對理想變壓器電路中“等效電阻”的探討

鄧偉

摘 要：自從新課標高考考綱中知識點“理想變壓器”由“Ⅰ”級要求變為“Ⅱ”級要求后，在高考中變壓器問題考查頻率與難度都有所增加，有一類這樣的問題（在變壓器原線圈中連入電阻）在高考中頻頻出現，使問題變得較為復雜，如果用常規解法，計算量很大，令學生感到望而生畏.筆者在教學研究中發現這類問題如果用等效電路來分析計算，能降低難度，使問題簡單明了，實現問題的“巧解”.

關鍵詞：等效電阻;理想變壓器;推導;應用;化繁為簡

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0094-02

2020年高考，在全國Ⅲ卷第20題、山東卷第5題、北京卷第6題等物理試題中均有與理想變壓器相關的問題.理想變壓器的原線圈和副線圈通過電磁感應聯系在一起，互相影響，彼此制約，內部機制相當復雜.在高中階段，當原線圈輸入電壓一定時，相關問題采用原副線圈電壓、電流與匝數的關系加以分析，解決起來比較容易.而在原線圈上串聯有一個定值電阻的電路中，當負載電阻改變時，副線圈中電流也改變，原線圈輸入電壓與電流亦隨之改變，從而又引起副線圈的輸出電壓改變.此種情形下采用常規的電壓、電流與匝數的關系來分析，解決起來非常繁雜.此時，將變壓器問題轉化為恒定電流中的等效電路來分析，可以達到化繁為簡，事半功倍的效果.

一、理想變壓器電路問題中等效電阻公式的推導

設理想變壓器原副線圈的匝數之比為n1∶n2，原線圈輸入電壓為U1，副線圈負載電阻為R，如圖1（1）所示，在變壓器正常工作時，我們先分析一下a、b間的等效電阻.

先畫出等效電路圖如圖1（2）所示，設變壓器等效負載電阻為R′.在（1）中由變壓器的分壓規律：U1U2=n1n2得：U2=n2n1U1.

方法一：用電壓推導等效電阻

U1=n1n2U2=n1n2I2R=n1n2·n1n2I1R=I1·n21n22R

而U1=I1R′，可得a、b間的等效電阻R ′=n21n22R

方法二：用功率推導等效電阻（略）

通過分析可知：在只有一個副線圈的理想變壓器電路中，原線圈的匝數為n1，副線圈的匝數為n2，副線圈負載電阻為R，則變壓器的原、副線圈和負載電阻可以等效為一個電阻R′=（n1n2）2R （*）.

以上是只有一個副線圈的情形.若在變壓器中含有多個副線圈時，能否采用上述等效電阻的方法呢？作圖圖2所示.

由等效電阻法我們可以將副線圈n2，負載R1與原線圈看為整體，等效為新電阻R1x，將副線圈n3，負載R2與原線圈看為整體，等效為另一個新電阻R2x，則R1x與R2x兩端電壓相同，均為原線圈輸入電壓U1.作等效電路圖如圖3所示.

推導可知，等效電阻R1x與R2x的值均滿足（*）式中的規律，表明多個副線圈的變壓器問題，確實可以將每個副線圈與原線圈分別看為一個整體，等效為一個新電阻，作出等效電阻的并聯電路圖加以分析.

二、理想變壓器電路問題中等效電阻公式的應用

1.關于負載電阻一定時的計算問題

例1 （2015年全國新課標Ⅰ卷·理綜）（單選）理想變壓器的原、副線圈的匝數比為3∶1，在原、副線圈的回路中分別接有阻值相同的電阻，原線圈一側接在電壓為220V的正弦交流電源上，如圖4所示.設副線圈回路中電阻兩端的電壓為U，原、副線圈回路中電阻消耗的功率的比值為k，則（）.A.U=66V，k=19B. U=22V，k=19

C. U=66 V，k=13D. U=22 V，k=13

解析 其等效電路圖如圖5所示，則Rx=（n1n2）2R=9R

由于R與Rx串聯，電流相等，功率、電壓與電阻成正比

所以有：k=19，URx=U1=9UR，

而URx+UR=220V;U1U=n1n2，

解得：U=66V.故答案選A.

2.關于負載電阻變化時的動態電路分析問題

例2 （重慶七校聯考題·理綜）（單選）如圖6所示是某一理想變壓器所在電路的電路圖，交變電源的輸出電壓U的有效值不變，電阻R0，R1已知，

A1、A2、V為理想交流電表，滑動變阻器總阻值為R，原副線圈匝數比為k=2，且R1=R0/8，R=R0.當滑動變阻器的滑片P由最上端向下滑動的過程中，下列說法正確的是（）.

A.電壓表V的示數增大

B.電流表A1的示數減小

C.電流表A2的示數減小

D.變壓器副線圈輸出的功率先增大后減小

解析 作出等效電路如圖7所示，由“等效電阻法”中的二級結論可知Rx=n1n22R1+R，滑片P下移，R減小，Rx減小，則等效電路圖中的電流I1=URx增大，即電流表A1的示數增大，由變壓器電流關系I1n1=I2n2知副線圈中電流I2即電流表A2示數也增大.R0兩端電壓增大，而Rx兩端電壓，即原線圈輸入電壓U1=U-I1R0，知U1減小，由電壓比關系知副線圈輸出電壓，即電壓表V示數減小，則A、B、C選項均錯誤.

滑動變阻器總阻值R≤R0，則等效電阻R02≤Rx≤9R02，將R0看為交流電源U的內阻，Rx看為外電阻，對理想變壓器，等效電阻Rx消耗的功率P即為變壓器副線圈輸出的功率，由等效電路圖作出P-Rx的關系如圖8所示.

由圖可知，P先增大后減小，正確選項為D.

3.關于含多個副線圈的變壓器計算問題

例3（?？荚囶}·理綜）（單選）如圖9所示，接在理想變壓器回路中的四個規格相同的燈泡都正常發光，那么，理想變壓器的匝數比n1∶n2∶n3為（ ）

A.1∶1∶1

B.3∶2∶1

C.6∶2∶1

D.2∶2∶1

解析 變壓器有多個副線圈，作出等效電阻的電路如圖10所示，四個燈泡電阻均相同，令其為R0，則由“等效電阻法”中的二級結論可知

RBC=n1n222R0

RD=n1n32R0

等效電阻上消耗功率即為對應負載所消耗的功率，而每個燈泡消耗的功率均相同，則

PBC=2PD=2PA則UD=3UA

由P=U2R容易得到2RBC=RD=9R0

聯立以上各式解得n1∶n2∶n3=3∶2∶1，選項B正確.

通過以上的分析過程，在理想變壓器電路問題之中，當原線圈串聯有一個定值電阻時，采用電壓、電流與匝數關系的常規解法分析時，由于原線圈中定值電阻的分壓，使得采用常規法解題時往往比較繁瑣.而將變壓器通過等效，轉化為一個簡單的閉合回路后，能將問題的分析過程變得直觀形象，解題變得更加的便捷，起到了化繁為簡，化難為易的功效.

參考文獻：

[1]李小丹.兩種等效法解決變壓器問題研究[J].中學物理教學參考，2017（05）：41.

[責任編輯：李 璟]