關注“默會知識”，培育數學素養

董客偉

[摘? 要] 對于高中數學而言，數學學科核心素養的落地，如何在知識教學的過程中順利實現？這個問題值得每位一線教師認真思考. 高中數學教學中如何培育學生的核心素養，這需要界定好知識與核心素養的關系. 在教學設計的時候，要注意：一是給學生設計體驗性的學習情境，二是讓學生通過交流討論將默會知識顯性化. 利用默會知識培育學生的數學學科核心素養，有兩個挑戰：一是默會知識的形態以及形成機制把握，二是重視默會知識的作用，并不意味著忽視顯性知識的作用，事實上兩者是并重的. 數學學科是基礎學科，學生在數學學科的學習中獲得核心素養的過程，無論是對于其他學科的學習而言，還是對于學生的成長而言，都有著積極的意義.

[關鍵詞] 高中數學;默會知識;核心素養;教學啟發

縱觀近數十年來的課程改革，可以發現有一個概念始終長盛不衰，這個概念就是“知識”. 眾所周知，中國的教育曾經走過了知識為本的時代，而在不斷地反思與改進的過程中，人們越來越多地意識到應當培養學生的能力，盡管將注意力轉換到能力上，但是能力與知識之間的關系依然是熱議的話題之一. 在第八輪課程改革中，明確提出了三維目標，這三維目標中提及了知識，同時也提到了技能方法以及情感態度、價值觀等. 人們通過深入研究發現，其他教學目標的達成都離不開知識的教學. 時至今日，核心素養的概念被提出，通過具體學科的教學讓核心素養落地，成為一個重要話題. 對于高中數學而言，數學學科核心素養的落地，如何在知識教學的過程中順利實現？這個問題值得每位一線教師認真思考. 有研究者指出，高中數學教學中如何培育學生的核心素養，這需要界定好知識與核心素養的關系. 而進一步的研究表明，知識與核心素養并非二元對立，后者可以在前者中得到生長，且知識教學的方式對核心素養的培育效果有著明顯的影響. 正是基于這樣的原因，在高中數學教學中，應當給予學生足夠的思維空間，讓學生經歷問題解決的過程，這樣的教學方式可以更好地促進核心素養的培育.

知識可以分為兩種：一種是顯性知識，一種是隱性知識. 隱性知識又叫默會知識，這一類知識容易為教師所忽視，但是對于學生的知識建構以及問題解決而言，又起著非常重要的作用，可以肯定的是，其在核心素養培育的過程中，也有著不可忽視的作用，因此在高中數學教學中值得研究.

[?]默會知識之數學學科核心素養的意義

默會知識是二十世紀有影響的科學家和哲學家邁克爾·波蘭尼提出的，其在1958年發表的全面體現其哲學思想的著作《個人知識》中，對傳統的主客觀分離的知識觀進行了無情的批判，他認為知識是客觀性與個人性的結合，具有默會的成分，在一定程度上是不可言傳的，由此產生了“默會知識論”. 在人的學習過程中，確實存在默會知識，就拿高中數學教學而言，當很多學生尤其是優秀學生能夠順利地建構數學知識及其體系，并且能夠順利地解決問題時，如果你問他是如何學習的，那么這些優秀學生往往都會回答“我也不知道，在學習或者解題的時候，自然而然地就想到了……”在這種“知其然而不知其所以然”的背后，其實就是默會知識在發揮著作用.

高中數學學科核心素養由數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象以及數據分析等六個要素組成. 這些數學學科核心素養要素的落地，當然取決于教師給學生創設的學習情境，更取決于學生在學習過程中是如何主動建構并內化知識的. 當學生學習一些顯性的數學概念或者規律，又或者是加工數學定義、圖表等，他們是如何完成信息輸入的，又是怎樣進行加工的？……這些過程值得研究，同時也是默會知識研究的重要內涵.

以數學抽象為例，培養學生的數學抽象素養，往往要給學生提供一個生活素材的情境. 一個好的情境，總能讓學生沉浸其中時迅速完成正確的指向，也就是學生的思維方向不會發生散亂或者偏移;相反，一個差的情境，學生進入其中之后往往無所適從，把握不住準確的學習方向與問題解決方向. 從這個角度來看，在數學抽象素養培養的過程中，教師要摸準學生的默會知識范圍，然后去創設相應的情境;而如果真正做到這一點，實際上也就真正實現了因材施教，而這正是數學學科核心素養落地的重要途徑.

