線性代數中特征向量的一個應用

紀影丹， 譚 文

(廣東工業大學 應用數學學院，廣州510520)

1 引 言

線性代數是處理矩陣和向量空間的一個數學分支.線性代數可以用于工程學、計算機科學、數學、物理學、生物學、經濟學和統計學中解釋基本原理和簡化計算.掌握線性代數的基本概念及應用技巧，為后續課程的學習和工作實踐奠定基礎[1].

特征值來源并應用于離散動力系統和連續動力系統.工程技術中的一些問題，如振動問題和穩定性問題，?？蓺w結為一個方陣的特征值和特征向量的問題.特征值和特征向量在線性代數的學習中起著非常重要的作用，例如：線性方程組的基礎解系可以通過求系數矩陣的特征值和特征向量得到；二次型的規范化可歸結為對稱矩陣的對角化問題，即驗證是否有足夠多的線性無關的特征向量；求方陣的冪及解微分方程組等問題.

在教學中要更多的融入科研工作，這樣不僅能使教師更有效的傳授知識，也能激發學生的學習積極性，并使學生對知識的理解更透徹.在教學過程中，應該讓學生樹立科研思維和發散思維，使其善于發現問題并能夠利用所學知識靈活的解決問題，逐步掌握科研的方法和認識科研的一般過程.科研創新能力對學生綜合實力的提高起著關鍵作用.

在為經管專業的學生講授線性代數中一個利用特征值和特征向量求矩陣的例子時，有一個關于唯一性的疑問[2].在解決此問題后，又以此為切入點，提出猜測：是否可以利用以特征向量為列向量的矩陣刻畫出所有與對角矩陣可交換的矩陣.本文第3部分證明了上述猜測是正確的.在科研過程中，經常會發現有意義的問題，然后就需要找到證明的辦法.希望通過本文，能夠使學生對如何在本科學習中開展科研工作有更清晰的理解.做為教師，也將繼續努力尋找更加合適的方式把科研的思維和方法融入到教學中，提高學生的學習和創新能力.

2 問題的引入

定義1[1]設A，B是兩個矩陣.如果存在可逆矩陣P，滿足A=P-1AB，則稱A和B是相似的.

定義2[1]設A是一個矩陣.如果存在λ和非零向量x，使得Ax=λx，則稱λ為A的一個特征值，x為A的對應于特征值λ的特征向量.

引理1[1]不同特征值所對應的特征向量線性無關.

設A是一個n階可對角化的方陣.設P=(p1，p2，…，pn)是一個n×n矩陣，其中列向量pi(1≤i≤n)為A的線性無關的特征向量.則P是可逆的.假設

Api=λipi， 1≤i≤n，

其中λi為A的特征值.令Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)，則等式Λ=P-1AP和A=PΛP-1成立.

引理2[1]任意實對稱矩陣都可對角化，且其屬于不同特征值的特征向量正交.

例1設A是一個三階矩陣，-1，1，0是A的特征值，且α1=(1，0，-1)T和α2=(1，0，1)T是A的分別屬于特征值-1，1的特征向量.求矩陣A.

在教學過程中，學生在解例1時，會有疑問：k取不同的值，是否會得到相同的矩陣A？下面就一起來看一下.根據例1的解題過程，得到：對于任意的非零實數k1和k2，

P(k1)ΛP(k1)-1=A=P(k2)ΛP(k2)-1

(1)

成立.這樣就得到，A的取值并不依賴于P(k)中k的選取.

另一方面，由(1)得到

P(k2)-1P(k1)Λ=ΛP(k2)-1P(k1)，

即，P(k2)-1P(k1)是一個和Λ可交換的矩陣.注意到，P(k1)和P(k2)都是以A(與Λ相似)的特征向量為列向量的矩陣.由此引出問題：是否所有與Λ可以交換的矩陣都可以寫成P(k2)-1P(k1)這種形式？

3 主要結果

下面來解決上述問題，即：對于任意一個對角矩陣，用以特征向量為列向量的矩陣來刻畫與其可交換的矩陣.

定理1設

是一個實對角n×n矩陣.則一個n×n矩陣U與Λ可交換當且僅當U=P-1Q，其中P和Q是滿足下面條件的兩個n×n矩陣，

(i)P可逆 ； (ii)存在一個n×n矩陣A，使得AP=PΛ，AQ=QΛ成立.

證先證明充分性.假設P，Q是兩個n×n矩陣，滿足條件(i)和(ii).令U=P-1Q.下面驗證U與Λ可交換.利用AP=PΛ，以及P是一個可逆矩陣，得到A=PΛP-1.由于AQ=QΛ，得到Q的每個列向量都是A的特征向量，但這些特征向量不一定線性無關，因為Q不一定可逆.進一步，有

QΛ=AQ=PΛP-1Q.

于是

P-1QΛ=P-1PΛP-1Q=ΛP-1Q.

因為U=P-1Q，所以UΛ=ΛU.這樣就得到U與對角矩陣Λ可交換.注意到，U是一個可逆矩陣當且僅當Q是一個可逆矩陣.

