高中數學函數解題思路多元化的方法分析

唐菊香

摘 要：本文主要以高中數學函數解題思路多元化的方法分析為重點進行闡述，結合當下高中學生數學函數學習現狀為依據，首先分析高中數學函數解題思路多元化概述，其次從函數解題思路多元化，形成發散思維、函數解題思路多元化，形成逆向思維、函數解題思路多元化，形成創新思維幾個方面深入說明并探討高中數學函數解題思路多元化的有效方法，進而凸顯多元化解題方法的重要性，提高高中數學函數教學整體質量，旨意在為相關研究提供參考資料.

關鍵詞：高中數學;函數問題;解題思路;多元化

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0044-02

新課改標準下，高中學生在學習期間逐步意識到函數解題的重要性，多元化解題思路成為影響學生學習效果的關鍵點，關聯學生綜合能力的培養.在多元化解題過程中，不只是可調動學生學習主觀能動性，還可使得學生數學素養得以發展，為學生全面成長奠定基礎.如何帶領學生掌握函數解題多元化方法，拓展學生學習視野是至關重要的課題，為此筆者給出下列建議.

一、高中數學函數解題思路多元化概述

在高中函數學習過程中，為了保障學生邏輯思路清晰化，學生要以客觀的視角出發，在處理函數問題時，了解計算方法，可是不知道解決問題的真實含義.因此在訓練解題思路過程中，要深層次探索解題問題的意義，多元化解題方法可實現這一個目標，調動學生創新思維，在問題解決期間掌握多元化處理問題的思路，提高學生解決問題效率，所以多元化解題方法的運用是至關必要的.學生學習函數之后，可初步了解函數代表變量y以及變量x之間的關系，高中階段涉及的函數知識比初中階段的函數知識更加繁瑣，重點是基于集合變量，計算對應關系.解決問題時要分析函數相關概念，了解變量之間的關聯，由此優化現有的解題形式.在具體解決問題期間，沒有完全明確概念知識條件下就參與訓練，取得的結果是不理想的，因此在日常學習與教學中，要全面掌握函數知識，以基礎知識為主探索解決問題的更多方法，加強學生對知識點理解與掌握，強化學生綜合能力和數學素養發展.

二、函數解題思路多元化，形成發散思維

在處理數學問題過程中，也就是分析數量問題，研究題目內多個元素之間的關系與具體結構，挑選切合實際的處理問題方法.總體而言，學生參與訓練為了獲取解決問題的思路，若局限在一個解決問題方式上，學生自身的思維會相對被動化，信息處理時間不足，對應的思考空間也會相對封閉.可是因為多種因素的影響，大多數情況下教材中的例子僅僅存在單一解決問題的方法，引出學生思維受到限制的結果，降低學生發散思維培養效果，降低知識網絡建立有效性.所以要適當組織學生參與一題多解的學習活動，一方面保證學生對問題進行優化，另一方面延伸學生思維空間，找到思維發散的具體方向，保證學生更好的學習與思考.

例1 解決下列問題：若sin（π4-x）=513，且x∈[0，π4]，計算cos2xcos（π4+x）.

解法1 由于x∈[0，π4]，所以（π4-x）∈[0，π4]，那么cos（π4-x）=1213;sin（π4+x）=cos（π4-x）=1213，

cos（π4+x）=sin（π4-x）=513，即cos2x=cos[（π4+x）-（π4-x）]=120169，所以cos2xcos（π4+x）=2413.

解法2 由于cos2x=cos[π2-2（π4-x）]=sin[2（π4-x）]=2sin（π4-x）cos（π4-x）.而cos（π4+x）=sin（π4-x）=513，因此cos2xcos（π4+x）=2cos（π4-x）=2413.

解法3 對cos2xcos（π4+x）進行變形，cos2xcos（π4+x）=cos2x-sin2x22（cosx-sinx）=2（sinx+cosx）=2cos（π4-x）=2413.

例2 計算f（x）=x+1x（x>0）的值域.

解法1 對x+1x進行拆解，即f（x）=x+1x=（x）2+（1x）2≥2x·1x=2，得到f（x）=x+1x（x>0）的值域是[2，+∞];

解法2 對x+1x進行配方，在一定條件下對未知數進行消除，得到最小值.

f（x）=x+1x=（x-1x）2+2，在x=1x時，f（x）最小值是2，所以f（x）=x+1x（x>0）的值域是[2，+∞].

