學生在學習反比例函數過程中容易產生的疑惑及分析

封思煜

摘 要：在學習一次函數與二次函數之后，學生已經對函數有一定的理解。由于反比例函數存在著一定的難度，學生在學習反比例函數時，對反比例函數的特點及其所涉及的一些知識與方法，在理解上往往會產生疑惑。文章將學生在學習反比例函數過程中表現出來的疑惑進行了初步分析，采用“教學反思”的形式記錄下來，以期在后面引導學生學習這部分課程時能夠有所參考。

關鍵詞：反比例函數;學生疑惑;教學反思

中圖分類號：G633.6?文獻標識碼：A?文章編號：2095-624X（2021）19-0067-02

學生學習反比例函數時，由于反比例函數的特點和學習方法等，存在著一定的復雜性，往往導致學生難以理解。與一次函數圖像的直線相比，反比例函數的圖像是兩個分支的曲線;與二次函數圖像的“軸對稱”特點相比，反比例函數圖像“中心對稱”的特點不易被學生發現與理解;在教學中，反比例函數圖像“間斷點”與“漸近線”的特征也讓學生難以深入認識。

教材在進行教學內容的安排時，將反比例函數安排在一次函數與二次函數之后。因此，學生通過對一次函數和二次函數的學習，已經對函數具有一定的了解，獲得了一定的函數知識和解題方法，將反比例函數的學習安排在一次函數和二次函數的學習之后，有利于學生將研究函數的一般方法運用于反比例函數的學習中，以降低學習反比例函數的難度。因反比例函數的“個性”特點蘊含了學生不常運用的數學思想與方法，學生在學習中往往會產生疑惑，主要表現在以下幾個方面。

一、學生容易混淆反比例關系與反比例函數兩個概念

在學習人教版初中數學反比例函數后，學生常有這樣的疑問：“反比例函數中的自變量x與函數y就是‘成反比例吧？”這個疑問反映學生在反比例函數概念的理解上存在著誤區。

誤區一：學生對“反比例函數”的概念屬性認識不足?！胺幢壤P系”是一種數量關系，在《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《數學課程標準》）中屬第二學段（4～6年級）概念，是建立在正有理數范圍內的“數量關系”，研究的是兩個具體的數量之間的關系，具有離散性[1]?！胺幢壤瘮怠笔且环N函數關系，在《數學課程標準》中屬第三學段（7～9年級）概念，是建立在實數范圍內的“函數關系”，研究的是兩個變量之間的關系，具有連續性。

誤區二：學生對“反比例函數”概念的內涵與外延存在混淆。反比例關系是研究一種具體的“數量關系”，而反比例函數是對現實世界一類數量關系進行抽象的“數學模型”。反比例函數包含了反比例關系，反比例關系是反比例函數的“屬概念”。

誤區三：學生對反比例關系與反比例函數兩個概念的共性認識不足。無論是兩個常量還是兩個變量，都具有“x·y=k（k≠0，k是常數）”的關系。

根據學生在學習過程中所出現的誤區，需要教師重視學生所提出的問題，反思概念教學流程。通過對整個教學模式和教學流程進行分析，發現在概念的屬性歸納與概念的辨析環節中，教師的指導內容還相對缺乏。教師在進行相應的補充講解后，對學生進行引導：隨著數學知識的增長，你們會發現“數”的范圍越來越廣，小學學習的是非負有理數，初中擴大到實數;“數”的擴充豐富了我們的認識，也會產生一些你可能想不到的“意外”，請自學反比例函數的圖像和性質，看看有什么新發現（這里指反比例函數圖像的性質有y隨x增大而增大的情況，與學生在小學獲得的經驗會產生沖突，以此進一步加深學生對反比例關系與反比例函數概念的理解）。

數學學科的概念較多，涉及許多數字和符號，同時，由于數學概念具有高度抽象性， 學生在進行學習時，特別是自學，對一個貌似簡單的概念， 往往要費很大周折才能理解，嚴重降低了學生的學習效率和學習積極性。許多教師對此并沒有保持警覺， 缺乏對學生學習的理解。在教學的過程中，教師只進行一些數學概念的簡單講解，往往認為數學學習是十分容易的，但卻沒有意識到自己的“容易” 是經歷了千辛萬苦、長期積累才得到的。這種心理會導致師生交流出現障礙，造成教師不從學生的角度出發，不能針對學生的困難展開教學。同時，這種教學心理導致教師認為學生進行數學學習是十分容易的，因此老師往往采用滿堂灌的教學方式，在教學的過程中，占據主動地位，缺乏師生之間的互動，無法調動學生的積極性和主動性。因此， 教師要對這種心理保持高度警惕， 努力從學生的認知水平出發， 通過加強與學生溝通，增加課堂互動等方式，提高對學生的了解。同時，在課堂教學中，教師要積極開展數學活動，鼓勵學生參與到活動之中，保證學生參與概念本質特征的概括活動， 提高學生對概念的理解。同時要確保學生有自己想明白的機會和時間，便于學生理解數學知識概念，從而提高成就感，提高數學學習的積極性和主動性[2]。

二、學生對反比例函數圖像“間斷點”特征認識不夠深入

原因分析：學生受一次函數與二次函數圖像的整體“連續性”影響而產生“負遷移”，在“連線”過程中因所描點數量較少或沒有按自變量由小到大的順序連線而造成。

教學策略：為學生提供“坐標紙”，減輕學生在“描點”過程中所花的時間與精力;提醒學生盡量多描幾個點，注意“連線”的順序;在學生畫圖前，引導學生說明函數自變量的取值范圍及其幾何意義（x≠0，圖像與y軸沒有交點）。

原因分析：學生對反比例函數圖像的“間斷點”“不連續”特征還停留在感性認識。

教學策略：

（1）指導學生觀察圖像，歸納圖像特點（曲線，兩個分支，分別位于一、三象限）。

三、學生不易接受雙曲線漸近坐標軸所反映出的極限思想

有學生提出問題：“隨著自變量x的增大或減小，曲線變化趨勢為逐漸接近x軸或y軸，為什么不會到達x軸或y軸呢？”

分析原因：學生受生活中的運動經驗影響，認為只要向目的地不斷靠近，終會到達;學生在自身的經驗里沒有認識到“速度”發生變化對運動結果會造成影響。