應用函數思維探析堿液稀釋pH變化

周松根

摘 要：應用函數思維，從水溶液中電解質的電離規律出發，結合電荷守恒、物料守恒等建立強堿、弱堿溶液稀釋過程中pH與稀釋倍數間的函數關系，將函數輸入GeoGwbra圖形計算器作圖，依據圖像進行理論分析，解決學生的困惑，并得出相應變化規律。研究還發現弱堿稀釋到一定程度后與強堿溶液行為相似。

關鍵詞：函數;堿液稀釋;pH變化

函數的功能就是人類的思維，找出兩個變量間互動的因果關系即為一種函數思維[1]。函數關系可用圖象來表達。近年高考常以圖像的形式來考察學生對于物質在水溶液中行為的綜合理解，其中有關酸堿鹽溶液稀釋過程中pH變化規律問題常見于高考考題。深入挖掘圖像背后的函數意義能促進我們對此類問題的理解。

在高三復習教學中，我們發現，有關教育部考試中心2020年版高考試題分析理科綜合分冊化學例題4（見例題），學生對于選項C的理解有兩種看法，看法①為“將兩條直線延長會交于一點，此時pH相等，因此C（OH-）相等”;看法②為“無限稀釋后溶液均趨于中性，使得兩溶液C（OH-）相等”。

例題：濃度均為0.10mol/L、體積均為V0的MOH和ROH溶液，分別加水稀釋至體積V，pH隨lg的變化如圖所示，下列敘述錯誤的是（? ?）

A.MOH的堿性強于ROH的堿性

B.ROH的電離程度： b點大于a點

C.若兩溶液無限稀釋，則它們的c（OH-）相等

D.當lg=2時，若兩溶液同時升高溫度，則c（M+）/c（R+）增大

有報道從數字實驗出發研究此問題，運用Excel軟件擬合得出線性回歸曲線，利用該曲線模型可預測看法②正確[2]。事實上，學生產生看法①這樣的思考，只是分析圖像的“表面”情況，并未發現橫縱坐標間的化學關系。為幫助學生理解此問題，本文基于函數思想，從電解質溶液中的定量關系出發建立一元堿液稀釋過程中pH與稀釋倍數對數值間的數學函數，利用GeoGebra圖形計算器繪制一元堿液稀釋pH變化曲線，從函數圖像中獲得直觀的證據來證實看法②正確。在此基礎上本文還基于圖像，從微觀角度探析堿液稀釋過程中的pH變化規律，加深高中學生對電解質溶液離子行為的理解。

一、函數的建立

室溫下濃度均為0.1mol/L且體積均為V0的MOH（強堿）和ROH（弱堿）溶液（均視為理想溶液），分別加水稀釋至體積為V，令lg =x，則有V=10xV0，令此時溶液pH=y，則有c（H+）=10-y，由水的離子積，則有c（OH-）=10y-14。

對于一元強堿（MOH）溶液，有以下兩個電離過程：MOH=M++OH-;H2OH++OH-

稀釋至體積為V時，有c（M+）=0.1/10x=10-1-x

稀釋過程中溶液始終滿足電荷守恒，即有c（H+）+c（M+）=c（OH-）

因此可得函數關系：10-y+10-1-x=10y-14（*）

對于一元弱堿（ROH），有以下兩個電離平衡：ROH R++OH-;H2OH++OH-

稀釋過程中溶液始終滿足物料守恒，即有c（ROH）+c（R+）=0.1/10x=10-1-x

由ROH的電離平衡常數Kb==，得c（R+）=

將其代入電荷守恒c（H+）+c（R+）=c（OH-），得函數關系：（※）

二、依據函數作圖及分析

（一）一元強堿（MOH）

將函數（*）輸入GeoGebra圖形計算器，得下圖①中曲線（實線所示）。

圖 一元堿液稀釋過程中pH的變化圖（③中曲線a、b、c所對應一元弱堿的電離平衡常數分別為10-3、10-5、10-7）

一元強堿（MOH）稀釋過程中pH的變化圖像分析如下：

當y≥8時，，即10y-14與10-y相差兩個數量級，此時（*）可轉化為10-1-x=10y-14，即有y=-x+13。也就是說，該強堿溶液從起始到稀釋至pH為8，該稀釋曲線可以近似看做直線（如圖1虛線f），溶液pH與稀釋倍數間為一次函數關系，原因是水的電離被MOH所電離出的OH-強烈抑制，可以忽略水的電離，溶液pH的變化來自于MOH所電離的OH-濃度的變化。

