探究知識(shí)根源 摭談數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)
——一道碩士研究生入學(xué)考試題的解讀

陳建華， 王思雨

(揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225002)

1 引 言

高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教育呼喚高水平的數(shù)學(xué)教學(xué).高水平的數(shù)學(xué)教學(xué)需要深入到數(shù)學(xué)知識(shí)背后的本質(zhì)、過(guò)程、思想和結(jié)構(gòu)[1]，與此同時(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)也應(yīng)與此保持良好的一致性[2].每天都在涌現(xiàn)的考題、習(xí)題是數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)非常重要的方面，從知識(shí)根源角度探究考題與習(xí)題對(duì)于落實(shí)高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教育顯然具有十分重要的意義.本文以一道碩士研究生入學(xué)考試題作為具體的案例，分析了數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中如何讓數(shù)學(xué)試題的知識(shí)內(nèi)涵豐富，體現(xiàn)課程教學(xué)的重點(diǎn)、涵蓋歷史背景，通過(guò)形成自然流暢的知識(shí)鏈來(lái)提升數(shù)學(xué)解題教學(xué)的品格、格局.依據(jù)TIMSS 2015和PISA 2015測(cè)試模型(主要是測(cè)試框架的“內(nèi)容領(lǐng)域”和“過(guò)程領(lǐng)域”兩個(gè)方面)，對(duì)該題進(jìn)行解讀分析，嘗試采用現(xiàn)代科學(xué)評(píng)價(jià)理念來(lái)研究大學(xué)數(shù)學(xué)試題.

2 本 論

2.1 案例描述，演算尋根

設(shè)多項(xiàng)式f(x)=x3-49x-120的三個(gè)根為a，b，c，求行列式

的值，其中sk=ak+bk+ck(k=0，1，2，3，…)(2020年哈爾濱工業(yè)大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試試題).

雖然待計(jì)算的只是一個(gè)三階行列式，但每一個(gè)位置的數(shù)都是三個(gè)數(shù)之和，直接計(jì)算(利用對(duì)角線法則、行列式定義、展開定理或化三角形行列式等)結(jié)果既繁且亂.如果發(fā)現(xiàn)“每一個(gè)位置的數(shù)都是三個(gè)數(shù)之和”這一特性，就可以考慮利用乘法規(guī)則來(lái)計(jì)算，將其改寫成兩個(gè)三階矩陣乘積的行列式，且恰好對(duì)應(yīng)的是三階范德蒙行列式.即有

這樣，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求出多項(xiàng)式f(x)=x3-49x-120的三個(gè)根a，b，c，進(jìn)而計(jì)算行列式的值.又f(x)=x3-49x-120的根不易求得，這是顯然的事實(shí).如果能聯(lián)想韋達(dá)定理，則可用多項(xiàng)式的系數(shù)來(lái)表示根，轉(zhuǎn)化實(shí)施計(jì)算.由此，問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：已知a，b，c分別是多項(xiàng)式f(x)=x3-49x-120的三個(gè)根，在

關(guān)系下求D的值.

如何利用上述三個(gè)關(guān)系來(lái)計(jì)算D(a，b，c)=(b-a)2(c-a)2(c-b)2的值呢？因D(a，b，c)是關(guān)于a，b，c的對(duì)稱多項(xiàng)式，對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理自然浮現(xiàn)，故可以先將D(a，b，c)用初等對(duì)稱多項(xiàng)式表示為

再將σ1=0，σ2=-49，σ3=120代入計(jì)算，由此可得D=81796.

本題計(jì)算具有較強(qiáng)的技巧性，將多項(xiàng)式的判別式藏匿在計(jì)算背后，別具匠心，給學(xué)生留足了思維空間.問(wèn)題看似復(fù)雜無(wú)從下手，但觀察題目結(jié)構(gòu)特征從局部入手，通過(guò)一番“整容”“轉(zhuǎn)化”，龐然大物逐漸原形畢露，思路流暢.作為一道碩士研究生入學(xué)試題，它明確告誡考生數(shù)學(xué)需要拿筆來(lái)算、來(lái)思考，才能理解這個(gè)學(xué)科，扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)需要一定量的演算訓(xùn)練.

