高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生反思能力的措施

何惠萍

摘 要：高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，由于數(shù)學(xué)知識(shí)本身具有較強(qiáng)的邏輯性和一定的難度，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)效果、解題能力的差異，導(dǎo)致學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，不利于提升學(xué)習(xí)能力，不利于形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以此需要進(jìn)行反思。本文主要探究高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生反思能力的類型和舉措，關(guān)于高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的反思類型，可以分為對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念的反思、對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的反思、對(duì)數(shù)學(xué)題目類型的反思;關(guān)于高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生反思能力的舉措分為引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行查缺補(bǔ)漏、提高學(xué)生綜合解題能力、有效改進(jìn)數(shù)學(xué)解題方法、更加重視知識(shí)遷移運(yùn)用、整合知識(shí)提出創(chuàng)新問(wèn)題、探究知識(shí)規(guī)律進(jìn)行總結(jié)。教師通過(guò)落實(shí)這些舉措，能夠更好提高學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解題過(guò)程;反思能力;思想方法;解題策略

高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，根據(jù)教學(xué)研究和研究資料發(fā)現(xiàn)，由于學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)與認(rèn)知能力的局限，在做題時(shí)常常出現(xiàn)各類錯(cuò)誤，但是對(duì)錯(cuò)誤內(nèi)容卻不求甚解、不進(jìn)行反思，繼續(xù)大量做題，導(dǎo)致無(wú)法提高解題能力和學(xué)習(xí)水平，不能主動(dòng)找出錯(cuò)誤所在，不能概括數(shù)學(xué)思想方法，不能構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系。因此，教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的反思能力，引導(dǎo)學(xué)生反思解題過(guò)程，思考命題意圖、考察知識(shí)點(diǎn)、需要具備的知識(shí)和能力、驗(yàn)證結(jié)論是否合理、是否可以繼續(xù)完善，通過(guò)反思這些內(nèi)容可以更好地提高解題效果，能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

一、高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生反思能力的類型

（一）是對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念的反思。高中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，除了理解與掌握函數(shù)、平面向量、立體幾何等知識(shí)內(nèi)容，還需要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題。學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)的錯(cuò)誤是基礎(chǔ)概念的錯(cuò)誤，因此反思的第一類型是對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念的反思，主要是反思數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念的邏輯、歷史、關(guān)系等。關(guān)于反思數(shù)列基礎(chǔ)概念的邏輯，關(guān)于數(shù)列的知識(shí)分為含義、表示方法、通項(xiàng)公式、分類、特殊數(shù)列，數(shù)列也是一種函數(shù)，具有函數(shù)的部分性質(zhì)[1]。關(guān)于反思數(shù)列基礎(chǔ)概念的關(guān)系，其中的概念具有緊密聯(lián)系，與其他數(shù)學(xué)知識(shí)也具有一些聯(lián)系，比如數(shù)列是定義在自然數(shù)集合上的函數(shù)。

（二）是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的反思。在解答高中數(shù)學(xué)題目時(shí)，不僅需要運(yùn)用基礎(chǔ)概念，而且往往還需要掌握一定的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用一些特定的解題方法，這樣才能更好地解題，如果沒(méi)有掌握相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法，或者在解題時(shí)套用錯(cuò)誤，就會(huì)導(dǎo)致出錯(cuò)。反思數(shù)學(xué)思想方法，主要是以函數(shù)這條主線進(jìn)行反思，根據(jù)高中數(shù)學(xué)的代數(shù)和幾何內(nèi)容，反思概念運(yùn)算是否準(zhǔn)確、邏輯推理是否嚴(yán)謹(jǐn)、空間想象是否豐富、分析問(wèn)題是否靈活等。關(guān)于解題方法的反思，主要是反思是否正確運(yùn)用換元法、配方法、分析法、待定系數(shù)法、歸納法，以及是否進(jìn)行數(shù)形結(jié)合和化歸等。

（三）是對(duì)數(shù)學(xué)題目類型的反思。高中數(shù)學(xué)題目類型主要分為選擇題、填空題、解答題，學(xué)生在解答這些題目時(shí)都可能出錯(cuò)，因此教師也應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)題目類型進(jìn)行反思。選擇題多是基礎(chǔ)題，很多是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的變式或者變形，如果學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢，就會(huì)出現(xiàn)各類錯(cuò)誤，在做選擇題時(shí)應(yīng)該注意解題方法的簡(jiǎn)便性，比如可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和代入法快速解題。填空題也多是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)考察，總體難度不大，但是錯(cuò)誤率普遍比選擇提高，學(xué)生也不太喜歡做填空題，主要出錯(cuò)原因是基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢、缺乏訓(xùn)練。解答題的題目有難有易，往往考察綜合知識(shí)，題目類型復(fù)雜多樣，教師需要指導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)方面反思。

