初中數學解題教學中的變式訓練

張忠虎

摘要：素質教育是以培養具有創造性思維和創造能力的人才為目標而進行的創新教育。在初中數學解題教學中，進行變式訓練，是指在數學教學過程中，對概念、性質、定理、公式和問題，從不同角度、不同層次、不同背景作出有效的變化，在形變而本質不變的過程中，引導其進行解題分析。它的應用和實踐，對促進思維靈活發展，提高解題能力和學習能力具有重要的指導意義。為此，本文解讀了初中數學解題教學中變式訓練的意義、原則和有效策略。

關鍵詞：初中數學;變式訓練;解題教學

中圖分類號：G633.6? 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）12-079

數學教學離不開解題，在解有限道題中，讓學生領悟無限道解題的數學機制，是教學的重要任務。而變式訓練在解題教學中的應用，是基于形式變、內容變、方法變為核心進行的教學優化，不僅訓練學生的舉一反三的學習能力，還可以培養良好的數學思維品質。為此，本文就初中數學解題教學中變式訓練的意義、原則和有效實施策略進行了探究，旨在通過多元變式解題教學中，提高問題解題能力，培養良好數學思維。

一、初中數學解題教學中變式訓練的意義

1.有利于促使學生形成良好思維品質

初中數學解題教學中的變式訓練，相對比單一解題教學而言，它具有不確定性和發展性。它是基于事物不同表象進行的多維分析，在設計問題、解決問題的時候，教師會引導學生從多個角度和方向進行縱橫比較，全面分析，不僅可以讓學生了解各個事物之間的關聯存在，還可以突破思維界限，培養創新思維和批判思維。可見，它在數學解題教學中的應用和落實，對學生數學思維的發展具有重要的培養價值。

2.有利于加深對數學知識的理解掌握

在傳統的數學解題教學中，不論是解題教學的方法，還是解題的思路都比較單一、乏味，學生處于被動學習的狀態，對于同一問題解題，基本上都是依靠死記硬背，照搬解題過程進行的解題分析，長此以往，不僅會影響解題積極性，還會降低解題效果。而解題教學中的變式訓練，是基于概念、公式、定理、性質等各個知識內容進行的延伸、整合，是基于改變問題條件、改變解題方法但是不改變問題本質的基礎上，進行的資源優化，在此過程中，不僅考查了學生對知識的靈活掌握，還可以檢驗學生的問題處理能力，使其在靈活使用知識思考問題的過程中，加深對數學知識的理解掌握，提高解題速度和解題能力。

二、初中數學解題教學中變式訓練的原則

1.相關性原則

在初中數學解題教學中進行變式訓練，要堅持相關性的原則，建立在與所學內容相關的基礎上，通過資源延伸、整合，在創新問題的同時，促使學生能夠靈活應用所學知識，在縱向、橫向關聯中，展現知識的靈活性，通過解題教學，培養學生良好數學思維品質，在變式訓練中，使之形成系統思維，學會多角度分析問題、解決問題。

2.發散性原則

在初中數學解題教學中進行變式訓練，其最根本目的是培養學生靈活的思維能力，促進思維發展，提高問題解決能力。為此，在進行變式訓練的時候，要遵從發散性的原則，從一個或者幾個點出發，多層次、多角度進行變換，通過改變問題條件、結論、解題策略等，打開解題思路，由常規題轉為變式題，在多變訓練中，促進思維發展，提高數學分析能力、解決問題能力。

三、初中數學解題教學中變式訓練的策略

1.改變解題方法，打開思維空間

對初中數學解題教學而言，進行變式訓練，解題方法的變式引導是關鍵，在此以外解題教學中，學生多是生搬硬套教師解題方法進行的解題分析，缺乏新意，導致思維受限。為此，在此次解題變式訓練教學中，教師可以通過改變解題方法為輔助，在變式解題策略的過程中，激活思維空間，提高學生的解題能力，從而使其尋找最優解題方法，促使變式訓練更加高效。例如，在教學解題這一數學問題的時候，如：

