2-正規矩陣

張雨婷， 朱子建， 趙 瑞， 陸 彥， 魏俊潮

(揚州大學 數學科學學院，江蘇 揚州225002)

1 引 言

A=AA+A，A+=A+AA+，AA+=(AA+)H，A+A=(A+A)H；

A=AA#A，A#=A#AA#，AA#=A#A.

一個n階復方陣A是群可逆矩陣當且僅當rank(A)=rank(A2)；若群可逆矩陣A滿足條件A#=A+，稱為EP矩陣[3]；若AAH=AHA，則稱A是正規矩陣[4]；若A2AH=AHA2，則稱A為2-正規矩陣.顯然正規矩陣是2-正規矩陣，但下面的注1說明2-正規矩陣不必為正規矩陣，因此2-正規矩陣是正規矩陣的真正推廣.

矩陣廣義逆的研究涉及眾多科學領域，應用范圍極其廣泛，矩陣廣義逆[5]形式眾多，研究成果豐富，并逐漸影射到C*-代數[6]，Banach代數[7]，Hilbert空間中的線性算子廣義逆[8]以及代數學的半群與結合環上的廣義逆[9-10]，研究范圍之廣，研究學者之多，研究成果之巨使其成為廣義逆理論中最耀眼的課題.本文主要是基于正規矩陣的良好性質，做出合理推廣，介紹并研究了2-正規矩陣的相關性質.

2 主要結果

故A不是正規矩陣.

注1說明2-正規矩陣是正規矩陣的真正推廣.

正規矩陣總是EP矩陣，從而為群可逆矩陣.但2-正規矩陣不必為群可逆矩陣，例如

由例1知，A為2-正規矩陣，但A不是群可逆矩陣，從而2-正規矩陣不必為EP矩陣.因此研究正規矩陣哪些性質遺傳到2-正規矩陣上來就有著理論上的意義，同時研究2-正規矩陣的性質及其在對角化問題，特征值的性質等具有重要的理論價值.關于2-正規矩陣，首先有下面的結果.

引理1設A為2-正規矩陣，若A為群可逆矩陣，則A為EP矩陣.

證由于A為2-正規矩陣，則A2AH=AHA2，故

A2AHA+A=AHA2A+A=AHA2=A2AH，

又因為A為群可逆矩陣，所以

AAHA+A=A#A2AHA+A=A#A2AH=AAH，

從而

AHA+A=(A+AAH)A+A=A+(AAHA+A)=A+(AAH)=AH，

則

A=(AH)H=(AHA+A)H=A+A2，

所以AA#=A+A2A#=A+A，因此A為EP矩陣.

觀察引理1的證明，實際上有下面的推論.

推論1設A∈n×n是群可逆矩陣，若存在正整數k，使得AkAH=AHAk，則A是EP矩陣.

下面的引理是眾所周知的，給出了一種高等代數式的證明.

引理2設A∈n×n，若rank(A)=rank(A2)，則A為群可逆矩陣.

證設rank(A)=rank(A2)=r，則存在n階可逆復方陣P和Q，使得

所以

故

因此rank(D1)=r，即D1為r階可逆方陣.

故A為群可逆矩陣且

推論2設A∈n×n，若AH=AHA+A，則A為EP矩陣.

證由于AH=AHA+A，則

A=(AH)H=(AHA+A)H=A+A2，

所以rank(A)=rank(A2)，由引理2知A為群可逆矩陣，再由引理1的證明知A為EP矩陣.

類似于推論2，可得如下推論.

推論3設A∈n×n，若AH=AA+AH，則A為EP矩陣.

由于(AH)2A=A(AH)2當且僅當AHA2=A2AH，且一個群可逆矩陣A是EP矩陣當且僅當A#=A#AA+.因此得出下面的定理.

定理1設A∈n×n為群可逆矩陣，則A為2-正規矩陣當且僅當(AH)2A#=A#(AH)2.