由此，處理數學函數問題的方法是靈活且多樣的，技巧性比較強，問題的分析成為處理問題的關鍵點，熟練運用解決問題方法是要點，聯想計算問題答案是必要的手段，科學旋轉與公式變形都是促使學生思維發散運作的媒介.所以要組織學生善于使用發散思維，找到思維定勢的突破點，增強學生研究問題能力，長時間訓練之后勢必會促使學生思維更為開放.

三、函數解題思路多元化，形成逆向思維

結合個體的思維方式差異，思維過程涉及的方向性包含正向思維以及逆向思維，兩者互相矛盾與沖突，可都是比較重要的思想.然而現階段高中階段的數學教學內容缺少逆向思維的滲透，在一定程度上影響學生逆向思維形成，要想通過正向思維對問題進行處理會產生困難，所以要探索另外處理問題方式，明確逆向思維的使用思路，使得學生在有限時間內通過逆向思維簡化問題.

例3 若Sn代表等比數列前n項和，已知S3、S9以及S6之間成等差數列，證明：b2、b8與b5也是等差數列.

（1）通過公式Sn=b1（1-qn）1-q，由于S3、S9以及S6之間成等差數列，因此S3+S6=2S9，（q≠1），所以b1（1-q3）1-q+b1（1-q6）1-q=2×b1（1-q9）1-q，即q3+q6=2q9（q≠1），繼而1+q3=2q6.有b2+b5=b1q+b1q4=2b1q7=2b8，那么b2、b8與b5是等差數列;

（2）借助公式S2n=Sn（1+qn），S3n=Sn（1+qn+q2n），所以S6=S3

+b4+b5+b6=S3（1+q3）、S9=S3（1+q3+q6），由于S3+S6=2S9，有S3+S3（1+q3）=2S3（1+q3+q6），那么q3=-12，即b2+b5=2b8，那么b2、b8與b5是等差數.

基于此，對函數問題進行多元化思考，改變以往的解決問題順序，引進逆向思維模式，更加透徹的分析問題和解決問題，樹立學生學習信心，調動學生學習積極性，在學生得到良好學習體驗同時強化學生逆向思維發展.

四、函數解題思路多元化，形成創新思維

一題多解，即解題思路多元化，能夠改變一組命題的結論，關聯著解決問題的方法，師生對命題與命題的形式加以分析，增強解決問題的綜合水平，活躍學生大腦思維，不斷調動學生創新力，在解題思路多元化操作之下，幫助學生形成創新思維.

例4 計算不等式：3<|2x-3|<5.

解法1 對不等式進行變形：3<|2x-3|<5可替換3<|2x-3|并且|2x-3|<5，所以3<x<4或者-1<x<0，即答案是{x|3<x<4或-1<x<0};

解法2 按照絕對值基本定義，分類進行討論：

（1）在2x-3≥0時，3<|2x-3|<5等價為3<2x-3<5，即3<x<4.

（2）在2x-3<0時，3<|2x-3|<5等價為-1<x<0，因此答案是{x|3<x<4或-1<x<0};

解法3 通過等價命題法，3<|2x-3|<5替換成3<2x-3<5或者-5<2x-3<-3，得到{x|3<x<4或-1<x<0};

解法4 結合絕對值集合定義，把3<|2x-3|<5轉變為32<|x-32|<52.所以幾何意義是點x與32的距離是32與52之間，那么答案是{x|3<x<4或-1<x<0}.

基于此，適當引進思維創新方法， 從多個角度上思考和處理問題，體現數學問題的靈活多變性，啟迪學生思維，使得學生思維得以創新與發展，強化高中學生學習效率.

綜上所述，高中數學教材中，函數知識是比較重要的，存在邏輯性與多變性，師生應該立足于函數問題的本質，從函數概念出發，充分挖掘解決函數問題的多元化方法與思路，在發散思維、逆向思維與創新思維培養之下，不斷提高學生解決問題的速度，豐富學生數學知識面，加深學生對知識點印象和感知，由此確保高中數學課程高效率進行.

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[責任編輯：李 璟]