2.2 追本溯源，探究關(guān)聯(lián)

解有方，題有源.事實(shí)上萬(wàn)物皆有源頭，弄清問(wèn)題的源頭才能把握問(wèn)題的本質(zhì)，正所謂“問(wèn)渠哪得清如許，為有源頭活水來(lái)”.

2.2.1 判別式

函數(shù)與方程是數(shù)學(xué)的重要主題[3].考題中的三階行列式

不是杜撰出來(lái)，有著重要的學(xué)科背景，它實(shí)際上是一元三次方程的判別式[4].

對(duì)于一元二次方程f(x)=x2+a1x+a2=0，若x1，x2是該方程的兩個(gè)根，考慮對(duì)稱多項(xiàng)式D(x1，x2)=(x1-x2)2，則

同樣地，對(duì)于一元三次方程f(x)=x3+a1x2+a2x+a3=0，若x1，x2，x3是該方程的三個(gè)根，則有判別式D(x1，x2，x3)=(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2，令

用初等對(duì)稱多項(xiàng)式σ1，σ2，σ3表示對(duì)稱多項(xiàng)式D(x1，x2，x3)，則有

這就是考題研究的對(duì)象，當(dāng)然它比一元二次方程的判別式復(fù)雜多了.

2.2.2 等冪和

對(duì)稱多項(xiàng)式sk=ak+bk+ck(k=0，1，2，3，…)被稱為等冪和(或簡(jiǎn)稱為冪和)，它的一般形式是

關(guān)于等冪和有著名的牛頓(Newton)公式：

定理1[4]當(dāng)1≤k≤n時(shí)

sk-σ1sk-1+σ2sk-2+…+(-1)k-1σk-1s1+(-1)kkσk=0；

當(dāng)k>n時(shí)

sk-σ1sk-1+σ2sk-2+…+(-1)n-1σn-1sk-n+1+(-1)nσnsk-n=0.

利用牛頓公式可以先從sk-1，sk-2，…，s1，σ1，σ2，…，σn計(jì)算sk，再借助于范德蒙行列式獲得一元n次方程的判別式.比如：不完全三次方程f(x)=x3+ax+b=0，σ1=0，σ2=a，σ3=-b，據(jù)牛頓公式得s1=σ1=0，s2=-2a，s3=-3b，s4=2a2，從而

對(duì)于本文研究的考題，將a=-49，b=-120代入得

D=-4×(-49)3-27×(-120)2=81796.

設(shè)x1，x2，x3是f(x)=x3+ax+1的全部復(fù)根.

(ii) 求判別式D(x1，x2，x3)=(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2的值；

同樣是按照三次方程討論的習(xí)慣，設(shè)計(jì)的三次多項(xiàng)式(或方程)也是缺少x2項(xiàng)的.當(dāng)然，這里明確告知計(jì)算判別式的值，解題思路的獲得就容易多了，由根與系數(shù)的關(guān)系易知D1=0.

2.2.3 知識(shí)點(diǎn)剖析

本題涵蓋的知識(shí)內(nèi)容在文獻(xiàn)[4]和[5]中都是有的，只是命題者對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了有機(jī)的建構(gòu)和巧妙的編制.這里行列式的乘法規(guī)則(設(shè)A，B為n階方陣，則有|AB|=|A|·|B|)是問(wèn)題解決過(guò)程中化歸的第一步，矩陣的乘法運(yùn)算

是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，三階范德蒙行列式

是轉(zhuǎn)化中的意外收獲.設(shè)f(x)=x3+a1x2+a2x+a3，則有方程的根與系數(shù)的關(guān)系

即韋達(dá)定理的采用是解決方程求根遇到困難時(shí)實(shí)施第二次轉(zhuǎn)化的自然嘗試.第三次化歸轉(zhuǎn)化則是基于對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理：

定理2對(duì)于任意一個(gè)n元對(duì)稱多項(xiàng)式f(x1，x2，…，xn)都有唯一的n元多項(xiàng)式φ(y1，y2，…，yn)，使得f(x1，x2，…，xn)=φ(σ1，σ2，…，σn)，其中σ1，σ2，…，σn是初等對(duì)稱多項(xiàng)式.