證必要性.假設A為2-正規矩陣，則由引理1知A為EP矩陣，故

(AH)2A#=(AH)2A(A#)2=A(AH)2(A#)2=A#A2(AH)2(A#)2
=A#(AH)2A2(A#)2=A#(AH)2AA#=A#(AH)2AA+=A#(AH)2；

充分性.假設(AH)2A#=A#(AH)2，則

(AH)2A#(En-AA+)=A#(AH)2(En-AA+)=O，

取共軛轉置得

(En-AA+)(A#)HA2=O，

右乘A#A+得

(En-AA+)(A#)H=O，

再取共軛轉置得

A#(En-AA+)=O，

即A#=A#AA+，所以A為EP矩陣，進而

(AH)2A=(AH)2A#A2=A#(AH)2A2=A(A#)2(AH)2A2=A(AH)2(A#)2A2
=A(AH)2A#A=A(AH)2AA#=A(AH)2AA+=A(AH)2，

故A為2-正規矩陣.

矩陣廣義逆通常表現為某種矩陣與其相關逆矩陣之間滿足相應的關系式，因此變化這些關系式中某個矩陣，則得到相應的矩陣方程，而矩陣方程在生產實踐中的應用勿用多言.

由定理1可給出下面的矩陣方程AHXA#=A#AHX.

定理2設A∈n×n為群可逆矩陣，則

(i)A為正規矩陣當且僅當矩陣方程AHXA#=A#AHX在集合{A，A#，A+}中有解；

(ii)A為2-正規矩陣當且僅當矩陣方程AHXA#=A#AHX有解X=AH；

(iii)A為EP矩陣當且僅當矩陣方程AHXA#=A#AHX在集合{(A#)H，(A+)H}中有解.

證(i) 必要性.若A為正規矩陣，則A為EP矩陣，故A+=A#，因此

AHAA#=AHAA+=AH=A+AAH=A#AAH=A#AHA，

從而X=A為一個解；

充分性.① 若X=A為AHXA#=A#AHX的解，則AHAA#=A#AHA，注意到AA+A#=A#，所以

(En-AA+)AHAA#=O，

右乘AA+得

(En-AA+)AH=O，

從而AH=AA+AH，由推論3知A為EP矩陣，故AH=AHAA+=AHAA#=A#AHA，所以

AAH=AA#AHA=A#AAHA=A+AAHA=AHA，

故A為正規矩陣.

② 若X=A#為AHXA#=A#AHX的解，則AHA#A#=A#AHA#，右乘A2得

AHA#A=A#AHA，

由①知A為正規矩陣.

③ 若X=A+為AHXA#=A#AHX的解，則AHA+A#=A#AHA+，上式左乘(En-AA+)得

(En-AA+)AHA+A#=O，

右乘A2得

(En-AA+)AHA+A=O，

取共軛轉置得

A+A2(En-AA+)=O，

左乘A#A得

A(En-AA+)=O，

從而A=A2A+，故A為EP矩陣，從而A+=A#，因此AHA#A#=A#AHA#，由②知A為正規矩陣.

(ii) 這是定理1的直接推論.

(iii) 必要性.若A為EP矩陣，則A#=A+，故

AH(A+)HA#=A+AA#=A#=A#A+A=A#AH(A+)H，

從而X=(A+)H為一個解；

充分性.① 若X=(A+)H為一個解，則

AH(A+)HA#=A#AH(A+)H，

即A+AA#=A#A+A=A#，所以A#A=(A+AA#)A=A+A，從而A為EP矩陣.

② 若X=(A#)H為一個解，則

AH(A#)HA#=A#AH(A#)H，

上式左乘(En-AA+)得

(En-AA+)AH(A#)HA#=O，

右乘A2A+得

(En-AA+)(A#A)H=O，

右乘AH得

(En-AA+)AH=O，

故AH=AA+AH，由推論3知A為EP矩陣.

定理3設A∈n×n為群可逆矩陣，則A為2-正規矩陣當且僅當矩陣方程AXAHA+=AHX在集合{A，AH}中至少有一個解.

證必要性.假設A為2-正規矩陣，則由引理1知，A為EP矩陣，故A+A=AA+，由于

A2AHA+=AHA2A+=AHAA+A=AHA，

故X=A為方程AXAHA+=AHX的一個解；

充分性.① 若X=A為方程的解，則A2AHA+=AHA，由于

AHA(En-AA+)=A2AHA+(En-AA+)=O，

所以AHA=AHA2A+，左乘(A+)H得A=A2A+，從而A為EP矩陣，故A+A=AA+，因此

AHA2=AHA2A+A=(AHA)A=A2AHA+A=A2AH，

故A為2-正規矩陣.

