課堂教學中如何培養學生的數形結合能力

摘 要：眾所周知，高中數學題型復雜多變，解題思想方法較多，其中數形結合思想能簡化解題步驟，提高解題效率以及學生的數學成績，因此，高中數學課堂教學中，應認識到數形結合思想的重要性，圍繞具體教學內容，尋找相關的教學對策，積極培養學生的數形結合能力，使其掌握這一解題的重要方法.

關鍵詞：高中數學;課堂教學;數形結合;能力

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）06-0008-02

收稿日期：2020-11-25

作者簡介：陳華蘭（1976.5-），女，福建省壽寧人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

“數”與“形”有著密切的聯系，通過“形”能直觀的看到“數”間的關系，減少不必要的計算，而運用“數”可對“形”進行精確的計算.高中數學課堂教學中培養學生使用數形結合思想的解題意識，有助于提高學生思維的靈活性，解答數學問題時能夠選擇最佳途徑，促進其解題能力以及水平的提高.

一、結合教材，打牢數形結合基礎

數形結合包括“以形助數”和“以數解形”兩個方面，其中“以形助數”指借助圖形分析數間的內在關系.學生對該方面較為熟悉，如借助函數圖像解答相關問題.“以數解形”通常將“形”放到平面或空間直角坐標系中，通過“數”的運算解決相關“形”的問題.授課中引導學生重視教材，牢記教材中各種方程、函數對應的圖像，并能根據定義域范圍準確的繪制出相關圖形.同時，結合教材內容適當拓展，使其能夠準確繪制出一些特殊的圖形.另外，“以數解形”，構建坐標系時引導學生不要盲目，應認真觀察圖形，建立合適的坐標系，降低計算量.

在講解三角函數知識時，通過學習教材學生對y=sinx、y=cosx以及y=tanx已經比較熟悉，能靈活繪制對應圖像并采用數形結合法解答一些題.但一些習題中往往涉及稍微復雜的函數，為使其能夠運用函數性質，繪制正確的圖像，教學中應結合以往經驗適當對函數圖像進行拓展.比如以下函數，要求學生能夠運用所學知識畫出其圖像：y=sin|x|，y=x+sinx，y=xsinx.

顯然針對y=sin|x|可知其為偶函數，學生可先繪制出y=sinx（x>0）的圖像，而后將其關于y軸對稱即可，難度并不大.但對于y=x+sinx，y=xsinx兩個函數圖像的繪制難度較大.授課中為學生講解圖像繪制技巧時，要求學生靈活運用函數的奇偶性，找到其關鍵點進行繪制.分析可知y=x+sinx為奇函數，y=xsinx為偶函數.對兩個函數而言，原點、（π，0）是關鍵點.最終經過不斷的嘗試學生成功的繪制出兩個函數圖像，如圖1（甲）、圖1（乙）所示，為培養學生數形結合能力奠定堅實基礎.

二、講解例題，提高數形結合意識

高中數學教學中應注重例題的篩選、講解，提高學生數形結合意識，使其遇到相關題目，能夠自然的想到運用數形結合方法解答.課堂上為學生展示例題后，給學生留下一些思考時間，看學生能否解答出來.當學生百思不得其解時，可與學生一起分析解題過程，使學生親身感受題干的轉化、圖形的繪制、圖形的分析等過程，給其留下深刻印象的同時，讓其具備數形結合應用意識.同時，完成解題分析后，要求學生自己寫出解題過程以及最終的結果，而后公布正確答案，要求其對照自己的結果，以檢驗其是否真正理解.針對存在的共性問題，再集中講解.

講解三角函數知識后，可為學生講解如下例題：已知關于θ的方程為3sinθ+sinθ+a=0，假設在θ∈（0，2π）上有兩個不同實根α、β，求a的取值范圍以及對應的α+β的值.

授課中與學生一起分析解題思路，即需要根據給出的方程進行化簡，而后繪制出其在（0，2π）的圖像，借助圖像分析a的取值范圍和α+β的值.課堂上要求學生自己寫出解題步驟.經過該例題的講解，很好的提高了學生應用數形結合解題的意識，最終學生經過積極思考，正確解答出了該題，解題步驟如下：

對原方程進行化簡、移項得到新的方程為sin（θ+π3）=-a2.繪制出y=sin（θ+π3）在（0，2π）的圖像，如圖2所示：

由圖可知要想滿足題意，則32<-a2<1或-1<-a2<32.

當32<-a2<1，即，-2

當-1<-a2<32，即-3

三、注重引導，傳授數形結合技巧

高中數學課堂教學中，部分習題看似無法使用數形結合法解答，但只要對要求解的問題進行巧妙的轉化，使用數形結合法便能迎刃而解.由此可見，解題中掌握數形結合法應用技巧顯得尤為關鍵.因此，授課中應做好引導，傳授相關技巧，使學生應用數形結合法解題時少走彎路.解題時要認真審題，充分挖掘隱含條件，確定正確的定義域范圍，保證繪制圖形的正確性.同時，繪制好相關圖形后應認真觀察，結合已知條件以及所學的幾何知識，理清線段、角度之間的關系，找到已知條件與要求解問題之間的關系，靈活運用等量代換、轉化等知識解題.

講解圓相關知識時，結合以下題目傳授數形結合技巧：已知圓的方程為（x-3）2+（y-4）2=1.A、B兩點的坐標分別為（-m，0），（m，0）（m>0）.P為圓上任意一點，若滿足AP⊥PB，則m的最大值為.

授課中為使學生盡快找到解題思路，可要求學生根據題干先繪制出對應圖形，而后根據繪制的圖形，運用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，將要求的參數轉化為圓上的點到原點的距離.

在教師的啟發下學生繪制出如圖3所示的圖形，認識到OP=AO=OB=m，要使m的值最大，則OP的值最大.因為點P在圓上，所以就轉化為圓心到圓點的距離.由圓的方程為（x-3）2+（y-4）2=1可知，圓的圓心坐標為（3，4），半徑r=1.則圓心到原點的距離d=32+42=5，則m的最大值=d+r=5+1=6.

在課堂教學中培養學生的數形結合能力需要結合學生的認知規律，制定詳細的計劃，按部就班的開展培養工作.先通過教材知識的深入講解，使其打牢數形結合基礎，而后圍繞所學講解例題，提高其數形結合應用意識，尤其應給予其解題引導，使其掌握相關的技巧.另外，還應定期組織學生開展訓練活動，使其積累解題經驗，在解題中融會貫通.

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[責任編輯：李 璟]