波浪中三體船非線性橫搖運動近似解析解及特性分析

張藝瀚，王 平，蔡新功

（中國船舶及海洋工程設計研究院，上海 200011）

0 引 言

三體船型具有較單體船型更好的快速性、耐波性和總布置性等優點[1]，已經在很多實船上得到了體現，包括美國LCS 三體瀕海戰斗艦、澳大利亞三體高速車客渡船等。實船試驗及相關模型試驗研究[2]表明，三體船型橫搖運動特性與常規單體船型有所不同，在波浪中低速航行時經常發生大幅橫搖及不穩定橫搖現象，可以通過引入非線性橫搖阻尼模型和非線性恢復力模型進行研究。

非線性橫搖運動方程從數學角度難以求得精確解析解，通常基于勢流理論計算等效線性化阻尼下的穩態運動[3]，此外，利用CFD 可以模擬波浪中的大幅橫搖衰減運動[4-5]，但較難精確仿真不穩定的非線性橫搖現象，且計算效率較低。為了從理論角度解釋三體船可能存在的特殊橫搖運動現象，以便在工程中給予指導建議，本文采用非線性動力學理論中的攝動法來定性與定量地分析波浪中非線性橫搖運動特性。攝動方法主要有LP 法、多尺度法、平均法[6]等。丁勇等[7]研究了單體船型在靜水中的橫搖解析解，并通過數值和試驗加以驗證；胡安康等[8]基于多尺度法研究了集裝箱船在橫浪中的橫搖解析解和橫搖特性，但是關于三體船型的近似解析解的相關研究目前還未有學者進行公開報道。三體船型的非線性橫搖模型具有一定特殊性，通常其阻尼模型采用線性加平方模型（LPQD）或線性加立方模型（LPCD）[9]，主要根據具體的船型特點和附體型式進行選擇[10]。本文研究的某高速三體實船的阻尼模型中，立方阻尼成分明顯大于平方成分，在大幅橫搖時非線性更加明顯，因此本文采用線性加立方的阻尼形式。方程中的非線性恢復力模型可以通過靜水力曲線擬合得到，擬合結果也和單體船有所不同，將在后續討論。

多尺度法對于非穩態運動的適應性較強，并且容易對穩態解作定性分析。本文應用該方法計算得到三體船在波浪中的幅頻響應和時歷穩態解，并通過模型試驗和數值計算進行驗證,分析了阻尼系數和恢復力系數對橫搖運動特性的影響，從理論角度有效解釋了三體船非線性橫搖運動的特點和特殊現象，并為三體船的研發設計提供了一定的理論支撐。

1 非線性橫搖運動方程及近似解析解

根據線性加立方阻尼模型及后續得到的近似到5 次方的非線性恢復力模型，本文建立的正橫浪規則波狀態下非線性橫搖運動方程如下：

式中，Jφφ、ΔJφφ分別為橫搖慣性矩和附加慣性矩，可以根據經驗公式[11]或者通過試驗獲得橫搖固有周期，再根據式（2）推導得到。

式（1）中，2Nφφ為線性阻尼系數，N3為立方阻尼系數，C1、C2、C3分別為線性、3 次和5 次恢復力矩系數，可通過穩性力臂曲線擬合得到，其中C1=Dh，D=Δg，h為初穩心高。F為波浪力幅值，可以認為由波浪主干擾力和輻射力疊加而成。其中，波浪主干擾力Ff-k是主要組成部分，通常可以用波傾角表示，Ff-k=Dhae0為波浪力幅值[12]，ae0為有效波面角，考慮船寬和船吃水限制的影響。

為方便后續分析，方程（1）兩邊同除以Jφφ+ΔJφφ，化簡為

式中，nφ為橫搖固有頻率，2υφφ為線性橫搖阻尼系數，υ3為3次橫搖阻尼系數。

20世紀50年代，美國學者Sturrock引入多尺度法[13]，通過引入小參數ε，一系列越來越慢的時間尺度可以表示為

由于本文取到一階近似解析解，只需取T0=t、T1=εt兩項，同時引入激勵頻率的失調參數δ，使ω=ω0+εδ，其中ω0=nφ，為橫搖系統的固有頻率。

引入小參數后，將橫搖運動方程(3)化為含阻尼的Duffing系統受迫振動標準方程：

由參考文獻[6-8]中的多尺度法攝動推導，得到橫搖運動的一階穩態解為

其中,

橫搖幅頻響應曲線為

橫搖一階近似解析解為

其中，前兩項為一階近似穩態解

式中，相位γ=δT1-β。

2 三體船算例分析

2.1 計算模型及主要參數

為了驗證上述方法對三體船的適用性并分析三體船型非線性橫搖特性，采用某三體客船為研究對象，表1為主尺度參數，圖1為橫剖面圖。

圖1 三體船橫剖面圖Fig.1 Cross section of trimaran

表1 主尺度參數Tab.1 Principal dimensions

計算采用的線性及非線性橫搖阻尼系數通過船模橫搖衰減試驗獲取，圖2 為船模橫搖衰減試驗的照片，衰減試驗時采用3自由度，即橫搖、縱搖和垂蕩。圖3 為靜水橫搖衰減曲線，圖4 為采用最小二乘法擬合的消滅曲線。可見，對于本文研究三體船型，采用線性加3 次方形式（LPCD）的橫搖阻尼模型是合適的。