[?]基于默會知識培育數學核心素養的途徑

通過以上分析，在具體的數學學科核心素養培育的過程中，教師就可以基于默會知識去設計教學. 這里分為理論認識與實踐兩個層面，從理論的角度來看，教師要認識到對于高中數學來講，提高數學成績僅僅是其中一方面，培養學生的核心素養更加重要，教師要引導學生在學習數學時勤于思考，及時歸納總結;從實踐的角度來看，基于默會知識培育數學核心素養，需要教師在積累的經驗基礎之上，把握學生的默會知識——因為知識是默會的，因此把握起來存在一定的困難，但可以通過學生有形的學習過程來表現. 因此在實踐操作的時候，這一途徑是可尋覓、可確定的. 仍然以數學抽象為例，在“空間幾何體的三視圖和直觀圖”的教學中，建立中心投影與平層投影的概念，是一個典型的數學抽象過程. 這里涉及一些基本的概念，如投影、投影線、投影面、中心投影、平行投影等，這些概念的建立都是數學抽象的產物（當然還涉及其他一些過程，比如用數學語言描述數學抽象的結果等）. 筆者在教學中跟部分學生進行過交流，通過交流研究發現，學生在生活中對與投影相關的一些現象有所關注，在大腦中也進行了一些初步的思考，但是這個思考是模糊的、不成系統的. 考慮到學生的這些前方概念，筆者在教學設計的時候，重點設計了兩個教學環節：

一是給學生設計體驗性的學習情境. 情境中涉及的素材包括手影游戲，3Dmax設計的可互動、可調節光源的課件. 學生的體驗過程主要體現在：手影游戲的過程中，通過改變手的形狀以及手與光源之間的距離，改變手影的形狀與大小;通過調節課件中的光源，得到不同的影. 這一體驗的過程是為了幫助學生建立感性經驗，事實證明，感性經驗生成的過程，既與外界輸入的信息（也就是學生在體驗過程中獲得的信息）有關，也與學生原有的默會知識有關. 根據默會知識的形成原理，人在活動中進行的“身體化活動”，與在覺察過程中生成的“附帶的覺察”，是默會知識的兩大來源. 在上述體驗的過程中，學生通過手柄游戲的完成，通過課件的互動體驗，不僅有身體化的活動，在集中覺察的同時也有附帶的覺察，于是就會生成一些默會知識.

二是讓學生通過交流討論將默會知識顯性化. 生成的默會知識如何發揮作用？這也是值得研究的一個課題. 根據有關研究，讓默會知識顯性化，可以在提升學生學習品質的同時進一步更好地培育數學學科核心素養.

例如，在上面的例子中，學生在體驗過程中，發現改變相關要素，手影就會發生相應的變化. 其中的變化之一來源于光源，這是學生在討論交流的過程中認識到的. 當光源是點光源或者平行光源的時候，視覺效果是有所不同的，這種自主發現，實際上就是學生默會知識變成顯性知識的過程. 有了這一過程，數學抽象素養的落地就有了保障. 這是因為，學生在比較之后發現的不同，正成為學生給予自己的體驗，進而將體驗結果變成數學知識的過程.

[?]利用默會知識培育數學核心素養的關鍵

相對于顯性知識而言，利用默會知識來培養數學學科核心素養雖然更具挑戰性，但是由于默會知識對學生學習結果以及學習品質的提升影響不可忽視，因此這個研究又是有價值的.

需要注意的是，利用默會知識培育學生的數學學科核心素養，有兩個挑戰：一是默會知識的形態以及形成機制的把握，在理論研究領域還存在一些空間. 作為一線教師，利用其來培育數學學科核心素養，相應地也就存在一些挑戰. 二是重視默會知識的作用，并不意味著忽視顯性知識的作用，事實上兩者是并重的. 此外，重視知識也不意味著忽視情感. 大量事實表明，在承認言語可述知識的重要價值時，將認知主體的情感、態度和價值等默會認知能力概括為知識范疇，進而跨越主客二分鴻溝，從明述與默會、普遍與具體等交叉維度重構個人知識內涵，賦予個人知識以邏輯品格與情境理性之特質，是基本的方法取向.

以上是筆者對高中數學教學中，運用默會知識培育學生數學學科核心素養的一點淺顯探究. 實際上對默會知識的研究以及對數學學科核心素養培育的研究都是新的課題，將兩個新的課題結合在一起的挑戰性可想而知. 盡管如此，面對這個挑戰依然是有必要的，數學學科是基礎學科，學生在數學學科的學習中獲得核心素養的過程，無論是對于其他學科的學習而言，還是對于學生的成長而言，都有著積極的意義. 充分發揮這一意義，可以為核心素養的研究帶來更多有益的思考.