當8>y>7時，將（*）轉化為 y=lg，利用GeoGebra圖形計算器描點功能，發現此情況下5

當x>8時，由圖可知，曲線已接近水平直線，結合 y=lg分析，當x→∞時，y→lg=7，也就是說，此時曲線無限趨近于y=7這條直線（如圖1虛線g），這種情況下溶液可近似為純水。

（二）一元弱堿（ROH）

我們以Kb的數量級為10-5為例，將函數（※）輸入GeoGebra圖形計算器，得上圖②中曲線（實線所示）。

一元弱堿（ROH）稀釋過程中pH的變化圖像分析如下：

當ROH電離度很小時，忽略其電離，此時c（ROH）=0.1/10x=10-1-x。由電荷守恒c（H+）+c（R+）=c（OH-），當c（OH-）比c（H+）大2個數量級以上時，即pH>8時，可忽略溶液中的c（H+），即有c（R+）=c（OH-）。由Kb=得Kb=，結合水的離子積得pH=-lg，由前文所令pH=y即有函數y=x++3.5。當Kb=10-5時，y=x+11。此種情況下，溶液pH與稀釋倍數間近似形成斜率為的一次函數關系，將該函數輸入GeoGebra圖形計算器得圖2中曲線h，h與實線重疊部分即為ROH電離度很小時溶液稀釋時的情況。

當加水稀釋到ROH電離度較大時，在此基礎上繼續加水稀釋帶來的電離度增長率很小，若忽略此時電離度的變化，此時ROH溶液稀釋時的離子行為類似于強堿MOH的稀釋表現，即此時溶液pH與稀釋倍數間近似形成斜率為-1的一次函數關系：y=-x+13，將該函數輸入GeoGebra圖形計算器得圖2中曲線f。f與實線重疊部分即為ROH電離程度較大時溶液繼續稀釋時的情況。

繼續稀釋，此時水的電離和ROH的電離均不可忽略，溶液的pH應綜合反映水及ROH的電離。由※，當x→∞時，※可轉化為，即10-y=10y-14，得y=7，如圖2中曲線h所示。也就是說無限稀釋時，此溶液近似為純水。

三、結論與啟示

（一）強堿（MOH）和弱堿（ROH）溶液稀釋過程中，溶液pH與lg 并非簡單的滿足一次函數關系。溶液的pH需綜合考慮堿的電離及水的電離，在堿的電離主導溶液pH情況下，水的電離才可忽略。強堿和弱堿溶液無限稀釋，溶液均將近似于純水，使得兩溶液C（OH-）相等。

（二）改變Kb數值，將相應數值代入※輸入GeoGebra圖形計算器，得到不同一元弱堿溶液稀釋過程中，溶液pH與稀釋倍數間關系如上圖中③。圖像給我們很多啟示，比如縱截距、稀釋初始階段圖像的斜率均可反映堿的相對強弱;又比如堿性越強，曲線中斜率近似為-1類似于強堿稀釋情況的區域就越大。

（三）本文對一元堿液稀釋過程中pH變化圖像的分析，深刻滲透化學觀念中的“微粒觀”、“變化觀”與“守恒觀”，利用函數生成圖像能直觀生動的啟發學生思考pH變化背后的化學意義，啟發學生運用化學知識解決問題。用數學的函數思維來解決化學實際問題，將數學與化學學科思維交叉融合，有利于高中學生學會更本質的認識電解質溶液問題。

（四）本文在回答學生困惑的過程中，直接使用智能手機APP GeoGebra圖形計算器作圖，相比Excel等軟件，該APP作圖十分簡便，只需輸入函數將即可快速生成圖像，并可通過描點等功能更深刻的認識圖像，對于一線教學和高中學生非常實用。

參考文獻

[1]權平建一郎、神原武志.函數在你身邊[M].北京：科學出版社.2001：152-158.

[2] 馬善恒、夏建華、盛恩宏. 利用數學建模促進對化學知識的深度學習——以水溶液中離子濃度關系考查為例[J].化學教學，2019（6）： 79-81.

本文為廣東省教育科研“十三五”規劃2020年度教育科研一般項目：“構建普通高中化學學科思維課堂的教學研究”階段研究成果，課題批準號：2020YQJK004。