綜上分析，多項(xiàng)式的判別式是本題知識(shí)的源頭，通過(guò)圍繞對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理周圍的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)不斷推廣和延伸，考查學(xué)生解題功力和應(yīng)變能力[6].這里，雖然判別式是探究的基石，但命題者始終將“判別式”隱藏起來(lái)，希望考生自己去尋找，然后確定計(jì)算和推理的方向，更好地感知代數(shù)式的恒等變形，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，形成良好的思維品質(zhì).

2.3 立足素養(yǎng)，改進(jìn)評(píng)價(jià)

2.3.1 TIMSS 2015 測(cè)試觀[7]下的解讀

國(guó)際教育成就評(píng)價(jià)協(xié)會(huì)組織的TIMSS測(cè)試是基于學(xué)校數(shù)學(xué)課程基礎(chǔ)的測(cè)試評(píng)價(jià).作為“函數(shù)與方程”部分的數(shù)學(xué)內(nèi)容，本題考查學(xué)生能夠創(chuàng)造解釋，轉(zhuǎn)換行列式、對(duì)稱多項(xiàng)式、初等對(duì)稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式等這些關(guān)系的符號(hào)化表達(dá)，代數(shù)量的不同表征及其不同表征間的轉(zhuǎn)換的思維習(xí)慣的養(yǎng)成情況.依據(jù)TIMSS的觀點(diǎn)，本題的框架維度列表如下：

表1 TIMSS的數(shù)學(xué)測(cè)試框架維度對(duì)照表

矩陣的乘法、行列式和多項(xiàng)式理論等是數(shù)學(xué)內(nèi)容方面考查的對(duì)象.對(duì)多項(xiàng)式理論的態(tài)度、知識(shí)理解的深度、知識(shí)應(yīng)用的重視程度和具體知識(shí)背景的識(shí)別程度等信息則是對(duì)學(xué)生態(tài)度和認(rèn)知的考查.

從TIMSS的課程模型看，本題也很好地反映了多項(xiàng)式理論的預(yù)期課程、實(shí)施課程和獲得課程三個(gè)方面[7].對(duì)照預(yù)期課程，數(shù)學(xué)專業(yè)促成學(xué)生對(duì)多項(xiàng)式理論及其在一元高次方程根理論中的運(yùn)用，“判別式”恰是命題背景.高等代數(shù)課程老師講了什么？要求是什么？教學(xué)的效果如何？學(xué)生的習(xí)得是什么？對(duì)待數(shù)學(xué)成就(比如范德蒙行列式、韋達(dá)定理和牛頓公式等)的態(tài)度，反映了對(duì)實(shí)施課程情況的檢測(cè).期望學(xué)生能夠進(jìn)行高階的數(shù)學(xué)思維和推理，將對(duì)多項(xiàng)式理論的理解力，用于符號(hào)化和形式化的數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)關(guān)系，獲得問(wèn)題解決的方法和策略，并準(zhǔn)確地闡述，則是獲得課程的表現(xiàn).

2.3.2 PISA 2015 數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試模型[8]下的思考

PISA 2015關(guān)注學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和技能解決問(wèn)題的能力，用“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”來(lái)概括數(shù)學(xué)測(cè)試的內(nèi)容，從數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)過(guò)程和數(shù)學(xué)情境三個(gè)維度描述數(shù)學(xué)素養(yǎng)(Literacy)的測(cè)評(píng)框架.所謂數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是個(gè)體在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)中所形成的、在各種社會(huì)生活情境中積極運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思維分析、解決各種問(wèn)題，發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值，實(shí)現(xiàn)自身與社會(huì)持續(xù)發(fā)展的最基本、最具生長(zhǎng)性的相關(guān)數(shù)學(xué)素養(yǎng).這些素養(yǎng)涉及數(shù)學(xué)知識(shí)、能力、情感、態(tài)度、價(jià)值觀等多個(gè)方面，PISA 2015數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試框架如圖1所示.

