周期性石墨烯盤表面拓撲邊界傳輸態研究

廖秋雨，張煜熔，吳智杭，葉 婷，張克非

(1.西南科技大學 理學院，綿陽 621010；2.西南科技大學 計算機科學與技術學院，綿陽 621010)

引 言

光子晶體(photonic crystal，PC)具有操縱光子和控制光波傳輸的能力，但光在其中傳播仍有一定的散射和損耗。將拓撲態引入光子系統中[1]，革新了傳統光波的傳輸和控制。受拓撲保護的光子器件具有強魯棒性，可對結構缺陷免疫，但由于衍射極限的存在使得器件的微型化受到工程限制。石墨烯是由單層碳原子經sp2雜化組成的新型2維納米材料[2]，具有獨特的電學和光學特性[3-5]，可充當一種實現量子霍爾效應的理想平臺，在納米量級尺度上實現拓撲保護的光子態。表面等離子體有很強的局域性，可突破衍射極限，為實現納米尺寸的光電器件和全光集成電路提供了可能[6-9]。與傳統的貴金屬相比，將石墨烯作為表面等離激元材料不僅成本更低，還具有可調性等許多優點。

2009年，OCHIAI等人[10]在石墨烯蜂窩晶格光子晶體中討論了狄拉克點、拓撲邊界等內容，并研究了其拓撲相變。2013年，KHANIKAEV等人[11-12]通過實驗使2維光子拓撲絕緣體和光的量子自旋霍爾效應得以實現。2015年，CONSTANT等人[13]在石墨烯中通過紅外光的近場散射激發表面等離子體激元。2016年，SLOBOZHANYUK等人[14]設計了一種超材料光子晶體，具有工程各向異性，實現了拓撲保護態，并證明了拓撲結構下的強魯棒性和無背向散射的特性。2017年，MA等人[15]用數值方法研究了石墨烯和1維光子晶體的復合結構對光波的吸收屬性，發現復合結構吸收譜具有類似1維光子晶體通帶結構的吸收帶結構。2018年，LU等人[16]基于3-D磁性Weyl光子晶體，設計了一種單向光纖的傳輸模式，通過打破了時間反演對稱性，實現了拓撲保護。同年，SONG[17]基于石墨烯提出了拓撲光子晶體平板結構，實現拓撲邊界態并驗證其魯棒性，證明了此結構在60THz～120THz范圍的可調諧性。2019年，GAO等人[18]實現了光子晶體拓撲邊界態光子自旋引導機制的光波導，有效提高了波導的傳輸效率，加強了波導結構的光子局域性，抑制背向散射，實現魯棒性好的單向拓撲傳輸。2020年，HAN等人[19]基于石墨烯在中紅外和太赫茲波段可以產生表面等離激元，設計了一種共振可調結構，從而在納米尺度上有效控制石墨烯與光的相互作用。同年，BI等人[20]發明了一種硅基集成基于拓撲保護機理的光隔離器件，通過拓撲平臺結構，有效減小了器件體積，且具有較小損耗等優勢。

綜上所述，光學拓撲態的實現可更好地控制光在特定通道內進行傳播，同時具有高傳輸效率和低損耗的優勢，引入石墨烯等離子體為把光集中在納米尺度進行研究提供了依據。本文中基于石墨烯等離子體，提出一種新型2維光子晶體結構，通過調節一個周期內兩個石墨烯圓盤的直徑大小，最終實現拓撲邊界傳輸態。研究結果可為在納米量級設計具有對結構缺陷免疫的可調諧光子傳輸器件提供理論依據，給光學器件領域的研究注入新的活力。

1 理論分析與計算

空間反演對稱性和時間反演對稱性保護著狄拉克錐，但當任意一個被破壞時，狄拉克簡并將被打開，產生拓撲帶隙。

量子霍爾效應基于時間反演對稱性被破壞，用第一陳數C來描述此系統情況下的拓撲性質，其表征整數量子霍爾效應的拓撲不變量，它只能在能隙閉合的地方才會改變。引入Z2不變量[10]表征具有時間反演對稱性系統的拓撲性質：