圖2 橫搖衰減試驗Fig.2 Roll decay experiment

圖3 橫搖衰減曲線Fig.3 Roll decay curve

圖4 橫搖衰減消滅曲線Fig.4 Extinction curve of rolling

擬合后的消滅曲線方程為

橫搖方程中的非線性恢復力系數通過擬合實船恢復力臂曲線得到。

本船恢復力臂曲線（GZ 曲線）采用NAPA 軟件，基于靜力學并通過實船自由液面修正后得到，應用最小二乘法得到擬合曲線（見圖5），可見擬合程度較高。

圖5 恢復力臂曲線及擬合結果Fig.5 GZ curve and fitting result

非線性恢復力臂擬合方程為

從恢復力臂曲線也可以發現三體船型與單體船的區別，這種船型由于片體的存在，有效船寬較大，導致穩性消失角很大，幾乎在90°左右，而單體船通常在60°以下，數值上非線性恢復力系數的正負號與單體船不同，這些因素將使得幅頻曲線具有一定的特殊性。

表2為方程中需要用到的具體計算參數，其中需要說明的是附加慣性矩是根據式（2）通過船模試驗得到的固有周期反推得到。

表2 計算參數Tab.2 Parameters for calculation

2.2 數值及試驗驗證

2.2.1 試驗驗證取單位波幅橫浪規則波，將實船參數代入式（8），得到橫搖幅頻曲線，如圖6所示。實船阻尼下，在波浪激勵頻率與橫搖固有頻率比接近1時，橫搖幅值達到最大值，對應橫搖非線性系統發生主共振的情況。隨著阻尼的減小，主共振的幅值會沿著骨架線逐漸增大，幅值對應的頻率向右側傾斜，表現出剛性軟化的趨勢，但隨著阻尼的進一步減少，又展現出剛性漸硬的趨勢，直到極限情況下的無阻尼狀態，系統的幅值可能達到最大值，成為所有阻尼情況下的包絡線。為了驗證幅頻曲線的正確性，針對該三體船開展了橫搖規則波試驗，本試驗在哈爾濱工程大學拖曳水池開展，如圖7所示，通過三自由度適航儀進行零航速橫搖運動試驗，系列規則波取多個不同的周期，比如（0.5～2.0 s），分別造出波高約為0.05 m 的規則波，記錄橫搖角的時間序列，并進行時域統計得到幅頻響應曲線，圖8為橫浪規則波試驗照片。幅頻曲線與試驗值的對比見圖6。從圖中可見，應用近似解析法得到的實船幅頻曲線與試驗值吻合良好，平均誤差在10%以內。

圖6 橫搖幅頻響應曲線Fig.6 Amplitude-frequency response curves of rolling

圖7 拖曳水池Fig.7 Towing tank

圖8 橫浪規則波試驗Fig.8 Rolling test in regular beam waves

2.2.2 數值驗證

針對式（1）表達的非線性橫搖方程，應用4 階龍格庫塔法直接進行數值求解[14]，取ω/ω0= 1 的情形，初始橫搖角取為3°。同時，在結果中加入了對應波浪頻率下試驗穩態值的對比，其中圖9 為數值解法與多尺度法的對比，可見數值解法可以展現橫搖運動從初始到穩定的過程，多尺度法與數值解較為接近。圖10 為多尺度法近似解析解的穩態值與試驗穩態值的對比，周期吻合度較高，幅值誤差約為8%。

圖9 多尺度法與數值解的比較Fig.9 Comparison of multi-scale method and numerical solution

圖10 多尺度法與試驗值的比較Fig.10 Comparison of multi-scale method and experimental values

2.3 橫搖運動特性分析

三體船橫搖運動的非線性成分主要體現在阻尼非線性和恢復力非線性。本文通過基于多尺度法得到的幅頻曲線研究這兩種非線性因素對橫搖運動的影響，進而分析三體船型的橫搖運動特性。

