破、解、立：初中數學綜合題解題策略探究

鮑建春

摘? ? 要：數學綜合題題型多數是多個知識點的串聯與組合，知識點覆蓋面廣，導向性十分明確，對學生數學解題的綜合能力有極高的要求.其在中考卷中所占的比重很高，故其得分高低，往往是中考決勝的關鍵.要想在綜合題中獲得高分，必須要有一定的解題策略，分步驟、有針對性地解決問題：先對綜合題涉及的各個要素進行歸類分解;再對分解出的小問題進行切分解答;最后理清思路，完整書寫，總結反思，以做到貫穿融合.

關鍵詞：初中數學;數學綜合題;解題策略

初中數學綜合題在中考卷中所占的比重很高，浙江省各地的試卷中一般分布在選擇題第10題、填空題第16題以及最后兩道壓軸題，特別是最后的壓軸題成為學生中考決戰成敗的關鍵。數學綜合題題型多數是多個知識點的串聯與組合，知識點覆蓋面廣，導向性十分明確，對學生數學解題的綜合能力有極高的要求.近幾年來，中考幾何與代數綜合題主要涉及的題型有：開放性探索問題、動態變化問題、是否存在問題、含有字母參數的二次函數綜合問題等.所涉及的數學思想方法有：分類討論、數學建模、轉化化歸等.學生要想在綜合題中獲得高分，必須要有一定的解題策略，分步驟、有針對性地解決問題.

筆者從寓言故事“庖丁解牛”中延伸出數學綜合題的解題三步法，即破、解、立，并在多年的實踐中證明，它可以幫助學生形成有效的解題思路，使其對綜合題不再有畏難情緒.下面以二次函數與相似三角形綜合題[1]的解題教學為例詳細分析.題目如下：

設拋物線y=ax2+bx-2 與x軸交于兩個不同的點A（-1，0），B（m，0），與y軸交于點C，且∠ACB=90°（如圖1）.

（1）求m的值和拋物線的解析式;（2）已知點D（1，n）在拋物線上，過點A的直線y=x+1交拋物線于另一點E.若點P在x軸上，以點P，B，D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標.

一、破題：目無全牛，各個擊破

數學思想是解決初中數學綜合題的靈魂，學生要善于挖掘綜合題中所隱含的條件，運用轉化、數形結合、分類討論、方程（不等式）、函數與方程的建模等思想，把綜合題涉及的各個要素進行歸類分解，并與相關的章節知識進行對接.這是做到破題的關鍵.

（一）化繁為簡，化未知為已知

此類題就是化未知為已知、化繁為簡、用數字替代字母，使復雜的問題簡單化，將未學習的知識轉化為已知的知識點[2].對每一個涉及的知識點要素，都要進行分解.

本例圖形很復雜，但仍有規可循：從∠ACB=90°聯想到有直角三角形，引導學生聯系直角三角形的有關知識點。

問題1：關于Rt△ABC，你知道哪些知識？

學生回答并分解相關知識要素：①兩銳角互余;②三角函數;③30度特殊角邊關系;④勾股定理.

實際操作中可將未知解法或難以解決的問題，通過比較、觀察、遷移、聯想等思維重構的過程，轉化化歸為已學過的內容和知識，如：分式方程轉化為整式方程，空間圖形轉化為平面圖形，多元轉化為一元，函數轉化為方程等.

（二）化動為靜，化抽象為具體

數學綜合題中的動態問題是近年來中考出題的熱點，而且涉及的知識面很廣，往往結合函數與方程、分類討論思想等.解決這類問題必須要有化動為靜的思路，可以根據題意把動態圖形分為幾個階段和范圍進行步驟分解，畫出靜態圖形，運用化歸思想將題目分解，尋找其中的數量關系，從而將抽象的概念轉化為具體的圖形.

本例中P點在x軸上，是一個動點，可先引導學生畫出大致圖形，如圖2，作出兩個靜態

圖形，再根據圖形直觀比較對應三角形相似進行解題.

（三）分類突破，化整為零

分類討論的情況在數學綜合題中經常出現，特別是之前提到的動態問題在等腰三角形、四邊形、圓中出現更多.分類討論時要將問題的所有可能性全部羅列出來，依據要素分解分類，做到不重復不遺漏，問題結論要做到完美.

對于本例第二個問題，可以引導學生猜想、發現P點的位置分為兩種情況，分別在B點的左邊與右邊.探究一：連接DB，點P有否可能在點B右側？探究二：在x軸上點B左側是否存在點P？解析：由90°<∠EBA<135°可知，點P只能在點B的左側，有以下兩種情況：①若△DBP1∽△EAB;②若△DBP2∽△EAB.此即分類討論思想的運用.

綜合題的破題，要重點分析題中關鍵的量或者關鍵詞，要能聯想到與每個量相關聯的知識點.對于不完整的圖形，教師要引導學生添加輔助線補全圖形.如對上題是否存在相似三角形這一問題，先要分類探究P點所在的位置，再根據位置分解作出相似三角形的圖形進行解題.

二、解題：牛刀小試，分而解之

根據題意破題后，就可以小試“牛刀”進行解題.解題過程中，教師要始終關注解題的方向和核心，讓學生把題中分解出的小問題進行切分解答，體驗成功的喜悅.

（一）減小難度，重拾信心

綜合題一般題目容量大，學生往往會產生懼怕心理.教師要教會學生分解綜合題的方法，即如何分解題干;還要注重基礎題的訓練，讓學生體驗成功的快樂.這樣，才能提高學生解綜合題的信心.