(1)

式中，k是波矢,A(k)是貝里聯絡，Ω(k)是貝里曲率，B+表示半個布里淵區[21]，?B+為沿著半個布里淵區B+的邊界，dl表示在半個布里淵區里的路徑積分微元，mod 2表示除以2取余數，Z2=0為普通絕緣體，Z2=1為拓撲絕緣體。

在霍爾電導實驗中，垂直電導Rxx=零，霍爾電阻Rxy確定為定值量子化常數RH=h/ve2，v為填充數。對于整數量子霍爾效應，霍爾電導為：

(2)

式中，h是普朗克常數，e是電子電荷，N為正整數。

本文中采取調節石墨烯圓盤的直徑大小來破壞晶格的時間反演對稱性來打開狄拉克點，獲得拓撲帶隙，產生具有免疫結構缺陷和背向散射的拓撲邊界保護態。

為控制同一周期內兩個石墨烯圓盤的化學勢一致，運用單層石墨烯上橫向磁(transverse magnetic，TM)模的色散關系，在的非延遲體系中β?k0，即：

(3)

式中，εair=1，εSiO2=3.9，分別是空氣和二氧化硅的介電常數，對應于本研究中的表層材料和基底材料，ε0是自由空間的真空介電常數，k0=ω/c為自由空間中的波數，β是在表面等離子體激元在石墨烯層上的傳播常數，σg為石墨烯的表面電導率，ω是等離激元的角頻率，c是光速。

而石墨烯的帶間電導率為：

(4)

由上式可知，可通過施加外部電壓來控制兩個石墨烯圓盤的化學勢保持相同?；诳刂谱兞糠?，僅調節兩個石墨烯圓盤的直徑大小來破壞時間反演對稱性。

2 石墨烯光子晶體結構

本文中提出一種周期性蜂窩狀石墨烯表面等離激元光子晶體結構。通過設置晶格常數a=50nm，石墨烯圓盤直徑d=0.42a，石墨烯圓盤圓心之間的距離R=31/2a/3，構建出三角晶格的六格點原胞，如圖1中正六邊形所示，蜂巢晶格的初始兩格點原胞如圖1中菱形所示。為增加對稱性，提高簡并度，以包含兩個石墨烯盤的菱形晶格為一個周期。其中3-D基底可采用SiO2材料，平面上的基底為石墨烯等離子體，周期性排列于基底上的圓盤均為石墨烯材料，共同組成蜂巢光子晶體結構。

Fig.1 Graphene plasmon honeycomb photonic crystal structure diagram

如圖2所示，是三角晶格原胞結構，在倒格矢空間相對應的布里淵區(Brillouin zone，BZ)如圖3所示，Γ-M-K-Γ所圍成的區域作為不可約布里淵區。

Fig.2 Structure of primitive cell

Fig.3 Establishment of the BZ

3 仿真與分析

3.1 直徑調節與能帶拓撲效應

對石墨烯等離激元光子晶體結構的研究中發現，石墨烯圓盤的大小可打開狄拉克點，對帶隙進行改變，可實現能帶拓撲效應。本小節中將研究直徑調節與能帶拓撲效應的關系，將菱形晶格中的兩個石墨烯圓盤直徑分別設置為d1(左)和d2(右)，如圖4所示。

Fig.4 Graphene disks diameter setting

將背景基底的石墨烯等離激元的化學勢μ3設置為0.62eV，同一周期內的兩個石墨烯圓盤化學勢保持一致，設置μ1=μ2=0.4eV，即δμ=0，避免化學勢差值對仿真結果的影響，其中，μ1和μ2分別是以d1和d2為直徑的石墨烯圓盤化學勢。當d1=d2=0.42a，即δd=0時，仿真分析得其光場分布與能帶結構如圖5所示。

