新高考數(shù)列求和與不等式證明解決策略

胡勇進(jìn)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，也是高考熱點(diǎn)之一。隨著新高考改革，2021年高考數(shù)學(xué)題型改變，選做題離場(chǎng)，數(shù)列重回高考大題穩(wěn)定題型。數(shù)列大題的設(shè)問(wèn)一般為求數(shù)列通項(xiàng)和數(shù)列求和，其中數(shù)列求和的題型由對(duì)常規(guī)的等差、等比數(shù)列求和、分組求和、倒序求和、裂項(xiàng)求和和錯(cuò)位求和這六種基本求和方法的考查，回歸到數(shù)列求和與不等式的證明的綜合考查。數(shù)列與不等式的綜合考查中的放縮法又是高考數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，有的省份獨(dú)立命題的時(shí)候經(jīng)常作為高考的壓軸題出現(xiàn)，全國(guó)卷的考查勢(shì)必也會(huì)有所側(cè)重，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維要求也會(huì)提高。通過(guò)數(shù)列與不等式的綜合考查發(fā)展學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)，提升學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想。利用放縮法證明數(shù)列不等式的考查可以更好地提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和轉(zhuǎn)化思想，是高考的數(shù)學(xué)難點(diǎn)。放縮法的題型靈活、技巧性強(qiáng)，如何恰到好處成功放縮反映學(xué)生處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析能力和轉(zhuǎn)化思想。

數(shù)列求和的六種常規(guī)方法都是有公式運(yùn)算或是套路運(yùn)算的，而數(shù)列與不等式綜合問(wèn)題就需要學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，放縮法證明數(shù)列不等式中如何更好地把握放縮的“度”尤為重要，結(jié)合自己在教學(xué)過(guò)程中的體會(huì)，談一談在教學(xué)過(guò)程中如何提升學(xué)生的放縮能力和教會(huì)學(xué)生如何積累一些典型的放縮題型和解決方法。

高考中常考的放縮法技巧有裂項(xiàng)相消放縮法、構(gòu)造等比數(shù)列模型放縮法、整體與部分項(xiàng)放縮法這三種。數(shù)列求和方法的選擇是由數(shù)列通項(xiàng)決定的，通項(xiàng)的裂項(xiàng)放縮法高考中考查的次數(shù)較多。

本題觀察通項(xiàng)分母結(jié)構(gòu)為等比通項(xiàng)減去一個(gè)常數(shù)，如果沒(méi)有這個(gè)常數(shù)我們就可以直接等比求和了，所以我們把等比通項(xiàng)3n拆分為2·3n-1+3n-1，把3n-1和常數(shù)-1結(jié)合進(jìn)行放縮，把通項(xiàng)放縮成等比通項(xiàng)以達(dá)到等比求和效果。

放縮法考查學(xué)生靈活處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，從數(shù)列不等式證明中是否需要放縮，如何根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)特征確定放縮目標(biāo)模型，通過(guò)放縮法讓數(shù)列不等式證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可求和、可求積的常規(guī)數(shù)列求和模型。在放縮法證明數(shù)列不等式的教學(xué)中，我們教師可以通過(guò)教學(xué)過(guò)程有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生積累總結(jié)一些常用放縮模型和放縮方法的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生恰到好處的放縮能力和放縮技巧，靈活運(yùn)用放縮法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提升邏輯推理數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。讓我們的學(xué)生經(jīng)歷觸題、思題、破題的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，感受放縮法處理數(shù)列不等式問(wèn)題的數(shù)學(xué)魅力，體味數(shù)學(xué)的無(wú)窮奧妙。