運(yùn)用分類整合思想 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)品質(zhì)

山東 楊長(zhǎng)智

分類與整合思想是指面對(duì)比較復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，無(wú)法通過(guò)統(tǒng)一或者整體研究解決，需要把研究對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類并逐類進(jìn)行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，使問(wèn)題得到解決.其實(shí)就是把問(wèn)題“分而治之、各個(gè)擊破、綜合歸納”.

分類與整合思想解題的一般步驟:(1)根據(jù)研究需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)；各類之間要做到“不重不漏”；(2)逐類逐級(jí)進(jìn)行討論；(3)綜合概括、歸納得出最后結(jié)論.本文以2020年高考題為例，剖析在高考中如何考查分類與整合思想，在教學(xué)過(guò)程中如何分析，提升學(xué)生核心素養(yǎng).

例1:(2020·全國(guó)卷Ⅰ文·16)數(shù)列{an}滿足an+2+(-1)nan=3n-1，前16項(xiàng)和為540，則a1=________.

教師用PPT展示題目，并讓學(xué)生回答.

學(xué)生1:需要對(duì)n進(jìn)行討論，分n是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況.

教師:令S16=S奇+S偶=(a1+a3+a5+…+a15)+(a2+a4+a6+…+a16).

學(xué)生1:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S偶=(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)，恰好是n取2，6，10，14的情況；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，需要累加分別把a(bǔ)3，a5，…，a15,用a1來(lái)表示.

教師:好，根據(jù)這種思路我們就得到解題方法一(展示PPT).

解法一:分類討論，逐項(xiàng)突破

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

a3-a1=2,a5-a3=8,a7-a5=14,a9-a7=20,a11-a9=26,a13-a11=32,a15-a13=38,

分別累加得

a3-a1=2,a5-a1=10,a7-a1=24,a9-a1=44,a11-a1=70,a13-a1=102,a15-a1=140，

即a3=a1+2,a5=a1+10,a7=a1+24,a9=a1+44,a11=a1+70,a13=a1+102,a15=a1+140，

上面各項(xiàng)相加得

a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=7a1+392，

所以S奇=8a1+392,

而S偶=(a4+a2)+(a8+a6)+(a12+a10)+(a16+a14)=5+17+29+41=92，

S16=S奇+S偶=8a1+392+92=8a1+484=540.

所以a1=7.

教師:對(duì)于項(xiàng)數(shù)不太多時(shí)，我們可以把每一個(gè)奇數(shù)項(xiàng)用a1表示，但項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，這種方法就不可取了，那我們還有沒(méi)有其他思路呢？

學(xué)生2:我們對(duì)n為奇、偶數(shù)進(jìn)行分類討論，看能不能得出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項(xiàng)遞推公式將奇數(shù)項(xiàng)用a1表示，由偶數(shù)項(xiàng)遞推公式得出偶數(shù)項(xiàng)的和.

教師:很好，根據(jù)這種思路，我們求出奇數(shù)項(xiàng)時(shí)a2k+1與a1的關(guān)系(展示PPT).

解法二:分類討論，遞推突破

an+2+(-1)nan=3n-1，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+2-an=3n-1，即

a3-a1=3×1-1，a5-a3=3×3-1，a7-a5=3×5-1，a2k+1-a2k-1=3×(2k-1)-1，

各式相加，得

a2k+1-a1=3×(1+3+5+…+2k-1)-k

=3k2-k，

所以a2k+1=a1+(3k2-k)(k∈N*).

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+2+an=3n-1，則

a4+a2=3×2-1=5，a8+a6=3×6-1=17，

a12+a10=3×10-1=29，a16+a14=3×14-1=41.

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，

解得a1=7.

評(píng)析:題干中展示的是an+2,an的關(guān)系，即數(shù)列中間隔項(xiàng)之間的關(guān)系，也就是奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系；(-1)n的出現(xiàn)提示當(dāng)n分別為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)有不同的規(guī)律，需分類討論；在平常的數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別呈現(xiàn)不同的規(guī)律，研究的方法一般是分類討論再綜合處理.本題給的做題線索和思路比較明顯，但計(jì)算稍顯煩瑣，學(xué)生如果能夠耐心，解決此問(wèn)題就會(huì)比較容易.本題考查邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

( )

教師:此題f(x)是分段函數(shù)，g(x)是f(x)與絕對(duì)值函數(shù)的組合，如何確定分類標(biāo)準(zhǔn)？

學(xué)生3:分段函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)是x=0，絕對(duì)值的分類標(biāo)準(zhǔn)是如何去掉絕對(duì)值符號(hào).

教師:絕對(duì)值符號(hào)如何去掉？

教師:很好，根據(jù)學(xué)生3的描述，我們可以把g(x)的表達(dá)式表示出來(lái)，首先是對(duì)k進(jìn)行討論.這樣我們就得到了第一種解題思路.

解法一:利用零點(diǎn)的定義，考查必備知識(shí)

當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=x，無(wú)零點(diǎn)；

所以當(dāng)k=0時(shí)，g(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

所以當(dāng)k<0時(shí)，g(x)有四個(gè)零點(diǎn)，

x3+kx2-2x=0,即x(x2+kx-2)=0.

