巧手折數學有趣又有用

呂紅范

摘 要：折紙，是需要在有限的一個單位大的紙上進行科學的、近乎極致地分配，才能呈現出美麗的作品.越是復雜的成品，越需要進行精密的計算，里面蘊含了很多數學的知識.尤其是設計一個作品的時候，甚至還會用到大學微積分的概念.現代折紙與數學的完美結合，為折紙提供了無限可能，也將折紙與數學這兩門看似毫不相干的學科聯系了起來，使我們感受折紙當中蘊含的數學美與數學文化。

關鍵詞：巧手折數學;有趣又有用;高中"數學折紙"課程;開發與實踐

引言

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提到學生通過高中數學的學習，達成“會用數學眼光觀察現實世界，會用數學思維思考現實世界，會用數學語言表達現實世界”的教學目標.教師在教學過程中需要完成這樣的的目標需要利用好教學的各個環節進行滲透相關的數學意識.讓學生感受到數學就在身邊，學習數學能夠解決許多的生活問題，從而提高學生學習數學的興趣.在教學的過程中，為了提高教學效果，教師會想各種辦法開發教學資源，滲透相關的教學意識，完成相關的教學目標，比如利用學生身邊的教學資源“紙”，課堂上教師根據教學內容把紙折成不同的形狀，讓學生去觀察、分析、總結相關的數學知識，在教學目標得到完成的同時讓學生感受到數學的奇妙，以達到教育教學的目的。

一、利用折紙引入教學內容

在數學的教學過程中，教師需要利用與課題密切相關的教學情境引入教學內容.在一節課或者一章內容的開始，利用新穎的方式引入教學內容，會使學生對相關的數學知識或者相關教學章節留下較深的教學印象，從而對數學的學習產生積極影響.例如在講解《指數函數》新授課時，可以讓學生拿出一張紙，進行對折，折五至六次，讓學生在折疊的過程中仔細觀察認真思考，從不同的角度把自己的發現表達出來.有些學生在折疊的過程中會發現紙的厚度以2倍的形式增加，紙的面積以二分之一的關系減少.從而抓住學生的發現，引入指數函數的相關內容.在整個教學的過程中，利用折紙進行教學.學生學的很輕松，教師教的也很輕松.例如在講《圓錐曲線》這一章內容時，首先讓學生拿出一張圓形紙片，在圓內任取不同于圓心的一點F，將紙片折起，使圓周過點F，然后將紙片展開，就得到一條折痕l（為了看清楚，可把直線l畫出來），這樣繼續折下去，得到若干折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成什么曲線？其次讓學生在紙上畫一個圓O，在圓外任取一定點F，將紙片折起，使圓周通過F然后展開紙片，得到一條折痕l.這樣繼續下去得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？最后讓學生拿出一張長方形ABCD紙片的一個角斜折，使點D總是在對邊AB上，然后展開紙片，就得到一條折痕l這樣繼續下去得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？通過學生的操作，學生得到了橢圓、雙曲線、拋物線，針對學生的操作，告訴學生學習的主題，學生的學習興趣迅速得到激發，為后面的教學做好鋪墊.從折紙出發，引出操作過程中所蘊含的數學知識，引導學生進行積極的思考，從而點出教學內容，使學生對自己的操作能夠由表入里進行研究，以達到激發學生對所學習內容產生濃厚的興趣，迅速喚起學生相關數學認知行為，促使學生積極主動探究思考，提高課堂效率的效果。

二、利用折紙探究數學知識

數學中折紙問題，學生比較容易動手進行操作，操作的過程中紙的變化具有很強的直觀感，也使得折紙具有很強的趣味性.折紙能培養學生空間想象能力以及發現問題、分析問題和解決問題能力，是開展研究性學習的理想的素材.下面是一道蘊含趣味性的折紙問題的探討。

蘇教版高中數學選修2-1有一道習題：如圖2，一張長方形ABCD紙片的一個角斜折，使點D總是在對邊AB上，然后展開紙片，就得到一條折痕（為了看清楚，可把直線畫出來）這樣繼續下去得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？在此題的基礎上，通過變換相應的條件和問題，讓學生進行探究.探究的問題如下：

探究1：如圖3，一張長方形ABCD紙片，點E為AD上的動點，沿著CE對折，試探求點D折后所形成的點F的軌跡是什么曲線？并求AF的最小值.

探究2：如圖4，一張長方形ABCD紙片，點E為AD上的動點，點F為CD上的動點，沿著EF對折，試探求點D折后所形成的點G的軌跡？并求AF的最小值。

探究3：如圖5，點E為AD上的動點，點F為CD上的動點，沿著EF對折，并且EF為定長，試探求點D折后所形成的點G的軌跡？

探究4：如圖6，一張長方形ABCD紙片，AD=a，將矩形紙片的右下角折起，使得該角的頂點落在矩形的左邊上，那么折痕EF長度l取決于角的大小.探求l，θ之間的關系式，并求l的取值范圍。

在此探究的過程中，學生會根據條件和問題去選擇合適的解決問題的方法，在解決問題的過程中學生應用數學的意識得到培養，學生的思維得到鍛煉.學生探究問題的過程，即是應用數學知識的過程，也是創造數學知識的過程。

三、復習鞏固回顧

數學實驗課，讓我們的課堂可以不再“一支筆一張紙打天下”，同時讓知識的傳輸由單方向向多方向發展。它提高了學生在數學課堂中的參與度，當學生全身心地融入實驗中時，他們的主觀能動性會得到充分的發揮。教材中有許多的實驗題，或者說是動手操作題，被許多教師忽略，其實，這些實驗題是學生體驗數學生成的絕佳材料。數學實驗讓學生初步實踐數學知識的來龍去脈，以及利用數學與知識解決實際問題的全過程，而實驗的結果不僅僅是數學知識的建構和推導，它還反映了學生對數學原理、數學方法的掌握程度和數學應用的能力，因此數學實驗可以增強學生對世界的認知能力和知識應用能力。

結束語

在教學過程中，教師根據教學內容，引導學生從教學情境出發，通過情境演示、仔細觀察、操作與實驗，思考總結，獲得對數學相關問題和知識的感性認識，然后通過對相關問題和知識的歸納、猜想與類比的加工，使獲得的感性知識上升為理性認識.教師的啟發和引導在教學過程中是必要的，動手操作的過程不僅能加深學生對數學知識學習過程的感悟與體驗，而且能培養學生相應的數學能力。折紙是教學過程中培養學生“會用數學眼光觀察現實世界，會用數學思維思考現實世界，會用數學語言表達現實世界”的一個素材，在學生的身邊很多類似這樣的素材，需要教師在教學過程中去用心挖掘。

參考文獻：

[1]高建平.折紙在高中幾何教學中的應用[D].蘇州大學，2018.

[2]段義峰.高中數學折紙活動促進學生創造性思維品質養成的研究[D].山東師范大學，2017.

[3]徐晶. 高中數學折紙校本課程開發與實踐[D].上海師范大學，2014.