例題：如圖，在△ABC中，D、F在AB上，AD=BF，過點D作DE//BC，交AC于E，過F作FG//BC交AC于點G，求證：BC=DE+FG。

在進行這一解題教學的時候，為滲透變式訓練，可以從解題方法入手，通過多解思路的開闊，在變式解題的過程中，提高學生的解題能力，打開思維空間，如：

解法變式一：引導延長較短線段與較長線段相等。延長FG到H，使得FH等于BC，連接CH，根據作法，可以得到FH平行且等于BC，FBCH是平行四邊形，從而得到CH=BF，隨后將其放置于△ADE和△CHG中，通過求解三角形全等，根據DE=GH這一關鍵求解，繼而得到答案。

解法變式二：在較長的線段上截取較短的線段。引導其從BC上截取BH=DE，不難得到△ADE≌△FBH，則可以知道∠ADE=∠ABC=∠ACB，同理可以在BC上截取BH=FG，再證明HC=DE，從而求解出答案。

解法變式三：利用梯形或者三角形中位線定理進行求解。通過求證三角形底邊BC等于梯形DFGE兩底之和，可以猜想通過梯形DFGE的中位線溝通兩者之間的關系，從而求解答案。

解法變式四：利用相似三角形的性質和比例性質。通過證明邊是相似三角形的對應邊，因此可以從相似三角形的對應邊成比例和比例的基本性質入手證明，從而求解答案。

綜合以上來看，主要是從解題方法入手，在變式解題訓練中，對一題進行的證明推導，不僅可以激活思維，還可以為多角度、多層次變式問題分析奠定堅實的基礎條件，使其能夠靈活運用所學知識解析數學問題，提高問題解決能力。

2.改變解題內容，促進思維發展

在初中數學解題教學中進行變式訓練，解題的內容是分析解題思路的關鍵，同時也是檢驗學生數學知識掌握情況的重要前提。為此，為促進思維發展，提高學生對某一數學知識內容的全面掌握，教師可以以解題內容為核心進行變式訓練，在多變內容、不變問題本質的基礎上，檢驗學生對知識的靈活應用能力，提高解題教學的育人效果。例如，在解題教學《勾股定理的應用》數學內容時，會涉及到應用方程思想解析勾股定理問題，在學習的時候，可以以方程思想為核心，在變換問題內容的同時，提高對這一知識點的掌握，如：

例題：如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，點D為BC邊上一點，線段AD將Rt△ABC分為兩個周長相等的三角形，若CD=2，BD=6，求△ABC的面積。

在求解此問題的時候，可以根據題意得出AC+CD+AD=AD+BD+AB，得出AC=AB+4，然后通過設AB=x，則AC=4+x，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解得AB=6，最后由三角形面積公式既可以得到答案。此題主要考查了學生對勾股定理以及三角形面積等知識的掌握，旨在讓學生學會運用構建方程的思想進行問題解題。

變式1：如圖所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，CD是AB邊上的高，求線段AD的長。

在解析此題的時候，只要設AD=x，根據CD2=BC2-BD2=AC2-AD2，構建方程既可以解決問題，如：

∵CD⊥AB，∴∠D=90°，

∴CD2=BC2-BD2=AC2-AD2

∴82-（5+x）2=52-x2

∴x=75

∴AD=75

此題主要考查了勾股定理、等腰三角形的性質等知識，主要讓學生利用參數構建方程進行問題解析。

變式2：已知在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥BC，垂足為D，交AB于點E，且BE2-AE2=AC2，求：

（1）求∠A的度數;

（2）若DE=3，BD=4，求AE的長。

對于問題（1）只要連接CE，根據線段垂直平分線的性質轉化線段BE到△AEC中，利用勾股定理逆定理可以求解∠A的度數;而問題（2）的解析，需要學生通過設AE=x，則AC可以用含x的式子表示，隨后將其放置于Rt△ABC中利用勾股定理得到關于x的方程求解AE的值。此題所考查的主要內容有勾股定理以及逆定理，解題的關鍵是利用勾股定理求解線段長度以及借助勾股定理構造方程解決問題。