② 若X=AH為方程的解，則AAHAHA+=AHAH，上式左乘AA+得

AA+AHAH=AHAH，

右乘(A#)H得

AA+AH=AH，

兩邊取共軛轉置得

A=A2A+，

故A為EP矩陣，從而

AHAHA=AAHAHA+A=AAHAHAA+=AAHAH，

再取共軛轉置得

AHA2=A2AH，

故A為2-正規矩陣.

定理4設A∈n×n為群可逆矩陣，則A為2-正規矩陣當且僅當方程XA+AHA=AXAHA+在集合{A，A#，A+，(A#)H，(A+)H}中至少有一個解.

證必要性.A為群可逆矩陣且為2-正規矩陣，由引理1知，A為EP矩陣，則

AA+AHA=AHA=AHA2A+=A2AHA+，

所以A為XA+AHA=AXAHA+的一個解；

充分性.① 當X=A時，有AA+AHA=A2AHA+，右乘(E-AA+)得

AA+AHA(E-AA+)=A2AHA+(E-AA+)=O，

左乘(A+)H(A#)HAH得

(A+)H(A#)HAHAA+AHA(E-AA+)=O，

進而得到A(E-AA+)=O，即A=A2A+，所以A是EP矩陣，又AA+AHA=A2AHA+，得

AHA2=A2AH，

所以A是2-正規矩陣.

② 當X=A#時，有A#A+AHA=AA#AHA+，左乘A2得

AA+AHA=A2AHA+，

證明同①.

③ 當X=A+時，有A+A+AHA=AA+AHA+，左乘(E-A+A)得

(E-A+A)AA+AHA+=(E-A+A)A+A+AHA=O，

右乘A(A#)HA得

(E-A+A)AA+AHA+A(A#)HA=O，

進而有

(E-A+A)AA+AH(A#)HA=O，

即

(E-A+A)(A#AAA+)HA=O，

從而(E-A+A)A=O，故A=A+A2，所以A為EP矩陣，又由A+A+AHA=AA+AHA+，左乘A2，右乘A得

AHA2=A2AH，

所以A是2-正規矩陣.

④ 當X=(A+)H時，有(A+)HA+AHA=A(A+)HAHA+，右乘(E-AA+)得

(A+)HA+AHA(E-AA+)=A(A+)HAHA+(E-AA+)=O，

左乘(A+)H(A#)HAHAAH得

A(E-AA+)=O，

即A=A2A+，故A為EP矩陣，又

(A+)HA+AHA=A(A+)HAHA+，

左乘AAH易得

AHA=AAH，

故A為正規矩陣，所以也為2-正規矩陣.

⑤ 當X=(A#)H時，有(A#)HA+AHA=A(A#)HAHA+，右乘(E-A+A)得

A(A#)HAHA+(E-A+A)=(A#)HA+AHA(E-A+A)=O，

進而有AAH(A#)HA+(E-A+A)=O，左乘A+(A+)HAHA+得

A+A+(E-A+A)=O，

即

(A+)2=(A+)3A；

另一方面，因為

rank(A)=rank(AA#A)≤rank(A#A)≤rank(A)，

所以rank(A)=rank(A#A).

同理:rank(A)=rank(A+A)=rank(A+)，因為rank(A)=rank(A#A)，所以

rank(A2)=rank(A#A2)=rank(A)，

又

rank(A2)≤rank(A+A2A+)≤rank(AA+A2A+A)=rank(A2)，

從而

rank(A2)=rank(A+A2A+).

同理:rank((A+)2)=rank(A(A+)2A)，由于rank(A+A2A+)=rank(A(A+)2A)，所以

rank((A+)2)=rank(A2)=rank(A)=rank(A+)，

故A+為群可逆矩陣，又(A+)2=(A+)3A，故A+為EP矩陣，結合

(A#)HA+AHA=A(A#)HAHA+

得

(A+)HA+AHA=A(A+)HAHA+，

由④知A為2-正規矩陣.

3 結 論

本文介紹了一種新型的矩陣廣義逆，即2-正規矩陣，這類矩陣是正規矩陣的真正推廣，遺傳了正規矩陣的一些性質.通過構造矩陣理論中流行的矩陣方程的解的存在性來研究2-正規矩陣，豐富了矩陣廣義逆的研究內容與研究方法，同時這種研究手法可推廣到半群，環上，C*-代數及算子代數的廣義逆的研究中，因而具有理論上的意義.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.