嚴格凸函數與半嚴格凸函數的幾個性質*

楊 丹

(喀什大學數學與統計學院，新疆 喀什 844008)

0 引言

得益于凸性與廣義凸性在最優化領域的重要作用，使得針對凸性與廣義凸性的研究成為數學學科的重要研究課題。但實際上，具有凸性的函數相對來說是很少的。國內外數學學者相繼研究出各類廣義凸函數、嚴格凸函數與半嚴格凸函數及其在最優化鄰域的相關應用。

假設E是拓撲線性空間，X?E是非空凸子集，f：X→R，以下函數類定義見文獻[1]和文獻[2]。

定義1[1]如果?x，y∈X，?λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y)，則稱f(x)為X上的凸函數。

定義2[2]設f：X→R。

(1)如果?x，y∈X，x≠y，?λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，則稱f(x)為X上的嚴格凸函數。

(2)如果?x，y∈X，f(x)≠f(y)，?λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，則稱f(x)為X上的半嚴格凸函數。

(3)如果?x，y∈X，?λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)≤max{f(x)，f(y)}，則稱f(x)為X上的擬凸函數。

(4)如果?x，y∈X，x≠y，?λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)

(5)如果?x，y∈X，f(x)≠f(y)，?λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)

在廣義凸性的研究中，對于嚴格凸函數，條件(1)經常被使用。

條件(1)：?λ∈(0，1)，?x，y∈X，x≠y，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)。在文獻[3-6]中函數f滿足條件(1)，且f是上半連續或下半連續或凸函數，則f為嚴格凸函數。在條件(1)的基礎上，本文研究更弱條件下，?x，y∈X，x≠y，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)成立的嚴格凸函數的幾個性質。

對于半嚴格凸函數的研究，大量的參考文獻主要集中于條件(2)。

條件(2)：?λ∈(0，1)，?x，y∈X，f(x)≠f(y)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)。

文獻[3]表明，在條件(2)的基礎上，無論f為凸函數或下半連續，f均為半嚴格凸函數。因此，本文研究在比條件(2)更弱的條件?x，y∈X，f(x)≠f(y)，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)下半嚴格凸函數的性質。

1 嚴格凸函數

引理1[7]若f：X→R為凸函數，且x，y∈X，x≠y，λ0∈(0，1)，使得：

f(λ0x+(1-λ0)y)=λ0f(x)+(1-λ0)f(y)

則f(λx+(1-λ)y)=λf(x)+(1-λ)f(y)?λ∈(0，1)。

定理1 設f：X→R為凸函數，如果f滿足條件?x，y∈X，x≠y，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，則f在X上是嚴格凸函數。

證明：用反證法，假設f在X上不是嚴格凸函數，也即?x，y∈X，x≠y，?λ0∈(0，1)，有f(λ0x+(1-λ0)y)≥λ0f(x)+(1-λ0)f(y)。

又因為f為凸函數，對上述x，y以及λ0∈(0，1)有f(λ0x+(1-λ0)y)≤λ0f(x)+(1-λ0)f(y)。

綜上可知，對上述x，y，λ0∈(0，1)有f(λ0x+(1-λ0)y)=λ0f(x)+(1-λ0)f(y)。

由引理1可知，對上述x，y對?λ∈(0，1)，f(λx+(1-λ)y)=λf(x)+(1-λ)f(y)成立。這與定理1的條件相矛盾，所以原命題正確。

推論1 設f：X→R滿足條件?x，y∈X，x≠y，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，且f在X下半連續，則f在X上是嚴格凸函數。

證明：由文獻[3](定理1.2.8)可知，f在X下半連續且滿足條件(1)時，則f為凸函數，又因為滿足推論1，則條件?x，y∈X，x≠y，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)必滿足條件(1)，所以可知f為凸函數，又有定理1可知f在X上是嚴格凸函數。

推論2 設f：X→R為擬凸函數，且滿足條件?x，y∈X，x≠y，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，則f在X上是嚴格凸函數。

證明：由文獻[3](定理2.1.15)可知，f在X上為擬凸函數且滿足條件(1)時，則f為凸函數，又因為滿足……