綜合以上解題來看，可以看出在解題教學過程中，主要是以勾股定理應用方程思想進行解題為主要方向，在變式訓練中融合了等腰三角形的性質、勾股定理逆定理等知識要點，是基于改變解題內容而不改變解題核心方向為基礎進行的教學引導，不僅可以促進學生對數學知識的掌握，使其認識數學各個知識點之間的關聯性，還可以提高問題解決能力，促進思維靈活發展。

3.改變解題題型，提升思維高度

知識是靜態的，但是思維是活躍的，在初中數學解題教學中，習題是固定的，但是它的變化是無窮的。為此，在教學的時候，教師可以通過改變題型，綜合證明題、選擇題、動靜結合題等多種題型為輔助，在多變的過程中，多題歸一，提升思維的高度，激發探索學習興趣，培養創新精神。例如，在教學解析這一數學幾何問題的時候：

例題：已知，如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F，求證：EC=DF。

在解析此題的時候，可以讓學生通過做輔助線的形式進行問題求解，過點O作OM⊥CD，垂足為M，連接OC、OD，則CM=MD，然后根據AE⊥CD，BF⊥CD，得到AE//OM//BF，∵OA=OB，∴得到EM=FM，得到EM-CM=MF-MD，即EC=DF。

在此基礎上，為提高解題能力，讓學生學會解此類題，可以通過改變題型、圖形促進其進行深度探索，如：

變式一：已知，如上圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD于F，BF交⊙O于G，下面的結論：1、EC=DF;2、DE=CF;3、AE=GF;4、AE+BF=AB中，正確的有（ ）

A.1、4? B.2、3、4? C.1、2、3? D.1、2、3、4

變式二：把直線EF動起來，在運動變化的過程中，讓學生猜想并推斷原有的結論是否仍然成立，在原來封閉試題的基礎上演變為動態結合探索題型，引導其思考以下問題：

（1）如圖，AB是⊙O的直徑，直線L與⊙O有一個公共點C，過A、B分別作L的垂線，垂足為E、F，則EC=CF。

（2）上題中，當直線L向上平行移動的時候，與⊙O兩個交點C1、C2，其他條件不變，如圖，經過推證，我們會得到與原題相應的結論EC1=FC2;

（3）把L繼續向上平行移動，使得弦C1C2與AB交于點P（P不與A、B重合），在其他條件不變的情形下，請你在圓中將其變化后的圖形畫出來，標號對應的字母，并寫出與（1）（2）相應的結論等式，判斷你寫的結論是否成立，若不成立，說明理由;若成立給予證明，結論：?? 。

根據此題可以發現，變式一和變式二是基于原題進行的拓展延伸，雖然變式一是選擇題，但是在推導結論的時候，需要學生對各個結論進行推理分析，所考查的內容和知識點更加全面，而在變式二中更是對此題的升華，是由靜態知識轉為動態進行的變式訓練，在解析此題的時候，需要學生從運動的視角進行證明，過O做OM⊥C1C2，則AE//OM//BF，然后根據平行截割定理，得到EM=MF，由垂直弦的半徑平分弦這一知識最后得到結論，對于問題（3）的解析要讓學生明白一個道理，平行移動某條直線時，有些幾何關系是保持不變的，然后根據切線的性質、切割線的定理等知識點進行問題求解。

通過改變解題題型，在變式訓練的過程中，促使其能夠多視角、多層次、多維度思考問題、分析問題，從而提升數學思維的高度，提高變式訓練的教學質量。

綜上所述，初中數學解題教學中的變式訓練，對培養學生靈活的思維能力，提高問題解決能力具有重要的意義。為此，在教學的時候，教師要重視變式訓練，認識其教學的意義，根據其對應原則，在改變解題方法、改變解題內容、改變解題題型的過程中，加深對數學知識的理解和掌握，提高解題效率和解題質量。

參考文獻：

[1]唐雪霞.初中數學解題教學中的變式訓練[J].數學大世界（上旬），2020（9）：71.

[2]茅亞敏.舉一反三，激活學生思維[J].新課程導學，2020（27）：81-82.

[3]孫連杰.例談初中數學教學中的變式訓練[J].中學生數理化（教與學），2020（8）：94.

（作者單位：湖北省秭歸縣文化初級中學，湖北 秭歸 443622）