二、高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生反思能力的舉措

（一）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行查缺補(bǔ)漏

在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，培養(yǎng)學(xué)生反思能力，首先應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)相關(guān)錯(cuò)題進(jìn)行查缺補(bǔ)漏，看看是否存在審題不明確、忽視隱含條件、概念混淆、套用知識(shí)或方法錯(cuò)誤、考慮不周、計(jì)算出錯(cuò)等問(wèn)題[2]。同時(shí)，教師還應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生在解題后注意回歸整個(gè)解題過(guò)程，驗(yàn)證結(jié)論是否正確與合理，比如在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，一些錯(cuò)誤可以歸結(jié)為：解題結(jié)論比較荒謬，特殊性代替一般性，臆造一些數(shù)學(xué)定理和公式，導(dǎo)致判斷和相關(guān)步驟無(wú)根據(jù)等。

例如，對(duì)于集合與邏輯的內(nèi)容，我一般會(huì)總結(jié)出以下順口溜指導(dǎo)學(xué)生查缺補(bǔ)漏知識(shí)點(diǎn)：集合邏輯互表里，子交并補(bǔ)歸全集;對(duì)錯(cuò)難知開(kāi)語(yǔ)句，是非分明即命題;縱橫交錯(cuò)原否逆，充分必要四關(guān)系;真非假時(shí)假非真，或真且假運(yùn)算奇。有這樣一個(gè)關(guān)于集合的基礎(chǔ)題目，很多學(xué)生往往忽視了互異性，導(dǎo)致解題出錯(cuò)，題目是：A={1，4，a}，B={1，a2}，BA，那么請(qǐng)求出a。對(duì)于這個(gè)題目，很多學(xué)生的答案是這樣的：a2=4或者a2=a，得出a=±2，或者a=0，或者a=1。對(duì)于這個(gè)答案，主要是對(duì)集合的基礎(chǔ)概念掌握不牢，忽視了互異性，所以正確答案是應(yīng)該去掉a=1。在指導(dǎo)學(xué)生查缺補(bǔ)漏時(shí)，主要是讓學(xué)生根據(jù)作業(yè)中和考試中的錯(cuò)題，思考錯(cuò)誤類型，得出需要補(bǔ)充的基礎(chǔ)知識(shí)，并將這些錯(cuò)題整理到錯(cuò)題本上，寫上分析過(guò)程。

（二）提高學(xué)生綜合解題能力

高中數(shù)學(xué)知識(shí)之間具有很強(qiáng)聯(lián)系性，縱橫交錯(cuò)，導(dǎo)致在解題時(shí)可以靈活多變地運(yùn)用多種解題方法，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)一題多解和多題一解[3]。因此，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力，教師還應(yīng)該注重提高學(xué)生的綜合解題能力，以此能夠更好地開(kāi)拓學(xué)生是思路，建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系，掌握數(shù)學(xué)解題規(guī)律，權(quán)衡一個(gè)問(wèn)題最優(yōu)解，有效進(jìn)行更高層次的學(xué)習(xí)、創(chuàng)造性學(xué)習(xí)等，在這個(gè)過(guò)程中可以更為有效地實(shí)現(xiàn)反思。

例如，對(duì)于一題多解，在看到一道數(shù)學(xué)題目時(shí)，學(xué)生往往會(huì)使用最拿手的解法，但是會(huì)出現(xiàn)各類問(wèn)題，比如由于對(duì)解題方法掌握不熟悉出現(xiàn)錯(cuò)誤、耗費(fèi)大量時(shí)間等，因此在知道答案或者考試結(jié)束后，應(yīng)該反思這些問(wèn)題。通過(guò)探究這道問(wèn)題的其他解法，可以復(fù)習(xí)不同章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)習(xí)不同的解題方法與相關(guān)技巧，試著寫出所有的解法，并比較哪一種解法更加簡(jiǎn)便、更加合理，以此掌握解題規(guī)律，提高綜合解題能力，以便下一次遇到同類型的題目時(shí)直接運(yùn)用最優(yōu)解法。比如關(guān)于不等式有這樣一道題目：已知a2+b2=1，x2+y2+1，求證ax+by≤1。對(duì)于這道題目，解題方法多種多樣，經(jīng)過(guò)反思和總結(jié)得出有：一是運(yùn)用比較法，只要證出1-（ax+by）≥0即可，通過(guò)觀察兩式相加等于2可以同時(shí)利用兩已知條件;二是運(yùn)用分析法，根據(jù)所需證明的不等式，結(jié)合已知條件和相關(guān)定理、不等式的性質(zhì)等知識(shí)，證明1-（ax+by）≥0，進(jìn)而證明出原結(jié)論正確，因?yàn)榉治龇ㄊ翘骄棵}成立充分條件，所以需要做到步步可逆;三是運(yùn)用綜合法，好主意是運(yùn)用不等式性質(zhì)、定理（平均值不等式）、公式等，進(jìn)行運(yùn)算和推理，進(jìn)而證明不等式能夠成立。教師可以講解以上方式，讓學(xué)生試著解答，并提出運(yùn)用三角換元法、數(shù)形結(jié)合法等進(jìn)行證明，并讓學(xué)生分析和試著解答，然后選擇適合自己的解題方法加強(qiáng)訓(xùn)練。

