Zeilberger算法與二項分布

張雅恬， 劉世鳳， 張亞南

(天津理工大學 理學院，天津300384)

1 引 言

20世紀90年代，組合學家Wilf和Zeilberger給出了WZ理論[1]，該理論是證明組合恒等式的一種機械化方法.其中的Zeilberger算法是尋找和式的線性遞推關系的一種方法，利用和式的遞推關系可以對和式進行化簡和證明.

首先，需要找到一個關于n,k的有理函數R(n,k)和關于n的多項式系數c0(n),c1(n),…,cp(n)滿足

c0(n)F(n,k)+c1(n)F(n+1,k)+…+cp(n)F(n+p,k)=g(n,k+1)-g(n,k),

(1)

其中p為自然數，g(n,k)=R(n,k)F(n,k).

可利用maple軟件包hsum15.mpl(可以從http:∥www.mathematik.uni-kassel.de/～koepf/hsum15.mpl下載)求得R(n,k),c0(n),c1(n),…,cp(n).

然后，上式兩邊關于k從0到n+p求和，即

整理得

c0(n)[f(n)+F(n,n+1)+…+F(n,n+p)]+…+cp(n)f(n+p)=g(n,n+p+1)-g(n,0).

于是得到一個僅跟n有關的遞推關系

c0(n)f(n)+c1(n)f(n+1)+…+cp(n)f(n+p)=-g(n,0),

當p=1,g(n,0)=0時，可遞歸算得f(n).

2 二項分布的高階矩

在概率論中高階矩[4]是一個常見且非常重要的概念，它主要被用來衡量誤差的大小.其中一階矩被稱為數學期望，二階中心矩被稱為方差.

設X服從二項分布B(n,p), 分布律為

定理1設X服從二項分布B(n,p), 則E(X)=np.

證令

利用hsum15.mpl軟件包中的sumrecursion命令求解，得到

-nF(n+1,k)+(n+1)F(n,k)=g(n,k+1)-g(n,k),

其中g(n,k)=R(n,k)F(n,k), 上述等式兩邊對k從0到n+1求和可得

定理2設X服從二項分布B(n,p), 則方差D(X)=np(1-p).

證令

由sumrecursion命令求得

-n(pn-p+1)F(n+1,k)+(pn+1)(n+1)F(n,k)=g(n,k+1)-g(n,k),

其中g(n,k)=R(n,k)F(n,k). 上式兩邊對k求和，得

-n(pn-p+1)f(n+1)+(pn+1)(n+1)f(n)=0，

則

由遞推關系可知：f(n)=n(pn-p+1)f(1). 由于f(1)=p, 則f(n)=n(n-1)p2+np.

即E(X2)=n(n-1)p2+np. 由定理1知E2(X)=n2p2, 所以

D(X)=E(X2)-(E(X))2=n(n-1)p2+np-n2p2=-np2+np=np(1-p).

由同樣的方法可得超幾何分布的期望和方差，并且還可求得二項分布的m階矩，比利用m階矩的遞推公式[5-6]計算更直接.

表1

3 探究形如的和式

計算得到f(n+1)=(1+q)f(n),f(1)=1+q. 由此遞推得出f(n)=(1+q)n.

利用sumrecursion命令，部分結果如下表：

表2

證由于

是k的m次多項式，則

其中c0,c1,…,cm與k無關.

-(-n-1+l)(lσ1-nσ1+n)F(n+1,k,l)+(n+1)(l-n)F(n,k,l)=g(n,k+1,l)-g(n,k,l),

其中σ1是自由量，令σ1=0, 得

(n+1-l)nF(n+1,k,l)+(n+1)(l-n)F(n,k,l)=g(n,k+1,l)-g(n,k,l).

l=1時，f(n,l)=0.

令

由sumrecursion命令求得

-(n+1)(α2n-2αnx+nx2-x2+x)F(n+1,k)+n(α2n-2αnx+nx2+α2-2αx+x)F(n,k)
=g(n,k+1)-g(n,k)

+4α2kn2x-2αkn2x2-2α3kn+2α3n2+α2k2n+4α2knx-3α2n2x-α2nx2-2αk2nx

+2αn2x2+k2nx2+2α3n+α2k2-2α2kn-α2kx-2α2nx-2αk2x+2αknx+2αkx2

-2knx2-α2k+α2x+2αkx-2αx2+k2x-kx2+nx2-kx+x2)(-1+x)kn)，

其中g(n,k)=R(n,k)F(n,k). 上式兩邊對k求和，得

-(n+1)(α2n-2αnx+nx2-x2+x)f(n+1)+n(α2n-2αnx+nx2+α2-2αx+x)f(n)=0,

則

由遞推關系可知

其中f(1)=α2+x-2αx.則

注 [7]中將該求和項中的(k-nα)2分解成三項之和

(k-nα)2=n2α2-(2nα-1)k+k(k-1)，

5 結 論

利用Zeilberger算法尋找遞推關系式，從而求解和式.這一方法可以用來計算概率分布中的k階矩，以及解決高等數學中一些級數求和問題.本文主要給出二項分布的高階矩求解，這一方法還可以用來求解超幾何分布和其他離散型分布的高階矩.對于復雜的和式求解問題也可以參考該算法.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.