下面證明必要性，也就是證明每一個和Λ可交換的矩陣都可以表示成P-1Q這種形式，且P，Q滿足條件(i)和(ii).設U是一個滿足UΛ=ΛU的n×n矩陣.假設A是一個和Λ相似的矩陣.則A可以對角化.于是存在一個可逆矩陣P滿足AP=PΛ，其實也就是把矩陣P的列向量按次序取為A的n個線性無關的特征向量，即(i)滿足.因此，P-1AP=Λ，于是

UP-1AP=P-1APU，

令Q=PU，則U=P-1Q.這樣就得到

QP-1AP=PUP-1AP=APU=AQ.

于是，QΛ=QP-1AP=AQ，即Q的列向量都是矩陣A的特征向量，(ii)滿足.

注1 在上述定理的證明中出現的矩陣A不要求是對稱矩陣，也不要求是可逆矩陣，后者主要是由Λ的對角線上有無非零元素決定.

特別地，如果上述定理中的對角矩陣滿足對角線上相同的元素在相鄰的位置，那么就得到下面的推論.

推論1設

其中Uj是nj級矩陣(j=1，2，…，r)的準對角矩陣.

證設U=(uij)n×n是一個和Λ可交換的矩陣.根據定理1，存在一個n×n可逆矩陣P，兩個n×n矩陣Q和A，使得等式U=P-1Q，AP=PΛ和AQ=QΛ成立.容易得到，P和Q的列向量都是屬于矩陣A的特征向量.根據Λ的結構，對矩陣P和Q的列向量進行分組編號，得到

(q1，…，qi1，qi1+1，…，qi2，…，qir-1+1，…，qir)

=Q=PU

=(p1，…，pi1，pi1+1，…，pi2，…，pir-1+1，…，pir)U，

其中i1=n1，ij-ij-1=nj(j=2，…，r)，且ir=n.設1≤j≤r-1，則對任意的ij+1≤k≤ij+1，有

qk=u1kp1+…+ui1kpi1+ui1+1，kpi1+1+…+ui2，kpi2+…+uir，kpir.

注意到，對于j=1，2，…，r-1，

qij+1，…，qij+1(或者pij+1，…，pij+1)

是A的對應于特征值aj的(或者，線性無關的)特征向量.利用引理1，ut，k≠0當且僅當ij+1≤t≤ij+1，其中1≤t≤n.于是，qk=uij+1，kpij+1+…+uij+1，kpij+1.由此得到

是一個準對角矩陣，其中Uj是一個nj階方陣，1≤j≤r.

注2 文獻[3]給出上述推論的另外一種證明方法，大概思路為：先假設與已知對角矩陣交換的矩陣具有特定的分塊形式，再利用分塊矩陣乘法的相關性質，得到推論中的結果.對比兩種證明方法，本文利用特征向量來構造矩陣的方法也許更讓人耳目一新.

4 應 用

設A是一個可對角化的矩陣，且存在可逆矩陣P和對角矩陣Λ，使得P-1AP=Λ.設M是一個和Λ可交換的矩陣，即MΛ=ΛM.則

PMP-1·A=PMP-1·PΛP-1=PMΛP-1=PΛMP-1=PΛP-1·PMP-1=A·PMP-1，

得到PMP-1是一個和A交換的矩陣.令

S ={所有和A可交換的矩陣}， T ={所有和Λ可交換的矩陣}.

定義映射

Φ: S →T，NP-1NP，

則容易驗證Φ是一個雙射.所以利用與Λ可交換的矩陣可以表示出所有與A可交換的矩陣.也就是說，根據本文第3部分的主要結果，可以對與A可交換的矩陣給出完全刻畫.

研究與特定矩陣可交換的矩陣是一個十分有意義的課題.例如：文獻[4，5]證明，在一定條件下，與一個矩陣可以交換的矩陣一定可以表示為這個矩陣的多項式矩陣.可交換的矩陣會有一些特殊的性質.下面僅列舉其中兩個：若矩陣A，B可交換，則(i)A，B可以同時上三角化；(ii)(A+B)m滿足矩陣的二項式定理.

注意到，若而當矩陣是對角矩陣的推廣.所以自然的想法是，應用本文定理中的方法和思想，繼續研究如何利用特征向量來刻畫與若爾當矩陣可交換的矩陣.這是后續要開展的工作.

5 結 論

本文從一個引例出發，發現問題，并得到主要結果：對任意的一個對角矩陣，用以特征向量為列向量的兩個矩陣刻畫出了與其可交換的所有矩陣.在線性代數中，特征向量在矩陣的對角化過程中起著重要的作用.本文定理中的結果進一步驗證了特征向量與對角矩陣之間確實存在著緊密的聯系.以此為例，在以后線性代數的教學過程中，希望通過鼓勵學生發現問題并積極主動的嘗試解決問題，使學生自己發現新的結果.這不僅能使學生對所學的知識得到鞏固，也能逐步激發和提升其科研探究能力.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.