淺談矩陣秩的求法

◎薛麗娜 (太原廣播電視大學，山西 太原 030000)

矩陣的秩是刻畫矩陣特征的重要參數，矩陣秩的求解和應用對學生而言也是重中之重，以下結合實例介紹矩陣秩的幾種常用的求解方法：定義法、初等變換法、轉換為向量組的秩求解和分塊矩陣法.

1 定義法

定義：矩陣A的非零子式的最高階數稱為矩陣A的秩，記為r(A)或秩(A).

定義法求矩陣的秩適用于階數較小的矩陣.求解方法即在矩陣A中尋找非零的r階子式(存在即可)，且高于r階的子式均為零 ，則稱r為矩陣A的秩.

2 初等變換法

矩陣的初等變換(行變換和列變換)不改變矩陣的秩，故可通過初等變換將矩陣簡化為階梯矩陣，階梯矩陣非零行的行數即為矩陣的秩.

解將矩陣A進行初等變換：

由上述可知矩陣A經過初等變換轉化為非零行數為1的階梯矩陣，因此r(A)=1.

3 轉化為向量組的秩

所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩；矩陣的列秩就是矩陣的列向量組的秩.

矩陣的行秩與列秩是相等的，統稱為矩陣的秩.因此求解矩陣的秩可以轉化為求解矩陣向量組(行向量組或列向量組)的秩，即求向量組極大線性無關組所含向量的個數.

令k1α1+k2α2=0，即k1(1,-1,0,0)′+k2(-1,2,1,1)′=(k1-k2,-k1+2·k2,k2,k2)=(0,0,0,0)，

可得k1=k2=0，因此向量α1與向量α2線性無關.

再令k1α1+k2α2+k3α3=0，即

k1(1,-1,0,0)′+k2(-1,2,1,1)′+k3(0,1,1,1)′=(k1-k2,-k1+2·k2+k3,k2+k3,k2+k3)=(0,0,0,0)，

可得k1=k2=1，k3=-1，因此向量α1、α2和α3線性相關.

同理可得向量α1、α2和α4線性無關，α1、α2和α5線性無關，α1、α3和α4線性無關，α1、α3和α5線性無關，α1、α2、α3和α4線性相關，α1、α2、α3和α5線性相關，α1、α2、α4和α5線性相關，α1、α3、α4和α5線性相關，α2、α3、α4和α5線性相關，因此矩陣A的秩為3，即r(A)=3.

4 分塊矩陣法

對于復雜的高階矩陣，上述幾種方法并非最優的解決辦法，在此介紹分塊矩陣法可使高階矩陣的秩的求解變得更加簡單，分塊矩陣法主要利用降階的思想.

代入矩陣：

故r(M)=2.

以上幾種方法的介紹，能幫助學生較好地理解求矩陣秩的基本方法.對于階數較小的數字矩陣優先采取定義法、初等變換法或轉化為向量組的秩進行求解，對于階數較高的復雜矩陣優先采用分塊矩陣法進行求解，熟練掌握這些方法會達到事半功倍的效果.