借助GeoGebra軟件突破初中數學動點軌跡問題

吳龍飛

【摘要】動點軌跡問題是初中數學學習的難點，是壓軸題常客。本文選取2020年廣東中考數學科17題和江蘇宜興中考數學模擬卷18題為例子，重點研究動點軌跡為圓弧型的模型，通過借助動態幾何軟件GeoGebra演示“化動為靜”，快速判斷出動點的軌跡，為數學教學提供一種可視化體驗，讓數學思想更加形象，學生不僅可以感受到數學知識的形成，還能不斷探索規律的演變。

【關鍵詞】動點軌跡;圓弧型;化動為靜;GeoGebra

面對動點軌跡問題時，我們一般解決策略是“化動為靜”，找到運動過程中的不變量。初中階段常見的動點軌跡類型是圓弧型，圓弧型一般分為兩類：第一類是動點到固定點的距離等于定長，則該動點的運動軌跡為圓（圓的定義）;第二類稱為“定邊對定角”的動點軌跡，該類型的軌跡是一條以定邊為弦且經過定點的圓弧。學生面對此類問題時往往一籌莫展。教學過程中，老師講解此類問題時講授方法往往單一，教學工具大多是黑板+PPT作圖講解，單靠學生想象理解題目過于抽象，最終教學效果不佳。

本文選取2020年廣東中考數學科17題和江蘇宜興中考數學模擬卷18題為例子，借助動態幾何軟件GeoGebra，通過可視化演示運動軌跡，讓難懂的動態幾何變得直白有趣，直觀展示實現信息技術與初中數學教學的深度融合。GeoGebra是一款跨平臺免費的動態數學教學軟件，它作圖功能強大，不僅能做平面幾何，還能做3D繪圖、概率統計等。它不僅能在電腦上運行，還能在手機、網頁上使用，顯示出極大的交互性和便利性。

一、動點到定點的距離等于定長

例1 【2020年廣東中考17題】一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉它。如果把墻面、梯子、貓、老鼠都理想化為同一平面內的線或點（如17圖），∠ABC=90°，點M、N分別在射線BA、BC上，MN長度始終不變，MN=4，E為MN的中點，點D到BA、BC的距離分別為4和2。在此滑動過程中，貓和老鼠的距離DE最小值為 ? ? ? ? ? ? ? ? 。

本題解題思路：首先要根據定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”猜想點E的運動軌跡，其次是根據“兩點之間線段最短”來判斷當點E落在線段BD上時，此時貓和老鼠的距離DE最短。所以先要連接BE，因為點E是中點，易得BE= ? ?MN=2。又因為不管梯子MN怎么運動（下滑），直角邊MN長度都是不變的，而BE都等于斜邊MN的一半，即等于2。這滿足動點E到定點B等于定長，得到運動軌跡是圓或圓弧。又根據題意，MN邊界狀態有兩種，即與y軸重合或x軸重合，所以判斷運動軌跡在第一象限，是圓弧。

以上是學生做題時一般思路，當然也有部分學生會采取“特殊值”法，分別畫出梯子MN在不同狀態下中點E的位置（如下圖1），然后猜想點E的軌跡是一條圓弧。

解決了軌跡猜想之后，這里很多同學會誤以為過點D作垂直于MN的線段就是DE的最短距離（如圖2）。但確定了移動軌跡是圓弧后，容易判斷這種思路錯誤。

正確做法要先連接BD，構造RtΔBCD（如圖3）由勾股定理易求斜邊BD=2 ?5 ，再把BD減去半徑BE，最終得DE的最小值為2 ?5 ? -2。

不管怎樣，要讓學生想到運動軌跡是圓弧并不是簡單的事情，因此教學時借助信息化技術形象具體呈現會更加直觀具體。如上圖1，借助軟件GeoGebra演示非常直觀地看到梯子下滑過程中，點E的運動軌跡以B點為圓心，2為半徑的圓弧。再通過連接輔助線BE、DE，觀察DE的長度變化容易得到當點E在線段BD上時，DE最短（如圖4）。一目了然，這就是借助信息技術的優勢。

二、“定邊對定角”類型

所謂“定邊對定角”類型即動點軌跡為以定邊為弦且經過定點的圓弧上。以江蘇宜興中考數學模擬卷18題為例子詳細介紹。

例2 【江蘇宜興】如圖，半徑是2cm，圓心角為90°的扇形AOB的AB上有一動點P。過點P向半徑OA作垂線PH交OA于點H。設I為△OPH的內心，當點P在AB上從A運動到B時，內心I經過的路徑長為 ? ? ? ? ? ? ? ?。

本題解題思路是：由于PO是半徑，不管點P在AB上怎么運動，PO都是固定不變的，根據點I是內心，∠PHO=90°，易證∠PIO=135°，這符合“定邊對定角”類型，由此猜測動點I的運動軌跡為圓弧。

證明猜想具體做法：如圖5，連接OI，PI，AI，因為△OPH的內心為I，可得∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°- ? ?（∠HOP+∠OPH）=135°，易證△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO=135°，即得到點I落在以OA為弦，且所對的圓周角為135°的一段劣弧上。過點A、點I、點O構造⊙O'，接著連接O'A，O'O，在優弧AO取點P，連PA，PO，可得∠APO=180°-135°=45°得∠AO'O=90°，OO'= ? ?OA= ?2 ?最后利用弧長AO公式計算的長。

以上是解題的一般思路，還可以鼓勵學生取“特殊值”的方法，假設當P在AO中間，或是靠近A和靠近B三處位置，構成的直角三角形內心所在位置不在同一直線上，初步判斷點I軌跡是弧形，如下圖6、7、8：

在教學過程中，引入GeoGebra動態演示軌跡變化，一切問題會變得更加直觀。通過演示，易得軌跡是圓弧，且AO是圓上的一條弦，接著利用弧長計算公式l= ? ? 求出軌跡長度。

以上是動點軌跡問題研究的一種圓弧型（定邊對定角）模型。課堂上善于借助動態幾何軟件GeoGebra制作出直觀清晰的課件，讓“無跡問題”變成“有跡可循”，使數學理解更簡單，在課堂上融合了傳統與現代信息技術手段，重視真實情境教學，能達到理想的教學效果。

【參考文獻】

[1]教育部基礎教育司.全日制義務教育數學課程標準解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2002：91.