數學教材研究性備課，數學思維多樣性提升
——“八省(市)聯考”數學試題的創作源泉與教學策略

浙江 余繼光

任何一道數學命題都有創作背景、文化內涵和信息來源，高考數學命題原則上來源于創作者頭腦中積累的某一數學思維構思——改編或創造.按照規定，高考數學命題專家手中只有高中數學教材，然而現在的高考數學命題可以來自多個途徑的改編或創作，由特殊到一般地創作；由某一數學模型的“母雞下蛋”式創作；高等數學初等化創作等.

1.來自教材“由特殊到一般”的創作

1.1問題及解：

(八省聯考模擬試卷第1題)已知M，N均為R的子集，且RM?N，則M∪RN=

( )

A.? B.M

C.N D.R

解析：(特殊化處理)設集合N={1,2,3,4,5}，RM={1，2，3}，

則M=R-{1，2，3}，RN=R-{1,2,3,4,5}，RN?M，所以M∪RN=M.

(畫Venn圖)

第一道集合題就不是送分題，集合由一直以來命題的“簡單的算”到今日的“深入的思考”，舉例構造的思考，畫圖構造的思考.

1.2設計來源:

(人教A必修1P12第10題)已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|2

命題手法：A，B均是R的子集，將具體集合轉化為一般情形，設計一個特殊類型而成題.

1.3教學策略：

教材中數學經典例題與習題均要進行研究性學習，由特殊到一般的研究，或變式引申創作，豐富學生的數學知識，提升數學思維的層次與水平，如挖掘人教A必修1P82第6題“比較log67與log76大小”形成的問題串：

變式1:比較大?。簂ogn(n+1)與log(n+1)n，n為正整數.

變式2:比較大?。簂oga(a+1)與log(a+1)a，a>0，a≠1.

問題1：當0

問題2：當0

變式3：比較aa+1與(a+1)a(a>0，a≠1)的大小.

問題1：如何把指數式轉化為對數式？

問題2：當a>1時，如何比較兩個指數式的大?。?/p>

設計意圖：指數式的大小比較、對數式的大小比較是數式比較的難點，其數學思維層次高、綜合性強，正在成為高考數學命題中的一道風景線.

2.來自教材“相同二階線性遞推模型”的創作

2.1問題及解：

(八省聯考模擬試卷第17題)已知各項都為正數的數列{an}滿足an+2=2an+1+3an.

(Ⅰ)證明：數列{an+an+1}為等比數列；

解析：(Ⅰ)由an+2=2an+1+3an，得an+2+an+1=3(an+1+an)，

所以數列{an+1+an}是以a1+a2為首項，3為公比的等比數列.

(Ⅱ)因為a1+a2=2，且an+2+an+1=3(an+1+an)，

所以an+1+an=3n-1(a1+a2)=2·3n-1，

從而an=2·3n-2-an-1=2·3n-2-(2·3n-3-an-2)=4·3n-3+an-2(n≥3).

2.2設計來源：

(人教A必修5P69第6題)已知數列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)，對于這個數列的通項公式作一研究，能否寫出它的通項公式.

對于二階遞推式求通項問題，可采用方法類比，用兩個待定系數將求二階線性遞推數列通項公式的問題，轉化為求一階線性遞推數列通項公式的問題來處理.

命題手法：在對課本習題的變式后，讓學生尋找途徑探求數列{an}的通項公式.

2.3教學策略：

由數列遞推關系探求數列通項公式是數列學習中的重要內容，主要涉及遞推關系結構識別，相關方法運用，總結規律模型，比如，對于一般數列{an}中，a1=a，a2=b，an+2=pan+1+qan(n∈N*)，根據特征方程x2-px-q=0(*)得到下列規律：

3.來自高考數學題相同情境的創作

3.1問題及解：

(八省聯考模擬試卷第7題)已知拋物線y2=2px上三點A(2，2)，B，C，直線AB，AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為

( )

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

解析：因為點A(2，2)在拋物線y2=2px上，所以p=1，則y2=2x.

