分數概念教學，請勿在“難點”處一帶而過

張梁梅

【摘要】數學概念的學習是數學學習的基礎。分數的概念的習得與掌握是學生對數的概念學習又一次拓展，但學生分數概念學習的實際情況卻不盡如人意。這一方面源于兒童早期的分物經驗，另一方面是教材在編排上引入等分概念時特別強調“是什么”，卻不解釋“為什么”造成的。對此，本文提出從反例容錯、糾錯再結合分數的“部分和整體”和“測量”的定義，幫助學生糾正錯誤，建立正確的等分概念。

【關鍵詞】分數概念 等分問題 反例

小學生學習分數始于第一學段，分數的初步認識是從“平均分”這個概念引入的，并且分數意義的初步建立是與“平均分”密切聯系在一起。從某種程度上來說離開了“平均分”就不能談“分數”。

筆者最近在做關于“分數再認識”教學設計的研究，這是第二學段進一步認識分數概念。從中國知網搜集了關于“分數再認識”的教學設計共20篇。筆者在研究這些教學案例時發現了一個極其有趣的師生對話現象：幾乎所有教師在以一個具體分數如1/4，引入對具體分數意義的理解時，第一個發言的學生大都會講1/4表示把一個體分成4份取其中的1份，這時候教師大都也都會問：“有什么要補充嗎？”在等待了一段時間后，班上總會有幾個學生站起來說“他沒有平均分！”教師接著會說：“你能把它說完整嗎？”然后學生會帶著平均分的字樣把1/4的意義講對，最后教師會再次強調平均分是我們認識分數的關鍵。之后整節課，教師都跟“警察逮小偷”似的揪出那些講某一個具體的分數卻不說“平均分”的學生，逮一次，糾正一次，強調一次，結果發現仍有一些學生說分數意義沒有“平均分”這三個字。正如楊伊生、劉儒德兩位教授在《兒童分數概念發展研究綜述》中所表述的那樣“已有的大量研究表明：學齡前期兒童僅有少數能了解一半的意義，大部分兒童認為一半就是要分成兩塊，沒有等分的概念。在處理‘部分和全部’的分數問題時不了解各部分都要等分的概念。Han在研究中指出12歲到13歲的兒童中89%能知道等分需要等面積，有6%的兒童認為一半就是分成兩塊，但沒有等面積的概念，一般兒童認為等分就是除了面積相等以外，形狀也必須相同，但對于形狀不同的圖形較難決定是否等分”，學生對等分問題認識的不足制約著他們對分數意義的深刻認識與理解。

筆者認為，造成學生等分概念不清的原因應該有兩方面，一方面是兒童受早期的分物經驗影響，另一方面是教材在編排上引入分數的概念時特別強調“平均分”，卻不解釋為什么談分數的概念一定要“平均分”的道理。

首先，筆者先說一說兒童早期的分物經驗不支持等分概念的原因。我們都知道，學齡前期兒童在早期的家庭生活中肯定有分蘋果、分蛋糕的經驗，家長經常會當著兒童的面把一個蘋果或一塊蛋糕分成兩份，當然分割者主觀上很想把這個蘋果“平均分”，但在實際的操作中卻不那么精準，通常分得的結果是一份大、一份小，成人管大的這份叫蘋果的一半，管小的這份也叫蘋果的一半，一大份和一小份合起來是整個蘋果，分蛋糕的經驗也是如此。出于人“公平”的天性，這時兒童肯定要站在成人旁邊叮囑大人要兩半都分得一模一樣大，成人也盡量完成兒童的要求，但分下來的結果還是一大一小，只不過這兩半相差得不太多。隨著日后分物的經驗累積，兒童發現不管成人或自己怎么努力要將現實中的蘋果、蛋糕等一個物體平均分成兩半是絕無可能的。

由于兒童早期的分物經驗與數學中分物經驗的差距，生活中的“一半”與數學中的“一半”是不同的。等到兒童初步認識分數，學習1/2時，學生不講“平均分”自然就不足為奇了，因為生活經驗已經無數次告訴兒童要把一個物體“平均分”兩份是絕無可能的，分成的兩半大小絕不可能完全相同。所以，盡管教材反復強調平均分，但兒童早期生活經驗從沒有過“平均分”的情況，讓兒童接受這些沒有可能發生的事，他們肯定是“不干”的。