（三）有效改進(jìn)數(shù)學(xué)解題方法

學(xué)生在解答高中數(shù)學(xué)題目之后，如果計(jì)算正確也需要進(jìn)行反思，主要是反思是否還有更簡(jiǎn)便、更優(yōu)化的解題方法，是否浪費(fèi)了一些信息，是否多走了一些思維上的回路，是否進(jìn)行過(guò)多的計(jì)算等。教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生摒棄思維定式，不要照搬以往的思維方式和解題方法，在反思時(shí)主要推陳出新，通過(guò)質(zhì)疑解題過(guò)程和不斷改進(jìn)與優(yōu)化，從而讓解題的過(guò)程更加簡(jiǎn)便、科學(xué)、合理等[4]。

例如，有關(guān)等差數(shù)列有這樣一道題目：如果（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求證x、y、z成等差數(shù)列。對(duì)于這個(gè)題目，通過(guò)分析可知證明x、y、z成等差數(shù)列，需要讓x-y=y-z，所以得出的解題方案是展開(kāi)已知條件尋找轉(zhuǎn)換，算出x+z-2y=0，所以有效證明，但是這個(gè)方案的計(jì)算過(guò)程比較多，容易出錯(cuò)，不夠簡(jiǎn)便。通過(guò)反思可以得出，根據(jù)已知條件得出x-y，y-z，z-x有著輪換對(duì)稱特點(diǎn)，可以通過(guò)換元減少原式字母，從而讓計(jì)算過(guò)程更加直觀和簡(jiǎn)便，主要是：設(shè)x-y=a，y-z=b，x-z=a+b，并根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)換原式的字母，得出x-y=y-z，進(jìn)而證明x、y、z成等差數(shù)列。再比如，求證正四面體與正八面體相鄰兩側(cè)的所成二面角互補(bǔ)，一般的解題方案是分別求得兩個(gè)多面體二面角的值，然后進(jìn)行求和，通過(guò)反思可以從結(jié)構(gòu)入手，優(yōu)化解題方案。

（四）更加重視知識(shí)遷移運(yùn)用

在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，需要反思這些問(wèn)題所包含的知識(shí)結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)性等，思考能夠探究知識(shí)的縱向與橫向內(nèi)容，能否對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律和思想方法進(jìn)行遷移運(yùn)用，能否將一個(gè)問(wèn)題所蘊(yùn)含的點(diǎn)拓展到知識(shí)面等。比如，在反思三角函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，教師可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)以往所學(xué)知識(shí)，思考：sin（a+b）=sina+sinb是否成立，以此引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)進(jìn)行探究，根據(jù)新舊知識(shí)進(jìn)行思考與探索，讓學(xué)生試著探究它們成立所需的條件，從而幫助學(xué)生靈活運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)。

（五）整合知識(shí)提出創(chuàng)新問(wèn)題

對(duì)于高中數(shù)學(xué)問(wèn)題而言，很多問(wèn)題不是孤立的，它們之間往往具有一定的聯(lián)系，在反思解題過(guò)程中，還需要反思問(wèn)題之前的相互聯(lián)系性。教師應(yīng)該整合相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)提出一些創(chuàng)新性的問(wèn)題，比如：這個(gè)條件下為什么會(huì)提出這樣的問(wèn)題？這個(gè)問(wèn)題和哪個(gè)問(wèn)題具有聯(lián)系？關(guān)于這個(gè)條件還能夠提出哪些問(wèn)題？通過(guò)提出創(chuàng)新問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深入反思，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的樂(lè)趣，更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)高中學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（六）探究知識(shí)規(guī)律進(jìn)行總結(jié)

高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的反思，教師還應(yīng)該在學(xué)生在反思過(guò)程中探究知識(shí)規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，得出一些數(shù)學(xué)思想方法，以及識(shí)記數(shù)學(xué)知識(shí)的良好方法。比如對(duì)于三角函數(shù)的問(wèn)題，通過(guò)反思多個(gè)問(wèn)題，可以總結(jié)出一些知識(shí)規(guī)律，將其總結(jié)成口訣：三角定義比值生，弧度互化實(shí)數(shù)融;同角三類善誘導(dǎo)，和差倍半巧變通;解前若能三平衡，解后便有一脈承;角值計(jì)算大化小，弦切相逢異化同[5]。

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，本文主要根據(jù)高中數(shù)學(xué)基本知識(shí)內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合新時(shí)期的教育教學(xué)理念，以及培養(yǎng)學(xué)生的要求，探究高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生反思能力的類型、高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生反思能力的舉措，反思的類型一般是反思數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、反思數(shù)學(xué)思想方法、反思數(shù)學(xué)題目類型，通過(guò)提出創(chuàng)新問(wèn)題和總結(jié)知識(shí)規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行查缺補(bǔ)漏、提高學(xué)生綜合解題能力、有效改進(jìn)數(shù)學(xué)解題方法等，促進(jìn)學(xué)生更好實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移運(yùn)用，有效提高學(xué)生的反思能力。

參考文獻(xiàn)

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