從指數與對數的運算考查,探究數學運算能力的提升路徑

福建 包 喜 盧秀敏

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》提出了數學學科六大核心素養,數學運算是其中之一.運算能力反映了學生的綜合能力,也直接決定著學生的考試水平,探究數學運算的原理與實踐方法毫無疑問是提升運算能力的重要途徑.筆者結合2020年的高考試題,著重分析高考在指數運算與對數運算這一知識點的考查,探究運算能力的提升路徑.

高中數學運算主要是依據運算法則解決數學問題的一個過程,它主要包括:運算對象的理解,運算法則的掌握,運算方向的探究,以及運算方法的選擇等等.

引例:(2020·全國卷Ⅰ理·12)若2a+log2a=4b+2log4b,則

( )

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

解題分析:2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b<22b+log2(2b),構造函數f(x)=2x+log2x,可知函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,且已知f(a)

剖析:①運算對象的理解:指數式、對數式的直觀展現,指明解題方向為對指數、對數的運算考查或者是對指數函數、對數函數圖象與性質的考查；

②運算法則的掌握:指數冪運算的乘法、除法、乘方公式,對數的換底公式、降次運算、加減法運算等公式是轉化已知條件的橋梁；

③運算方向的探究:題設為等式條件,選項為不等式關系,要求將等量關系轉化到不等關系；變量a保持不變,變量b需選擇轉化方向“2b”或是“b2”；

④運算方法的選擇:可考慮特殊值法、構造函數法、結論檢驗法.數學的運算要做到會算,會少算,也要會不算.

對近年來有關指數與對數問題的研究,筆者發現這部分的內容有難度加大的趨勢,其中對運算的把握又是做好此類問題的關鍵,所以如何提高指數與對數的運算能力,是很值得我們探討的課題.

1.合理建模,簡化計算

數學模型在本質上是內在數學各要素的對應關系,外在表現往往被抽象成建立在數學符號基礎上的等式、不等式、圖象、圖表等內容.一般地,選擇適當的數學模型的能力就是將問題歸入哪類知識點的判斷能力,因此,提升學生運算能力的第一要務就是提升學生對數學模型的選擇能力.

【例1】(2020·全國卷Ⅱ理·11)若2x-2y<3-x-3-y,則

( )

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

解題分析:已知條件“2x-2y<3-x-3-y”表明考查對象是兩個指數函數y=2x,y=3x,但由于變量中有正負x,y,因而函數的單調性不能直接運用,所以轉變條件為“2x-3-x<2y-3-y”,從而構造了新函數f(x)=2x-3-x,f(x)為R上單調遞增函數,原不等式等價于f(x)1,故ln(y-x+1)>0,選項A.

大部分解不等式問題,特別是指數、對數、含參數的不等式,需要尋找出真正的有效不等式,構造不等式兩邊都符合形式的新函數,再結合函數的單調性,形成新的不等關系,解決問題.這一解題方法要求對已知不等式條件進行變形、化簡,形成函數模型,這是對數學思想——化歸與轉化的考查.

變式訓練題:(多選題)設0

( )

A.alnb>blnaB.alnb

C.aebbea

2.既有模型,細心研讀,代入運算

學生要有分析問題及解決問題的意識和能力,近幾年的新高考命題中,指數與對數的考查通常打破常規,通過降低難度、位置前移,增加創設簡單的問題情境,考查學生的閱讀能力及分析問題、解決問題的能力.

( )

A.60 B.63

C.66 D.69

【例3】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·6)基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數,世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數模型:I(t)=ert描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位:天)的變化規律,指數增長率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28,T=6.據此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)

( )

A.1.2天 B.1.8天

C.2.5天 D.3.5天

解題分析:因為已知R0=3.28,T=6,R0=1+rT,所以3.28=1+6r,得r=0.38,所以I(t)=e0.38t=2,所以0.38t=ln2,即0.38t≈0.69,t≈1.8，故選B.

從上述兩道高考試題的解答過程可以看出,學生要成功解題的秘訣包含三點:一是要有問題意識,把題目拆分成要解決的問題,然后步步為營,逐步探究；二是要找出問題的關鍵點與難點,尋找相應的解決策略；三是要有良好的心理素質,要有解決問題的勇氣和自信心,不能一看到較為陌生的公式、參考數據就手足無措,無從下手進而直接放棄.數學運算能力是高中生的關鍵能力之一,是提升高中生核心素養的基本要求,進一步發展數學運算能力,有效運用數學模型可以解決很多的實際問題.通過運算可以促進學生思維的發展,形成規范化思考問題的品質,養成一絲不茍、嚴謹的科學精神和態度.

