創新教學方式 發展數學素養

李建良

[摘? 要] “數學抽象”是高中數學核心素養的重要內容，高中數學教學要著力培養學生的數學抽象能力，通過優化教學和學習方式，引導學生積累從具體到抽象的活動經驗，通過抽象概括，把握數學本質，使學生深入理解數學相關概念或定理. 文章以教學實踐為例，初步探索如何通過優化教學方式來發展高中生數學抽象核心素養.

[關鍵詞] 數學抽象;核心素養;教學方式

《2017版普通高中數學課程標準》明確指出：“數學核心素養是數學課程目標的集中體現，數學核心素養是在數學學習過程中逐步形成的，高中階段數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.”抽象是數學的思維方式之一，是數學活動中最基本的思維方法. 對于數學抽象的教學，實際上是一種構造活動，是借助已有知識和邏輯推理建構新概念或定理的過程. 因此，我們要優化教學方式，引導學生在已有知識基礎上通過觀察實驗、猜想驗證、邏輯推理、抽象概括等數學活動逐步獲得新概念、新定理，要達到這樣的目的必須培養學生的數學抽象核心素養. 下面結合具體實例來談談在教學中如何通過直觀教學、數學實驗、類比聯想、數學探究等區別于傳統的教學方式來發展學生抽象素養.

[?]重視直觀教學，增強感性體驗

直觀教學就是在數學教學中，為學生提供生動、具體、形象的可感知的實物、圖片、模型或作圖軟件繪制的動態圖形，豐富學生的直接經驗和感性認識，深化學生理性認識的一種教學手段. 目的是幫助學生正確認識學習的對象，牢固掌握所學知識，有利于激發學生的學習興趣，提高學生的數學抽象能力.

在必修1“函數單調性”的教學過程中，盡可能提供實例和素材，創設問題情境，引導學生直觀地描述函數圖像的特征，形與數的關系，進而幫助學生理解和掌握函數單調性概念.教學中首先創設情境，設計如下問題.

問題1：函數f（x）=x與f（x）=x2的圖像是怎樣變化的，它們有怎樣的升降規律？

多媒體給出上述兩個函數圖像，讓學生充分觀察圖像的變化，并組織學生對它們進行多視角的比較，進而分析每個圖像各自的特點，從中尋找它們的相同點和不同點. 這樣做不僅體現數學建構主義學習的主要特征，而且可以培養觀察、聯想、比較、分析、綜合、抽象、概括的一般思維方法.

學生相互爭鳴提出自己的意見，分化出這些圖形相對共同的某種性質或特征. 討論之后，學生的回答如下：一次函數f（x）=x圖像由左至右是上升的;函數f（x）=x2圖像在y軸左側是下降的，在y軸右側是上升的. 這時教師要做必要的說明：不同的函數，其圖像的變化趨勢可能也不同;同一函數在不同區間上的變化趨勢也不一定相同，即上述圖像的上升或下降表明了函數在變化中一種不變的性質，數學上把這種函數的性質稱之為“單調性”，上升稱為單調遞增，下降稱為單調遞減. 此時可以設置如下問題.

問題2：怎樣用x與f（x）數值的變化來描述圖像的上升或下降呢？

教師可指導學生利用科學計數器完成f（x）=x2的對值表，并觀察表格中自變量的值由小到大變化時，函數值f（x）的變化（表1）.

學生歸納得到：二次函數f（x）=x2，x<0時函數值f（x）隨著x的增大而減小，x>0時函數值f（x）隨著x的增大而增大，即函數y=f（x）圖像相對x軸逐漸上升等價于函數f（x）隨x的增大而增大;函數y=f（x）圖像相對x軸逐漸下降等價于函數f（x）隨x的增大而減小. 接著教師要引導學生如何利用函數解析式f（x）=x2描述“函數f（x）隨x的增大而增大”和“函數f（x）隨x的增大而減小”. 這是用動態的圖形描述過渡到用靜態的符號描述的過程，需要讓學生充分討論，尋找數學抽象表述的方法，提出單調性定義的假設.此時教師提出如下問題.

問題3：對于f（x）=x2，在（0，+∞）上，任意改變x，x的值，當x

學生嘗試解決任意給出一些x，x的值，發現當x

[?]開展實驗教學，驗證數學抽象認識

數學實驗教學是在教師的引導下，學生運用有關工具，通過實際操作，發現數學概念、定理，驗證數學結論的活動.

