淺談初中數學建模思想教學及應用

鄭愛萍

摘要：數學建模是將實際問題抽象轉化為數學模型，用數學方法求解模型，使問題得到解答，培養學生的解決問題的能力。

關鍵詞：數學思想? ?構建模型? ?解決問題

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A

數學模型是數學知識與數學應用的橋梁，隨著數學教學的不斷深入，重視數學知識與現實生活的聯系，發展學生的數學應用意識和應用能力，已成為數學教育發展的趨勢。數學建模將實際問題抽象轉化為數學模型，用數學方法求解模型，使問題得到解答，能夠幫助學生探索數學的應用，增強對數學學習的興趣，培養學生的創新意識與實踐能力。解決這類問題體現在數學建模思維過程中，要根據所掌握的信息和背景材料，對問題加以變形，使問題簡單化，且重要過程是根據題意建立函數、方程（或方程組）、不等式（組）等數學模型。使學生明白：數學建模過程就是通過觀察、類比、歸納、分析等數學思想，構造新的數學模型來解決問題。

本文談談如何在代數的教學中滲透數學建模的思想與思維過程。

一、構建代數式求解

列代數式表示數量關系解決問題，是一個基本的代數方法，是方程法、不等式法、函數法等的基礎，其中“公式”是它的一個典型，充分地體現出代數式的意義和作用。教學中可讓學生從所熟悉的有關計算公式著手，探討公式的特征和現實意義，知道它所反映的是事物的一般情形的本質屬性，與具體對象無關，可以利用它來簡便解決有關問題。讓學生經歷觀察、比較、歸納、提出猜想的過程，較好地理解代數式的模型特征及其應用。

例1、觀察算式：

1=12;

1+3=4=22;

1+3+5=9=32;

1+3+5+7=16=42;

1+3+5+7+9=25=52 ;……

用代數式表示這個規律（n為正整數）：1+3+5+7+9++（2n-1）=

分析與解答? 由以上各等式知，等式左端是從1開始的連續若干個奇數之和，右端是左端奇數個數的平方，由此易得1+3+5+7+…+（2n-1）=n2。填n2.

二、構建方程（不等式）求解

現實生活中廣泛存在著數量之間的相等（不等）關系。 “方程（不等式）”模型是研究現實世界數量關系的最基本的數學模型，它可以幫助人們從數量關系的角度更準確、清晰地認識、描述和把握現實世界。通過方程（不等式）建模來解決問題是一個重要代數方法，如打折銷售、分期付款、增長率、儲蓄利息、工程問題、行程問題、濃度配比等問題，常可以抽象成方程（不等式）模型，通過列方程（不等式）得以解決。教學中，從方程（不等式）的意義出發，務必使學生充分考察每一個具體的實際問題的基本情形，探索出問題中的未知量、已知量，特別是它們之間的等量（不等）關系，選取適當的未知數并假設未知數，進而列出正確的方程（不等式）夠造相應的數學模型來解決問題并作出合理性的驗證，得到所要得答案。

例、在全力抗擊新型冠狀病毒疫情工作中，為了加強救治新型肺炎患者，武漢參照北京小湯山醫院模式，積極籌建火神山和雷神山醫院.在“兩山”醫院的建設過程中，有大量的土方需要運輸.“武安”車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛運輸一次能運輸110噸土方。

（1）求“武安”車隊載重量為8噸、10噸的卡車各有多少輛？

（2）隨著工程的進展，“武安”車隊需要一次運輸沙石165噸以上，為了完成任務，準備新增購這兩種卡車共6輛，車隊有多少種購買方案，請一一寫出.

[分析]1、第（1）小題可通過方程（組）建模解決問題;第（2）利用不等式建模解決問題。

注意：在實際應用中，通過 方程（不等式）建模來解決實際問題時，注意理論與實際的聯系，往往需對模型的顯示給予合理性的驗證，以得到所要的答案。

三、構建函數關系求解

通過函數建模來解決問題是又一個重要代數方法，是教學重點，亦是教學難點。教學中，為達到較好的教學效果，應避免機械地傳授教學，在課堂上務必認真引導學生主動參與每一個具體的問題討論，鼓勵學生積極探索并交流各自的看法，準確把握每一個具體的問題中所涉及的量，并弄清哪些是常量，哪些是變量，特別是它們之間的變化關系，會用相應的數學方法加以描述，進而構造相應的函數模型并應用它合理去解決有關實際問題，現實生活中的許多問題，諸如計劃決策、最佳投資、最小成本、最大利潤、方案最優化等問題，常可建立函數模型求解。

例、某商店進行促銷活動，如果將進價為8元/件的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現采用提高售價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品的單價每漲1元，其銷售量就要減少10件，問將售價定為多少元/件時，才能使每天所賺的利潤最大？并求出最大利潤.

[分析]確定每件利潤、銷售量，根據利潤=每件利潤×銷售量，得出銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系，利用配方法確定函數的最值.

[解答]解：設銷售價每件定為x元，則每件利潤為（x﹣8）元，銷售量為[100﹣10（x﹣10）]，

根據利潤=每件利潤×銷售量，可得銷售利潤y=（x﹣8）·[100﹣10（x﹣10）]=﹣10x2+280x﹣1600=﹣10（x﹣14）2+360，

∴當x=14時，y的最大值為360元，

∴應把銷售價格定為每件14元，可使每天銷售該商品所賺利潤最大，最大利潤為360元.

[點評]此題考查二次函數的性質及其應用，將實際問題轉化為求函數最值問題，建立起函數模型，從而來解決實際問題，比較簡單。

數學建模能力的培養應貫穿于學生的整個學習過程，并激發學生的潛能，使他們能在學習數學的過程中自覺地去尋找解決問題的一般方法，真正提高數學能力與學習數學的能力. 數學應用與數學建模，其目的是要通過教師培養學生的數學意識，教會學生方法，讓學生自己去探索、研究、創新，從而提高學生解決問題的能力，讓數學進入生活，讓生活走進數學。

本文為福建省教育科學“十三五”規劃2019年度立項課題“現代化技術手段在學生作業中的應用研究”階段性成果之一，課題編號：FJJKXB19-598