達哥拉斯的故事聯系在一起，共同得出勾股定理的結論，通過各個教學環節的緊密銜接最大限度地發展學生的數學抽象素養.

三、結束語

綜上所述，要想培養學生的數學抽象素養，教師需要對教學的各個環節合理地控制，充分了解學生和研究教材，巧妙地設計教學情境，循循善誘，幫助學生構建知識網絡，同時將所學知識聯系生活實際，解決生活中的問題.培養學生抽象概括能力、系統學習能力以及自主解決問題的能力，全面地提高學生的數學抽象素養.從而讓學生得到全面發展，為社會主義建設培養更加優秀的人才.