高中數學導數高考試題分析與教學路徑探究

張夏榮

摘 要：高中數學高考二輪復習中，關于導數及其應用的復習教學，教師需要通過分析近年來導數高考試題的主要內容，得出一定的考察規律，引入豐富的教學資源，創設與實施科學高效的教學路徑。通過教學實踐、問卷調查等，在認真分析高考數學中導數相關內容的基礎上，需要結合導數基礎知識與進行導數導向教學、根據導數高考試題與平衡初等高等關系、指導學生推理論證與培育學生思維能力、總結導數解題規律與指導高效解題方法，從而提升高中數學導數復習效果。落實以上復習教學策略，更好為高考數學做好充分準備。

關鍵詞：高中數學;導數;高考試題;基礎知識;解題思維

新課改與新高考的背景下，通過認真研讀近五年的全國各地的高考數學中的導數題目，結合其中考察的知識點、思想方法、數學相關能力，探析其中蘊含的數學思想方法，需要轉變傳統的教育教學模式，更加注重引領學生自主學習與合作探究，構建“先學后教、以學定教”的教學路徑。近年來的高考數學中越來越重視對于導數的考察，高中數學二輪復習中需要加強導數的復習。高中數學中的導數及其應用內容豐富，有導數概念、導數計算、運用導數解答函數問題、導數的推理與證明等，教師可以結合過去導數教學中存在的問題，根據一輪復習中關于導數測試中學生存在的問題，探析更加科學、更為高效的導數復習教學路徑。

一、高中數學導數高考試題分析

通過分析近五年的全國高考數學試卷，可以總結出如下特征：一是導數及其應用的題型分布多樣，既有選擇與填空等小題，也有解答題，基礎知識多在小題中考察，重難點多在大題中考察，含有諸如導函數等高頻考點，理科數學考察內容更加綜合，比如像2020年全國卷一的選擇題6、填空題13、解答題21等，都涉及到導數及其應用的知識;二是文理科數學的導函數考察比較穩定，但是文理科具體考察內容具有一些差異，比如文科數學注重考察指數函數、對數函數、三角函數等;三是注重考察數學思想方法與解題方式，很多題目需要運用分類討論、數形結合、轉化與劃歸等思想方法進行解答，重視考察學生的運算解題能力，比如2020年全國卷一的20題第二問，需要分為“當CD⊥x軸和當CD和x軸不垂直”兩種情況討論。通過分析可知，高考數學中導數及其應用的試題，主要考察的函數背景的基礎知識，注重考察學生的數學核心素養、數學思想方法與數學解題能力等，因此教師可以根據這些情況進行針對性復習指導。

二、高中數學導數復習教學路徑

（一）結合導數基礎知識，進行導數導向教學

高中數學二輪復習中，教師首先需要結合導數基礎知識，制作豐富的導數復習學案，輔助學生更好進行自主復習。教師可以在導數復習學案中融入高考試題中經常考察的導數基礎知識，這樣可以進行導數導向教學，進而提升學生自主復習的效果，為解答各類導數題目打好基礎[1]。

例如，根據人教A版的高中數學導數基礎知識內容，教師在復習學案中融入導數概念與幾何意義、導數運算、導數研究函數的運用（單調性與極值問題等）、生活與生產活動的優化（最大（小）值問題等）等，引導學生自主復習這些基礎知識。比如對于導數與函數的最大（小）值，教師可以在復習學案上融入求函數y=f（x）在[a，b]上最大（小）值的步驟：一是求函數y=f（x）在[a，b]內極值;二是比較函數y=f（x）各個極值和端點處函數值f（a），f（b），最大為最大值，最小為最小值。

（二）根據導數高考試題，平衡初等高等關系

新課改背景下，人教A版的高中數學的導數部分也加入了高等數學的一些內容，這對于開闊學生的視野、培養學生的數學思維、提高學生的解題能力等具有重要的作用，可以促進學生構建完善的數學知識架構[2]。但是以往教學中教師不太注重教授學生高等數學，學生本身也很難掌握這方面的知識，無法有效培養學生利用高等數學知識解答高中數學的能力。所以高中數學二輪復習中需要根據導數高考試題，平衡初等數學與高等數學的關系，指導學生運用初等數學解答問題。

例如，全國卷三的21題中，題干是：設函數f（x）=x2+bx+c，曲線y=f（x）在點（1/2，f（1/2））處切線和y軸垂直，問題是求b，以及：若f（x）有一個絕對值不大于1的零點，請證明f（x）所有零點絕對值都不大于1。對于這類導函數的問題，教師可以指導學生運用導數在函數中的應用分析，然后根據學生解答情況，指導學生運用分類討論數學思想，分析題意和畫出大概圖像，然后予以解答。

（三）指導學生推理論證，培育學生思維能力

數學思想方法對于解答數學問題具有非常重要的作用，能夠更好優化解題思路，提高解答數學問題的效率[3]。同時，在解答特定的數學題目時，比如選擇、填空、判斷等題目，教師可以指導學生運用特定的方法進行推理論證，以此培育學生思維能力和解題能力，提高導數復習的效果。

例如，有這樣一個判斷題：函數f（x）=sinx+1/sinx關于以下四個命題是真命題的為：①f（x）圖像關于y軸對稱;②f（x）圖像關于原點對稱;③f（x）圖形關于直線x=π/2對稱;④f（x）最小值是2。教師可以先讓學生自主分析與判斷此題，然后指導學生推理論證進行判斷：因為奇函數+奇函數=奇函數，所以可以直接判斷①和②錯誤;因為奇函數有負值，所以④錯誤;之后通過計算f（π/2+x）與f（π/2-x），得出兩者相等，所以判斷③正確。

（四）總結導數解題規律，指導高效解題方法

對于高中數學二輪復習中導數的復習，為幫助學生更好解答各類導數相關的題目，提高解題能力，教師可以總結導數解題規律，指導學生高效的解題方法，進而更好達成導數復習的目標。

例如，關于導數對于研究函數的應用，在復習函數的極值和導數的項目時，需要讓學生認識到極值反應的是函數在某點附近的大小狀況，基于此內容指導學生求函數y=f（x）極值方法：一是如果在x0附近左側f’（x）>0，右側f’（x）<0，那么f（x0）是極大值，反之則為極小值。通過有效指導教學，提升本項知識復習效果。

結語

綜上所述，以上分析高中數學導數高考試題的主要內容與相關內涵，探析新課改與新高考背景下關于導數及其應用二輪復習的教學路徑，根據高中生的基本學習情況與復習狀況，引入針對性的復習資源，創設多元化的復習教學策略，引領學生自主復習，培養學生數學思維與解題能力，幫助學生提高導數復習效果。

參考文獻：

[1]邢志科. 高中數學導數高考試題分析與教學策略研究[J]. 高考， 2020（28）：27.

[2]朱群娣. 高中數學導數高考試題分析與教學策略研究[J]. 高考， 2019（24）：129-129.

[3]李金花. 高中數學導數高考試題分析與教學策略研究[D]. 贛南師范大學.2018.