構建數學演繹圖式，讓說理可視化

林彩蓮

【摘要】推理能力的培養是義務教育課程改革的重要目標。“演繹”是重要的推理方式之一，“演繹推理用于證明結論”，人們借助它可以有條理地思考，迅速地解決問題。在“演繹”的幫助下，學生的數學思路往往能夠迅速得以理清。而“理”是抽象的，以形象思維為主的兒童要把“理”說清楚是件難事。本文試圖在“形象”與“抽象”之間，建構框架、連線、表格、流程、數線等數學演繹圖式作為直觀支撐，讓兒童把說理的過程以圖式的形式呈現，借助語言與思維、語言與圖式的聯結與轉換，把抽象的“理”化為看得見的“圖”，讓理據呈現，讓思維可見，實現認知的構建和思維的進階。

【關鍵詞】小學數學;演繹推理能力;圖式建構;說理;可視化;

一、數學演繹圖式策略的提出

小學生的思維，由具體形象思維向抽象邏輯思維發展。因此，在小學階段要適時地滲透演繹推理，引導學生學習演繹推理的過程，培育學生的演繹推理能力，體會演繹推理帶來的成功感。學生的演繹推理能力除了會隨著年齡由低級形式向高級形式發展以外，更重要的是通過外在的、恰當的教學策略可以使其相關知識得到增長的同時能力也會得到一定的提升。在小學數學教學中，對說理規范開展訓練可以提高學生演繹推理的能力。然而，“理”是抽象的，處于由形象思維逐步向抽象思維發展的小學生往往對“是什么”信心滿滿，而一旦問“為什么”則“敬而遠之”，產生畏難情緒。

近年來，我們通過引導學生構建演繹圖式進行說理的實踐，把“圖式”作為鏈接抽象說理與形象表達的重要通道，讓兒童的說理可視化，符合小學生的認知特點，是提高小學生演繹推理能力的有效路徑。

二、數學演繹圖式的解讀

所謂圖式，是“人們為了應付某一特定情境而產生的認知結構”，是信息處理所依據的最基本單位，是一種視覺思維的方式。數學圖式，就是學生在數學學習活動中形成的一種用來學習數學知識和解決數學問題所特有的認知方式。劉秀梅教授從四個角度將其分為九種圖式（見圖1），演繹圖式屬于數學論證圖式之一，因此，數學演繹圖式是一種數學論證方式，是學生在數學分析和問題解決中形成的。常見的數學演繹推理圖式思維工具的形式有：框架圖、連線、流程圖、表格和數線圖。

數學圖式是重要的可視化思維方式，和幾何直觀的內涵一致，更是一種適合小學生的生成性學習方式，可以促進知識由表面認知到深層理解，促進學生由被動學習到主動建構，促進學習由整齊劃一到個性體驗。使用個性化圖形、符號表征的數學圖式比用規范的幾何圖形表征的幾何直觀更受小學生的青睞。

根據皮亞杰的認知發展理論，學生的學習經歷就是圖式的不斷增刪、改組和完善的歷程。經實踐驗證，在教學中帶著學生構建適宜的演繹圖式，用好數學知識的內在邏輯聯系，可以幫助學生說出推理的依據，說出“為什么”，做到言之有據，理清法明。

三、演繹圖式策略的教學運用

（一）構建框架圖式，讓數的相等關系理得清

在小學數學“數與代數”領域，在“湊十法”、“破十法”、“口算兩位數加減兩位數”等計算教學中，學生表達思考計算的過程以及單位換算的過程，這都屬于演繹推理。如果在學生表述算理和算法的過程中配以框架圖式作為可視化工具支撐，有利于算理、算法的深層抽象和自主構建，可以推進學生演繹推理能力的發展。

【教學片斷1】9+幾

師：同學們都喜歡把盒子外面的1瓶牛奶放進箱子湊成10 ，10 加剩下的3就是13。1和3是怎么得來的？你是怎么想的？

生1：我是這樣想的，把外面的4盒牛奶分成1盒和3盒，1盒加9盒等于10盒，10盒加3盒等于13盒。

生2：我也是把4分為1和3，1和9湊成10，10加3等于13。

師：你為什么要湊十？

生2：因為10加幾就得十幾，有了10，計算就很方便。

師：請你再說一遍，讓我把你的方法記下來。（隨著學生的再次表述進行板書）（見圖2）

師：一起來觀察板書，我們剛才是怎樣計算9+4=13的？請跟同桌說一說。

師：我們一起說一說計算過程。

生齊說：把4分成1和3，1和9湊成10，10加3等于13。

師：也就是見到9就想——

生齊說：1。

師：像這樣當加法算式中沒有10的時候，能夠想辦法湊出10 的方法叫做“湊十法”。

以上片斷，通過“湊十法”來計算“9+幾”的過程，體現了演繹推理的過程。如果僅借助實物來表達算法、算理的推理過程，不利于兒童抽象思維的培養;如果僅用純粹的語言表達算法、算理的推理過程，抽象的“理”又會把剛從幼兒園過來的“小不點”搞懵或者閉嘴不說。因此，在讓兒童親自參與“移一移”“算一算”“說一說”等活動的基礎上，教師通過構建框架圖，把非形式化的演繹推理直觀呈現出來，呈現并強化了“湊十”的思維過程，加深了學生對算理的理解，讓學生在理清思路的過程中，培育了初步的推理意識和能力，以及抽象概括能力，積累了運用圖式表達推理過程的經驗。

【教學片段2】3噸50千克 =（? ? ?）千克

師：3噸50千克 =（? ? ?）千克 ，請同學們獨立完成，并把自己的思考過程表示出來后跟同桌說一說。

師：誰上來介紹自己的思考過程？

生：（投影學生框架圖）（見圖3）我是這樣想的，把3噸50千克分為兩部分：3噸和50千克，3噸就是3000千克，3000千克加50千克就是3050千克，那么，3噸50千克就等于3050千克。

上述教學中，教師創立了可視化的問題情境，引導學生用自己樂意的方式來表述思考過程，在一年級“湊十法”“破十法”、兩位數加減法口算等圖式表達的類比遷移下，學生自然而然會使用框架圖呈現自己的推理過程，清楚表達數量的相等關系，有效地提升了思維、表達的一致性和完整性。