例如，必修2“線面垂直的判定定理”一節，我們可以設計如下實驗教學：如圖1，請同學們準備一塊三角形的紙片，我們一起來做一個實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面α上（BD，CD與桌面接觸）. （1）折痕AD與桌面α垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面α垂直？

在折紙實驗中，學生會出現“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導學生進行交流，根據直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因，學生再次折紙，進而探究直線與平面垂直的條件. 在學生繼續動手操作的過程中發現：當且僅當折痕AD是邊BC上的高時，AD與桌面α垂直，這激發了學生的好奇心：這是為什么呢？緊接著可以設置這樣一個問題：（1）有人說，折痕AD所在直線與桌面α上的一條直線垂直，就可以判斷AD垂直平面α，你同意他的說法嗎？（2）如圖1，由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關系不變，即AD⊥BD且AD⊥CD，由此你能得到什么結論？通過探究，學生發現：AD⊥BC沿著AD翻折之后這一垂直關系是一個不變關系，即在圖2中AD⊥BD且AD⊥CD，并且BD交CD于D，BD，CD?α.通過以上實驗觀察、交流探究，線面垂直的判定定理自然就出來了.

[?]實施數學探究，培養學生抽象思維

探究性學習，是指在教師的指導下，讓學生主動去探索知識、獲取知識并運用知識的學習方式. 因此對于教材安排的有些“探究”“思考”，不但要充分利用起來，而且要加以拓展和延伸，將探究進行到底.

教學選修2-3“二項式系數的性質”時，為了使學生建立“楊輝三角”與二項式系數的性質之間關系的直覺，讓學生計算（a+b）n展開式的二項式系數并填入表格. 學生計算后，發現每一行的系數具有對稱性，為方便探究，教材建議將表格表示形式發生轉變，引出“楊輝三角”，并設置探究2：你能借助上面的表示形式發現一些新的規律嗎？教材將二項式系數性質與“楊輝三角”結合起來，是因為當二項式系數不大時，可借助它直接寫出各項的二項式系數，并利用它探究二項式系數的性質，如對稱性、增減性與最大值、二項式系數的和等等.

在研究完二項式系數的性質后，可以收集相關資料，創設合理情景，分組探索研究：

1. 每位同學都自己編制楊輝三角前20行.

2. 每個小組發一份“楊輝三角研究成果報告單”，附：楊輝三角研究成果報告單（表2）.

3. 教師用多媒體或實物投影儀出示下列五個問題.

問題1：在楊輝三角的第1、3、7、15、……行，即第2k-1行的各數字有什么特點？

問題2：在楊輝三角的第5行中，除去兩端數字1以外，行數5能整除其余的所有各數，你能找出具有類似性質的三行嗎？這時行數P是一個什么樣的數？

問題3：在楊輝三角的前5行中作平行于左斜邊的直線，這些直線所經過的數字之和有什么特點？

問題4：在教材第36頁圖2中，請先求出斜線所經過的數字的和，再觀察這些和，你能發現什么規律嗎？

問題5：在楊輝三角的前6行、……、前n行數字中作平行于右斜邊的直線，這些直線所經過的數字的和是多少？

各組研究后，成果由小組長匯總，填入研究成果報告單，教師審閱后，按相異的原則抽選3個組，或抽簽選取3個組，然后指導學生使用投影儀展示，并加以說明. 被抽小組發言后，由未被抽選的小組發言說明不同的結論或疑問，再由另外的同學進行評估交流. 教師對不同的結論和疑問可組織學生討論、答辯，并循循善誘地引導到正確結論上來，結論由學生給出. 如果時間允許，對高階等差數列求和問題，教師可介紹“逐差法”求和，與用楊輝三角數字規律求高階等差數列和比較繁簡，另外還可引導學生共同探求“萊布尼茨三角”的數字規律. 在課堂上有的規律可能探求不出，寧可留到課外去討論，教師也不要把結論強行“塞”給學生，在整個過程中要充分尊重學生的“主角”地位.

數學探究活動是綜合提升數學學科核心素養的載體. 在課堂教學中，應重視學生自主探索研究的學習過程，教師重在點撥、指導，以利形成研究的氛圍. 為培養學生的“發現”欲望，激發學生興趣，對學生探求的結果，哪怕是微小的發現，都應給予充分肯定、表揚和鼓勵. 教學相長，以此建設新型的師生關系. 培養學生的探究能力不是一朝一夕的，只要我們充分利用好教材提供的豐富資源，正確把握數學教育的特點，充分關注學習過程，誘發探究興趣，嘗試探究途徑，拓寬探究領域，學生的探究能力就一定能得到明顯提高.