2.3.1 阻尼系數的影響

本文研究的三體船橫搖非線性阻尼模型為線性加三次阻尼模型，分別按同比例縮減的原則改變線性阻尼和非線性阻尼的大小得到幅頻曲線，如圖11 所示。橫搖阻尼的存在使橫搖運動保持穩定，其大小的變化主要體現在橫搖幅值的大小上，并不會改變曲線形狀和運動穩定性，無論是線性阻尼的變化還是非線性阻尼的變化，都不會改變幅頻響應曲線的框架，隨著阻尼的減小，都向著無阻尼情況的趨勢在發展，非線性阻尼系數的變化對于幅值變化更加敏感。另外，隨著阻尼系數的減少，橫搖系統除了幅值增加外，還會出現多值、跳躍等現象。由于三體船的非線性橫搖阻尼在總阻尼中占的成分較單體船更大，因此在三體船的設計中，提供較大的非線性阻尼成分對三體船型的橫搖運動控制起著關鍵作用，例如通過增加減搖水翼、舭龍骨等附體，可以提供一定的非線性漩渦阻尼，對橫搖運動具有較大的改善作用。另外，對比文獻[15]中單體船情況，三體船在大阻尼下幅頻曲線變化規律與單體船基本一致，但隨著阻尼的減少，三體船的最大幅值提升更快，從非線性動力學角度來看，由大阻尼狀態下的剛度軟化變成剛度硬化的趨勢，更容易出現大幅橫搖和不穩定的運動狀態。因次，保證三體船的橫搖阻尼是保證其橫搖運動穩定性的關鍵。

圖11 阻尼對橫搖的影響Fig.11 Effect of damping on rolling

2.3.2 恢復力的影響

包括單體船、雙體船或三體船在內的不同船型的恢復力臂曲線都有各自的特點，通常應用高階模型擬合非線性恢復力。針對三體船，從上述研究中發現恢復力臂擬合到5階非線性項較為合適，線性及高階恢復力系數分別為C1、C3、C5，從研究橫搖非線性派生系統的穩定性角度，這些系數的大小和正負能夠影響橫搖幅頻響應曲線的形狀。

（1）恢復力系數正負的影響

線性恢復力系數C1＞0，其大小由初穩心高決定。三次項系數C3主要調整恢復力臂曲線的形狀，船舶的恢復力力臂隨著橫傾角的增加都是先增加后減少為零（對應的為穩性消失角），導致系數C3＜0。而五次項系數C5主要與穩性消失角的大小有關，隨著穩性消失角增加，其符號呈現由負到正的變化趨勢。本文研究的三體船由于穩性消失角較大，C5＞0，而單體船穩性消失角較小，往往為負值。這也可以從三體船船型的布置特點進行理解，隨著三體船片體從最靠近主體的位置往外側移動，相當于由單體船變成三體船，恢復力變大，穩性消失角變大。因此，C5會隨著三體船的布局變化正負，同時也和重心的位置有關。圖12為不同C5下的橫搖幅頻響應曲線，可見，當C5＞0時，幅頻曲線表現出剛度漸硬的趨勢，在小阻尼時有發生大幅不穩定橫搖的可能性；當C5＜0 時，幅頻曲線表現出剛度漸軟的趨勢，在小阻尼時橫搖幅值趨于固定值，不容易發生橫搖不穩定現象。

圖12 橫搖幅頻曲線Fig.12 Amplitude-frequency curves of rolling

（2）恢復力系數大小的影響

三體船的船型特點決定了其穩性消失角較大，導致C5＞0。圖13 為不同大小的五次方恢復力系數C5對幅頻曲線的影響。可見，在偏離主共振頻率段和大阻尼情況下，橫搖幅值在不同恢復力大小下基本吻合，但在小阻尼主共振及附近頻率段，曲線形狀隨著C5的減小有由剛度漸硬向漸軟轉變的趨勢，發生不穩定橫搖的橫搖幅值有逐漸變小和穩定的趨勢。因此，三體船設計時，在不能控制阻尼的情況下，可以通過改變船型布局及重心高度的方式控制恢復力系數來減少不穩定大幅橫搖發生的概率。

圖13 恢復力系數C5(r5)的大小對橫搖的影響Fig.13 Effect of the amplitude of C5(r5)on rolling

3 結 論

（1）多尺度法近似解析解適用于三體船非線性橫搖運動的求解，可以用來定性和定量分析三體船型的橫搖非線性運動特性。由三體船的船型特點決定的非線性橫搖阻尼和非線性恢復力系數形式會使其在小阻尼情況下有發生大幅橫搖的可能性。

（2）三體船橫搖阻尼系數的成分中非線性橫搖阻尼系數占較大成分，對三體船在波浪中保持穩定的橫搖運動起到關鍵作用。在設計研發時，采取增加非線性橫搖阻尼的措施有利于提升橫搖運動性能。

（3）三體船恢復力系數大小和正負會影響主共振附近區域的橫搖幅值變化趨勢，可以通過改變船型布局及參數控制來減少不穩定大幅橫搖發生的概率。