圖1 數(shù)學(xué)素養(yǎng)的實(shí)踐模型(OECD 2015a)

按照PISA 2015數(shù)學(xué)素養(yǎng)的觀點(diǎn)考察本題，對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的測(cè)量是從與初等對(duì)稱多項(xiàng)式、矩陣的乘法、方陣的行列式等相關(guān)知識(shí)，通過(guò)對(duì)稱多項(xiàng)式的初等對(duì)稱多項(xiàng)式表示及其計(jì)算來(lái)解決三次方程的判別式求解問(wèn)題.題面的表述為多項(xiàng)式f(x)=x3-49x-120的三個(gè)根為a，b，c的相關(guān)量的計(jì)算，將判別式隱藏起來(lái)，但隱藏在挑戰(zhàn)背后的數(shù)學(xué)對(duì)象形成的量關(guān)系鏈：sk→D→σi→ai，這是外層.從中間層看，考查學(xué)生的符號(hào)化數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力、轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算技能.從里層看，無(wú)論數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)結(jié)論，還是數(shù)學(xué)運(yùn)用，數(shù)學(xué)理解深層要求涵蓋其中.雖然本題問(wèn)題情境局限在數(shù)學(xué)課程層面，但對(duì)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)用數(shù)學(xué)概念、程序、工具，通過(guò)推理、操作和計(jì)算獲得結(jié)論，仍然是具有挑戰(zhàn)性的思維過(guò)程.“判別式及其應(yīng)用”作為隱藏的知識(shí)應(yīng)用情境，起到了將知識(shí)應(yīng)用放在更靠近數(shù)學(xué)概念中心的位置，體現(xiàn)了選拔性考試的特點(diǎn).計(jì)算中的化歸是本題對(duì)考生提出的又一個(gè)認(rèn)知要求，如此設(shè)計(jì)更好的起到“精熟度水平”評(píng)價(jià)，能夠從解答的過(guò)程反映考生“知道什么”“能夠做什么”“做對(duì)了什么”，從而深刻、準(zhǔn)確地判斷考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平.

3 結(jié) 論

數(shù)學(xué)試題是數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)的重要載體，直接影響評(píng)價(jià)的科學(xué)性、客觀性和發(fā)展性.綜上分析，本試題以多項(xiàng)式的判別式為背景，以等冪和、行列式等形式呈現(xiàn)，將范德蒙行列式、矩陣運(yùn)算、對(duì)稱多項(xiàng)式、初等對(duì)稱多項(xiàng)式融為一體，綜合性強(qiáng).雖然考查是數(shù)的運(yùn)算，但不論從多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系，還是牛頓公式思考都需要經(jīng)歷一定的轉(zhuǎn)化過(guò)程，體現(xiàn)了對(duì)課程內(nèi)容認(rèn)知領(lǐng)域和認(rèn)知能力考核的要求.

數(shù)學(xué)教材往往是習(xí)題的內(nèi)容之根、方法之根、思想之根.從課程教學(xué)看，本題有著極強(qiáng)的本質(zhì)歸屬性，源于課本又高于課本.從PISA和TIMSS數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)看，本題很好地體現(xiàn)出以問(wèn)題解決和核心素養(yǎng)為重心的測(cè)評(píng)設(shè)計(jì)理念.試題的設(shè)計(jì)以核心知識(shí)為載體，通過(guò)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，關(guān)注了學(xué)生對(duì)知識(shí)的概念性理解，達(dá)到考查學(xué)生核心能力的測(cè)量目標(biāo).“問(wèn)題”中數(shù)學(xué)知識(shí)的整合引發(fā)“深學(xué)”幽靜的高境界，能發(fā)揮診斷教學(xué)效果、激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)的作用，達(dá)到競(jìng)爭(zhēng)功能、鑒別和選擇的功能的命題目的.該題是一道高質(zhì)量的數(shù)學(xué)試題.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn)，感謝潘小明教授提出的修改建議.