培養化歸思想，提升數學解題能力

袁夢

摘 要：在數學教學中，老師在進行概念、定理、公式、法則的教學時不能只給出相應的結論，把課堂變成被動接受新知的過程，而是要強調培養學生的“四基”，讓學生感悟數學的基本思想方法。初中涉及的思想方法有很多，化歸思想就是其中之一。

關鍵詞：初中數學;數學思想;化歸思想

化歸思想在數學概念的教學以及學生解題的能力培養等方面都起到了不容忽視的作用。化歸思想具體是什么？一般來說，化歸思想就是將對于自身現有水平上來說的難題轉化成自身能力能解決的問題，從而進行求解，即化難為易的過程中體現出來的思想方法。在初中數學中，化歸思想就已經得到普遍的應用了。下面筆者以初中教材中相關內容為例體會化歸思想。

一、在數與代數中感悟化歸思想

1.數與式部分中，在學生了解代數式的概念后，明確了代數式的內涵和外延。除了獨立的數字和字母，字母間通過基本運算形成的式子也稱為代數式。根據式子中是否含有根號，可分成有理式和無理式。在有理式中根據分子分母特殊位置是否含有字母，分為整式和分式兩類;其中整式就是只有分子中含有字母，分式就是只有分母中含有字母[1]。有理式和無理式的相關運算都在化歸思想的引導下進行，轉化成學生熟悉的數的運算。如在有理式中整式的加減運算的實質就是將相同字母的項進行合并，并把同類項前面的系數進行有關運算，本質上就是數的最基本的加減運算。同理，在整式的乘除運算中，可以理解為字母前的系數和同底數冪的指數分別進行乘除運算，實質就是數的四則運算中的乘除運算。

以人教版七年級上冊有理數這章為例，因為在小學時學生們接觸到的數都是正數，頭腦中最大的數集也只是正數，而此時若直接告訴學生們數系還可以再擴充，除了正數還有負數的存在時，學生很難去理解抽象的負數的概念。所以大多數教師此時都會舉一些學生們感知過的具體實例幫助學生理解，如零下溫度、地下層數的標號等，使得抽象概念具體化，這就體現了化歸思想。

2.方程部分中，初中生接觸過分式方程、二元一次方程組、三元一次方程組、一元二次方程。解題的方法殊途同歸，最終都是要利用化歸思想轉化為簡單的一元一次方程。

以人教版七年級下冊解二元一次方程組為例，當教師給出一個具體的二元一次方程組時，大多數學生會毫無思路，因為在他們的認知結構中沒有出現過解決此類問題的知識點，所以只會一個一個去試數。這時教師只需引導學生思考把“二元”轉化成什么，學生們就很容易聯想到之前學習過一元一次方程的解法，所以知道要將“二元”轉化成“一元”的方程，求解的過程就會容易很多了。下面以加減消元法為例體會化歸思想：

例1：用加減消元法解方程組

解：①×3，得9x+12y=48? ? ? ? ? ? ③

②×2得10x-12y=66? ? ? ? ? ? ④

③+④，得19x=114，x=6.

把x=6代入①，得3×6+4y=16，4y=-2，y=-，

所以這個方程組的解是

3.在函數部分中，根據人教版教材編排順序，學生由淺入深學習一次函數、二次函數和反比例函數。因為正比例函數是特殊的一次函數，所以通過對正比例函數的學習，學生養成了研究一類新函數的思想方法，即通過具體的實際問題先抽象出數學模型，然后寫出相關解析式。接下來就是研究解析式所對應的函數的圖象。因為正比例函數的圖象學習是學生首次接觸函數圖象，教師要加以引導并共同總結繪制一般函數圖象的步驟：一列表、二描點、三連線。至此學生思維結構就擴充了函數研究的步驟。在之后二次函數以及反比例函數的學習中，學生就可以利用化歸的方法，通過之前的思路去研究具體的函數模型。在二次函數的學習中，化歸思想體現得更為明顯，當研究二次函數與x軸相關的交點問題時，學生很難根據圖象確定橫坐標的具體值;引導學生觀察圖象之后，學生可以較容易發現與x軸相交時縱坐標值為0的特點，所以就可以與之前一元二次方程的內容進行聯系，通過解出一元二次方程的解確定交點橫坐標，從而寫出與x軸相交的點的坐標。

二、在圖形與幾何教學過程中形成化歸意識

在平面幾何相關內容中，數學概念、性質、定理等證明都使用了化歸思想。以人教版八年級下冊平行四邊形這章為例，學生掌握了八年級上冊學到的全等三角形的性質和判定的知識，加上小學學到的“平行四邊形是由兩個相同的三角形組成”，能夠聯想到平行四邊形的輔助線——對角線，從而利用三角形的知識證明平行四邊形的性質。易用SSS證明相應的兩個三角形全等，推出平行四邊形的性質：對邊相等、對角相等、對角線互相平分[2]。從一般到特殊，也從對角、對邊、對角線三方面出發研究矩形、菱形的相關性質。正方形不僅是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形以及特殊的菱形，所以學生在學習正方形這節知識時利用了之前所學過的知識[3]。

在學習平行四邊形這章幾何內容的知識點時，把新知通過中間橋梁轉化成已經熟悉的知識，全章都在體現化歸的核心思想，化難為易，化新知為舊知，在學生原有的思維結構中增添相應的知識點。

學生們在日常做平面幾何相關問題時也都形成了化歸意識，比如在做有關證明題的過程中通過引入輔助線，使得相對復雜的幾何模型分解成熟悉且傳統的幾何模型，從而進行證明。

三、在解題的過程中鍛煉化歸思維

在初中數學的相關問題中，方程以及圖形等難題就可以利用化歸的思想去解決。下面以方程應用題為例，感受由化繁為簡的化歸思路。二元一次方程組應用題中需要通過分析題干，找尋隱性的等量關系再列出等式進行解題。

例2：若2amb2m+3n與a2n-3b8的和仍是一個單項式，則m與n的值分別是（? ?）

A.1，2? ? ? ? ? ? ?B.2，3? ? ? ? ? ? ? ?C.1，1? ? ? ? ? ? ? D.1，3

解析：學生們已經掌握單項式以及同類項的相關概念，根據題目可以得到兩個單項式中a與b的指數相同的條件，并且列出關于m與n的二元一次方程組，從而解出相應m與n的具體值。這個過程就是將具體問題轉化成方程問題，然后進行計算。

例3：反比例函數與一次函數y=-x+2的圖象交于A，B兩點，求A，B兩點相應坐標.

解析：兩個函數相交說明兩個圖象重疊的部分橫縱坐標相同，它們的交點同時滿足兩個圖象對應的不同解析式，交點坐標就是由兩個解析式組成的方程組的解。

根據題目得到方程組，從而利用二元一次方程

組的解法解出相應的x與y的值。

綜上，化歸思想是一種很重要的思想方法，不僅在初中數學中大量應用，在高中數學以及大學相關內容中也都作為一種解決問題的手段，所以教師在初中階段就要滲透給學生相關思想并在日常做題中培養學生的化歸思維，提升做題效率。

參考文獻

[1]吳文劍.淺談初中數學代數式的學習與應用[J].數學學習與研究，2011（18）：5+7.

[2]陳艷.談初中生數學“化歸思想”的培養路徑[J].新課程導學，2018（35）：22.

[3]林靜.淺談幾何變換在初中平面幾何教學的探究[J].福建論壇（社科教育版），2010（04）：76-77.