( )

A.10% B.30%

C.50% D.100%

答案:A.

解此題型的心得體會:題不在難,有魂則靈,指數與對數運算融入生活應用,可明確地考查學生的閱讀能力、提取信息的轉化能力、數學文化的鑒賞力、敢于挑戰的自信力,逐步在高考試題中占有穩固地位.

3.聚焦問題分析,追本溯源,四兩撥千斤

數學運算是一項基本技能,雖然高考要求“多考想,少考算”,但是必要的基本運算能力,是進一步學習所必需的能力.特別是指數、對數函數的運算題,可以含有多個運算對象、多種運算規則、多個運算層級的綜合,包括計算路徑的選擇與設計,都對數學運算能力、數學邏輯思維提出了較高的要求.

( )

A.m-n>mn>m+nB.m-n>m+n>mn

C.mn>m-n>m+nD.m+n>m-n>mn

解題分析:第一層級——通過數據符號,比較大?。?/p>

因為m>0,n<0,所以mn<0,m-n>0,m+n正負未知,故可得m-n>mn,排除選項C；

第二層級——作差比較法,比較兩個數的大小：

因為(m+n)-(m-n)=2n<0,故可得m+n

第三層級——作商比較法,結合對數運算公式的考查,比較大小:

由本題的求解可以發現,針對不同對象的比較大小,運算方向的選擇是十分重要的.高考試題中往往都會通過含指數、對數的運算式的比較大小,逐層考查學生的建模能力、運算能力和邏輯推理能力.數學運算的考查通常是目標明確的,通過形式相近、解法想通、本質一致進行展現,可使考題重點突出,學生的數學應用意識得以檢驗,進而增加了挑戰的難度及獲取成功的能力高度.

解題說明:指數與對數的運算是基于相同底數的運算,不同底數的指數與對數必須化歸為同底形式才可計算,明確解題出發點可打開解題思路.

解題說明:轉換思維切入點是本解法的特色,針對指數與對數的運算,不僅依靠其本身的運算法則,亦可借助冪運算這一橋梁,追本溯源,統一形式,簡捷地得出正確結論.

4.依托代數運算,站在數學高處,綜合提升數學能力

高中數學主要有六大模塊的知識點考查:三角函數、數列、立體幾何、統計與概率、解析幾何、函數與導數,它們都是從不同側面描述現實世界的數學模型.高考試題將這六大知識科學融合,合理地有目標地檢測學生的數學能力.如何展現數學形式化表達的基本能力要求,如何體現數學思維活動的生動活潑,是教師在課堂教學中引領學生數學活動,提升數學素養的基本要求.

( )

A.若n=1,則H(X)=0

B.若n=2,則H(X)隨著p1的增大而增大

D.若n=2m,隨機變量Y所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),則H(X)≤H(Y)

解題分析:對于A選項,若n=1,則i=1,p1=1,所以H(X)=-(1×log21)=0,所以A選項正確.本選項將研究對象“定量定值”,考查學生的特例思維,引導學生特殊到一般的研究問題方式.

對于B選項,若n=2,則i=1,2,p2=1-p1,

所以H(X)=-[p1·log2p1+(1-p1)·log2(1-p1)],

兩者相等,所以B選項錯誤.

代數運算的直觀感知是抽象思維的源泉,本項在A選項“定量定值”的考查基礎上提出“定量不定值”的情況,考查將運算對象進一步抽象為函數模型,利用函數的基本性質,進行準確判定結論.

對于D選項,若n=2m,隨機變量Y的所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m).

所以H(X)>H(Y),所以D選項錯誤.本選項從“不定值不定量”且“雙元變量”的角度提出了研究方向,涉及基本不等式的基本性質,考查分析、思考和解決問題的高層次能力.

本題的精彩之處在于用一個數學背景,設置“定量定值”“定量不定值”“定值不定量”“不定值不定量”多個研究角度,滿足了形式化表達數學的基本要求,又實現了數學思維的發散性和拓展性,引導數學思考的高度,不同層次地提升數學能力.教師通過對該考題的深入研究,從不同的角度觀察,站在數學的制高點上,精心、細心、耐心地分析,逐步引導學生思考、實踐、解決問題,使學生勇于探索、深入研究、深刻體會數學的精彩與巧妙,達到綜合提升自身數學核心素養的目的.

(本文系龍巖市2020年教研機構課題《高考評價體系視域下提升學生運算求解能力的教學策略研究》的階段研究成果)