則點B在直線3x+6y+4=0上.

同理點C也在直線3x+6y+4=0上，

故直線BC的方程為3x+6y+4=0，故選B.

3.2設計來源：

(2011·浙江卷·21)已知拋物線C1:x2=y，圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點M.

(Ⅰ)求點M到拋物線C1的準線的距離；

(Ⅱ)已知點P是拋物線C1上一點(異于坐標原點)，過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂足于AB，求直線l的方程.

同類題：過拋物線C1：y=x2上一點P(-2，4)作圓C2：x2+(y-1)2=1的兩條切線分別交C1于點A、B，求直線AB的方程.

命題手法：“借雞下蛋”式創作.

3.3教學策略：

4.來自高等數學的初等化創作

4.1問題及解：

(Ⅰ)求四棱錐的總曲率；

(Ⅱ)若多面體滿足：頂點數—棱數+面數=2，證明：這類多面體的總曲率是常數.

解析：(Ⅰ)由定義可得多面體總曲率=2π×頂點數-各面內角和，而四棱錐有5個頂點，5個面分別為4個三角形和1個四邊形，所以四棱錐總曲率=2π×5—(π×4+2π×1)=4π.

(Ⅱ)設該多面體有m個頂點，k個面，每個面依次有ai條棱(i=1,2,3,…,k)，

又每個面內角和為(ai-2)π，

4.2設計來源：

(北京大學數學系學生作業)設P是一個凸多面體，A是P的一個頂點，記θ(A)為所有以A為頂點的面在A點的角的總和(以弧度計算)，定義多面體在A點“離散曲率”K(A)=2π-θ(A)，顯然，曲率越大，θ(A)越小，頂點A越尖.

(Ⅰ)五種正多面體在頂點處的曲率各是多少？

(Ⅱ)五種正多面體在所有頂點處的曲率之和各是多少？

(Ⅲ)設P是一個凸多面體，證明它在所有頂點處的曲率之和為4π.

命題手法：高等數學初等化創作.

4.3教學策略：

用數學眼光觀察世界是培養數學應用意識與數學建模能力的重要途徑，以大興國際機場這一現實情境為例，可以從多個角度去挖掘其數學模型:

( )

直線AB的斜率為1，

解讀：大興機場的“六芒星”的六個支葉是一對對共形幾何圖形——雙曲線，此處只能根據初等數學現狀進行簡化，從應試角度而言，只需把字母換成數字進行運算很容易就能得到答案.因為對于一般成立的結論，在特殊情形下也一定成立.

比如，令a=4，b=3，則c=5，

5.來自高校自主招生題的二次創作

5.1問題及解：

(Ⅰ)求C的離心率；

(Ⅱ)若B在第一象限，證明:∠BFA=2∠BAF.

解得曲線C的離心率e=2(舍負).

此時，∠BFA，2∠BAF均為銳角，所以∠BFA=2∠BAF；

當x0=c時，BF=AF，此時∠BFA=90°=2∠BAF；

當x0>c時，同理可證，tan∠BFA=tan2∠BAF，

此時，∠BFA，2∠BAF均為鈍角，綜上所述∠BFA=2∠BAF.

解得雙曲線C的離心率e=2.

故有∠BFA=2∠BAF.

5.2設計來源：

(Ⅰ)求C的離心率；

(Ⅱ)設A為C的左頂點，Q為第一象限內C上任意一點，問是否存在常數λ(λ>0)，使得∠QF2A=λ∠QAF2恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.

命題手法：“借雞下蛋”式創作.

5.3教學策略：

圓錐曲線中有一類問題，定值定點問題，展示圓錐曲線的幾何性質.事實上，“三幾”(平面幾何、立體幾何、解析幾何)是高考數學的主要檢測內容，將“三幾”與三角融合的綜合題也層出不窮，如:

( )