再者是教材的編排，在引入分數的概念時特別強調“平均分”，卻不強調為什么談分數的概念時一定要“平均分”的道理。從中國知網上查看“分數的初步認識”教學設計和案例，筆者發現“平均分”這三個字大多是從教師口中言出，學生大都是機械模仿，在教學中幾乎沒有什么特別的環節讓學生體會到“平均分”的重要性，所以錯誤的常識就在兒童的頭腦中根深蒂固。以蘇教版教材為例，筆者翻看了“分數初步認識”這一單元的內容在第88～97頁的教學內容中僅第88頁“想想做做”第2題1、4兩幅圖中用反例強調了如果分成的4份不相等，就不可以用1/4來表示，至于為什么“不均分”就不可以用車1/4來表示、“平均分”就可以用1/4來表示這個問題卻始終沒有提及與解釋。

2.下面哪個圖里的涂色部分是1/4，在（ ）里畫“√”

筆者覺得可以利用反例容錯、糾錯。首先可以從分數部分與整體的意義入手，幫助學生理解“平均分”是認識分數的前提。如“想想做做”第2題一共4個圖例，其中有3個圖例都是反例，編者這樣設計是有他的意圖的，一線教師一般都能體會這個反例練習在這里的作用是強調沒有平均分就不能用分數÷表示。這個環節的教學大都會在學生“它沒有平均分”的齊聲作答中結束。但筆者認為這樣教學只是浮光掠影，并沒有將這三個反例運用到位。

對3個反例要通過設計追問，引導學生思考：把涂色部分看作是1份，如果用1/4表示，整體就有4個這樣的涂色部分。通過多媒體課件拼擺，讓學生明白：反例1以這樣的一小份為部分拼成的整體應該比原來的整體小;反例2以涂色部分為1份拼成的整體比原來的整體大;反例3拼成的整體大了并且連形狀都改變了，都不是圓形了。從而讓學生感悟：不“平均分”就沒有標準量，不論用其中哪一份來合都回不到原來的整體;合成的整體要么比原來的整體大，要么比原來的整體小，并且面積和形體還會發生改變。只有在“平均分”前提下取其中的任意一個1份，才會回到原來的那個整體。因為每一個部分是確定的，合成的整體也是確定的，分數部分和整體的關系才能成立。

當然這里理解為什么要“平均分”，除了可以從不平均導致部分的大小不唯一，帶來整體的大小不唯一這個角度出發;也可以從分數“度量”的意義幫助學生理解，若不平均分，分數單位所對應的長度單位就不唯一，就無法用一個合適的分數來表示測量的結果。筆者就以特級教師華應龍《分數的意義》的一個教學片段來揭示。

師：沙發是多少個領帶長呢？

生：（七嘴八舌）3/4。

師：（出示下圖）3/4個領帶長應該就是這么長了。

生：不對！不對！

師：怎么不對了啊？

生：這幾段都不一樣長，所以不對。

師：（出示下圖）那這樣呢？

生：哈哈，也不行。

師：咦？你看這不是1份、2份、3份、4份，然后4份中選了3份嘛，怎么又不行呢？

師：（出示下圖）那這個呢？

生：可以！

師：為什么這個就行了？

生：因為它們都是一樣長的。

師：回顧一下，第一個不行，第二個也不行，怎么第三個就行了呢？

生：它們都是平均的。

師：是啊，最后一個是平均分的。平均分了之后，4份中3份的長度就確定了。如果不是平均分的，那4份中的3份的長度就可長可短了。所以，一定要怎么分？

生：平均分！

華老師通過這個獨具匠心的設計讓學生感受到如果沒有平均分，分數單位就無法統一，那么對應的3份的總和就無法統一，可能變得有長有短，無法確定3/4個領帶的長度，匹配失敗小頭爸爸無法購買沙發。反之，平均分了，分數單位確定了，每一份的長度都確定，那么3份總長度也就是確定的，購買沙發的問題就可以解決了。創設了一個貼近生活的測量情境跟學生解釋了學習分數一定要平均分。從測量的角度解釋平均分是華老師的首創，但對于夯實“平均分”的概念還沒有停止，華老師沒有放過那些創造了不等分的圖例作品的學生，讓學生通過改錯的方式再次感受為什么要平均分，怎樣才能做到平均分。這樣顛覆性的設計，值得每位一線教師細細體會。