Fig.5 Light field distribution and band structure

如圖5b所示，能帶圖中不存在帶隙，但在布里淵區角點K/K′相交形成的錐形色散，即狄拉克錐;D點為二重簡并點，被稱作狄拉克點。

當兩石墨烯圓盤直徑d1=0.4a，d2=0.44a時，仿真結果如圖6所示。狄拉克點被成功打開，在15.3THz～15.8THz頻率范圍內，獲得間隙為0.5THz的帶隙。

Fig.6 Light field distribution and band structure

當兩石墨烯圓盤直徑d1=0.38a，d2=0.46a時，仿真結果如圖7所示?？梢姷依它c可仍被成功打開，在15.3THz～15.77THz頻率范圍內，獲得間隙為0.47THz的帶隙。

Fig.7 Light field distribution and band structure

當兩石墨烯圓盤直徑d1=0.36a，d2=0.48a時，仿真結果如圖8所示?？梢姷依它c仍被成功打開，在15.3THz～15.75THz頻率范圍內，獲得間隙為0.45THz的帶隙。

Fig.8 Light field distribution and band structure

此后還分別模擬分析d1=0.34a，d2=0.5a和d1=0.52a，d2=0.32a時的光場分布和能帶結構，狄拉克點都可被成功打開，并分別獲得了0.4THz與0.38THz的帶隙。

3.2 動態可調諧分析

在第3.1節的研究分析中，基于周期內石墨烯圓盤相同化學勢的狀態下，通過調節其石墨烯兩圓盤的大小能打開狄拉克點，實現能帶拓撲效應，同時得到不同頻率范圍的帶隙。

當直徑差值δd分別于0.04a，0.08a，0.12a，0.16a，0.2a動態變化時，分別打開了位于15.3THz～15.8THz，15.3THz～15.77THz，15.3THz～15.75THz，15.3THz～15.7THz，15.5THz～15.688THz范圍內的帶隙?；谏鲜鲅芯?，對帶隙范圍和間隙大小的數據進行統計分析。

由圖9和圖10可見，當一個周期內的兩個石墨烯圓盤的直徑大小差值逐漸增加時，帶隙頻率范圍逐漸下移，通過直徑差值于0.04a～0.2a間以步長為0.04a進行調節，在頻率范圍15.3THz～15.8THz間實現可調諧。隨著圓盤大小差值增大，獲得帶隙寬度逐漸變窄。

Fig.9 Relationship between disc size adjustment and gap

Fig.10 Region of band gap change

實驗表明，通過調節石墨烯圓盤的直徑，可在保持化學勢不變的狀態下，實現石墨烯拓撲光電子器件在15.3THz～15.8THz頻段的工作范圍。

4 結 論

拓撲效應革新了光子晶體中傳統光學傳輸的認知，在光子學領域具有巨大潛力。本文中提出一種新型石墨烯的等離激元光子晶體表面結構，基于石墨烯圓盤直徑大小的調節，實現在15.3THz～15.8THz頻段內動態調制，具有工作的靈活性。理論計算分析表明，相較于普通的拓撲光子器件，引入了石墨烯后，可有效提高光傳播性能；晶格常數及模式體積均降至納米量級，比自由空間波長小了近30倍，為納米量級的高集成度光電子傳輸器件的設計提供全新而有價值的理論依據。

作者下一步將在本文中提出的結構基礎上，設想一種拓撲邊界傳輸通道的方案。為更大程度地實現器件的靈活性和可重構性，通過調節以圖1菱形為周期的兩個石墨烯圓盤的直徑大小，于兩個石墨烯圓盤中間的結構表面構建通道，局域特定頻段的電磁波，實現拓撲邊界傳輸。

關于動態控制的工作方式，提出控制通斷的光開關功能：基于上述提出的通道，研究石墨烯圓盤的直徑差值，設計實現通道打開的樞紐：當一個周期內兩個石墨烯圓盤的面積存在差值時，該通道為導通狀態；當直徑差值恢復為0時，通道關閉。