問題2：如圖3，在Rt△ABC中，CO⊥AB于點O，那么從相似三角形的角度出發可得到哪些結論？（△BOC∽△COA∽△BCA;對應角相等，對應邊成比例）有關線段的比例式有哪些，可以化為怎樣的乘積式？

這樣的問題設置既達到了復習舊知識的目的，又降低了題目的難度，有助于樹立學生的信心.

（二）遷移重構，提升思維

在分解出相似三角形的知識點并且解決了相關的問題后，可再結合題中的平面直角坐標系，把三角形與坐標系進行組合重構，解決二重問題.要求出解析式，須先求出各點的坐標.

在問題2中，相似三角形是得出線段成比例的關鍵，而把這個相似的基本圖形放入坐標系，聯想到兩坐標軸是互相垂直的這一隱含條件，就可以將之順利遷移到坐標系中.將已學過的知識遷移到新學習的知識，學生就能自主重構了.

問題3：如圖4，以AB所在直線為x軸，以CO所在的直線為y軸，建立直角坐標系，當OA=1，OC=2時，請寫出A，B，C三點的坐標.

運用遷移重構法時，要時刻思考每個題目的本質特性.教師要時刻注意引導學生自主地去類比分解綜合題型的題干，以重新組合知識點，提升思維水平.比如學習了一元一次方程的解法后，再學習不等式的解法，就可以對比兩種解法的異同點，讓學生在比較中加深印象.

（三）重組歸納，突破思路

數學綜合題往往會有幾種不同模型的疊加，教師要讓學生學會模型歸類，特別是在章節的復習中要有意識地尋找一些精練的綜合題，讓學生分析不同的模型并準確地把握關鍵點和突破點，并在訓練中培養學生的分析歸納能力，使其在解題思路上有所突破.

在完成各點坐標的求解后，可以進一步設問。

問題4：如圖5，已知A（-1，0），B（m，0），與y軸交于點C，且∠ACB=90°，求m的值和拋物線的解析式.

聯想到求二次函數解析式的三種形式，可以把拋物線這一要求還原到題中：

問題①：拋物線過A，B，C三點，求它的解析式.

已知三點求解析式，可以讓學生再回顧相關的三種解析式的表達.在求出二次函數表達式后，再結合題中的問題，把直線AE添加到圖中：

問題②：如圖6，在上題中的拋物線上存

在點D（1，n），過點A的直線y=x+1交拋物線于另一點E，求D，E坐標.

把各要素分解后，分而解決相關的小問題，即層層重組知識結構，讓學生在比較單一的情境中解決常規問題，如相似三角形求線段的長、已知三點求二次函數的解析式、求一次函數與二次函數的交點坐標等，學生就可以在小試牛刀中體驗到成功的喜悅，培養數學思維，提升核心素養.

三、立題：壯氣吞牛，貫穿融合

在破題、解題之后，我們還要做好最后一步：立題，即要理清思路，完整書寫，并總結反思，做到貫穿融合.在分析題目后，我們要把思路重新整理并書寫出來，并剔除不用的知識點，保留有用的知識點.

（一）補全圖形，理清思路

幾何綜合問題的圖好比一個復雜的機器，它是由基本零件組成的，這些基本零件就相當于基本圖對應的特征要素，發現基本圖的要素不完整，把它添補完整，這就是添輔助線.解決問題的時候，要把機器的零件拆下來修補，即找出初始條件要素指向的基本圖，補上輔助線，使基本圖完整，如圖7.

對常用的輔助線作法要能理解并應用，比如，對平面直角坐標系中有點的坐標，就要作x軸或y軸的垂線.還要總結歸納一些基本圖形，如三垂直、A字形相似、8字形相似等.將這些常用的方法融會貫通后，學生就能夠理清解綜合題的思路.如本例中只要畫出點P在B的左邊與右邊的兩種圖形，利用數形結合的思想找到相似三角形的對應關系，就能理清思路很好地解決問題了.

（二）整理歸納，形成思維

解析綜合題，可以通過破題分解對象，將知識點重新分門別類.學生分解要素破題是第一步，針對分解后的每一個小題目進行分析解答、重新組合是第二步，最后才是對之前的做法進行整理歸納，形成思維，使解題嚴密.

“立題”時，對每個問題都要尋根問底，對每一步都要進行思考：多問一個為什么，或問問“這樣做是否合理？有沒有更簡便的方法？”[3]教師要培養學生解決一般問題的科學思維習慣，使其在破題、解題之后有反思，從而順利地把解題過程呈現出來，真正做到有破有立.

整理過程見上述步驟，此處不再贅述.

（三）思考結論，舉一反三

解完一道綜合題后，教師要引導學生對結論進行思考，這樣能起到舉一反三的作用，培育學生的數學核心素養.教師要對結論進行合理的追問，比如：還有沒有分類不清楚的？還有沒有答案遺漏的？解題步驟是否規范了？方程是否驗根了？引導學生在解題后思考這些問題，有助于學生養成研究性學習的好習慣，有利于他們培養勇于探索的精神.此外，要達到“立題”之目的，培育學生數學學習的核心素養，教師還可以改變原題的知識元素，圍繞某一問題進行變換、引申、拓展

參考文獻：

[1] 盛志軍.數學導入課環節誘發學生學習心向的探索[J].數學教學，2010（10）：12.

[2]周兵.認清轉化思想、讓解題思路飛起來[J].數學大世界（教師適用），2011（10）：15.

[3]陸德強.例談初中數學幾何綜合問題的解題方法[J].新課程（中學），2017（3）：18.