教師:第一種思路是利用零點(diǎn)的定義解決問(wèn)題，同學(xué)們還有沒(méi)有其他思路？

學(xué)生4:令h(x)=|kx2-2x|，若函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需y1=f(x),y2=h(x)圖象有四個(gè)交點(diǎn).

教師:很好，根據(jù)這種思路，我們就把零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，這里用到了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想.

解法二:對(duì)零點(diǎn)的考查，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)

①當(dāng)k=0時(shí)，h(x)=2|x|，

從圖1中可以看出，當(dāng)x<0時(shí)，無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)x≥0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以當(dāng)k=0時(shí)，g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

圖1

②當(dāng)k<0時(shí)，

由圖2可知當(dāng)x≤0時(shí)，y1=f(x),y2=h(x)有三個(gè)交點(diǎn)，

圖2

圖3

③當(dāng)k>0時(shí)，如圖4，

圖4

當(dāng)x<0時(shí)，y1=-x,y2=kx2-2x，由-x=kx2-2x，得kx=1矛盾；

教師:除了上面的思路，同學(xué)們還有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法呢？

解法三:利用特殊點(diǎn)，將題目進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化

圖5

圖6

③當(dāng)k>0時(shí)，

當(dāng)x>0時(shí)，如圖7，當(dāng)y=kx-2與y=x2相切時(shí)，聯(lián)立方程得x2-kx+2=0，

圖7

評(píng)析:本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，由方法一得出g(x)的解析式，分類討論，由滿足g(x)有四個(gè)零點(diǎn)，求出相應(yīng)參數(shù)的取值范圍，解題過(guò)程中用到零點(diǎn)存在性定理；方法二、三將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，入手較易，但第三種方法等式兩邊同時(shí)除以|x|很巧妙，需要有很高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，后兩種方法利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，使得分類更加直觀.

例3:(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(Ⅰ)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(Ⅱ)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解法一:分類討論，尋求零點(diǎn)

教師:第一問(wèn)我們不再研究，重點(diǎn)看第二問(wèn)，如何用分類整合的思想去解決此題，應(yīng)如何思考？

學(xué)生6:利用導(dǎo)數(shù)研究，若f(x)≥1，只須f(x)min≥1.

教師:如何去求f(x)min？

學(xué)生6:對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，得出f′(x)并判斷其單調(diào)性.

教師:因?yàn)閒(x)=aex-1-lnx+lna,

即f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

教師:至此我們得出了f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，但是怎樣的趨勢(shì)看不出來(lái)，下面需要對(duì)a再進(jìn)行分析.

學(xué)生7:我發(fā)現(xiàn)f′(1)=a-1，故當(dāng)a=1時(shí)，f′(1)=0,

從而當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f′(x)>0，

即f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1，+∞)上為增函數(shù)，

f(x)min=f(1)=1,所以f(x)≥1成立.

教師:很好，有了a=1的情況，我們就有了分類標(biāo)準(zhǔn).

學(xué)生8:當(dāng)a>1時(shí)，當(dāng)x→0時(shí)，f′(x)→-∞;當(dāng)x→+∞時(shí)，f′(x)→+∞，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，?x0>0，使得f′(x0)=0.

教師:利用極限的思想為我們提供了解題的思路，但不嚴(yán)密，我們能否找到兩個(gè)值m,n，使得f′(m)f′(n)<0呢？

教師:很好，到此我們找到一個(gè)零點(diǎn)x0，滿足f′(x)=0，

因此f(x)min=f(x0)

=aex0-1-lnx0+lna

=2lna+1>1，

f(x)>1,所以f(x)≥1恒成立.

教師:當(dāng)0

學(xué)生10:當(dāng)0

所以f(1)<1,f(x)≥1不是恒成立.

教師:很好，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).

教師:在a>1時(shí)，我們通過(guò)零點(diǎn)存在性定理，得出f(x)在(0,+∞)存在最小值f(x)min=f(x0)，我們現(xiàn)在繼續(xù)觀察題目中的f(x)=aex-1-lnx+lna，通過(guò)放縮法，你能得出什么樣的結(jié)論.

學(xué)生11:因?yàn)閍>1,f(x)=aex-1-lnx+lna中含a的項(xiàng)，可以進(jìn)行放縮，得出f(x)=aex-1-lnx+lna>ex-1-lnx，然后再借助兩個(gè)重要不等式進(jìn)一步放縮，ex-1≥x-1+1=x,lnx≤x-1.

教師:好，下面按此思路，同學(xué)們完成解答過(guò)程，可以看出ex≥x+1及其變形在處理導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)的重要性.

解法二:放縮變形，分類討論

當(dāng)0

所以f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又因?yàn)閒′(1)=0，所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)min=f(1)=1,f(x)≥1成立.

當(dāng)a>1時(shí)，易證ex≥x+1，從而可以得出ex-1≥x,lnx≤x-1，所以f(x)=aex-1-lnx+lna>ex-1-lnx≥[(x-1)+1]+(-x+1)=1.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).

評(píng)析:函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的不等式恒成立問(wèn)題一直是教學(xué)的重點(diǎn)，因?yàn)槠渲屑群袇?shù)又含有變量，能很好地考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.教學(xué)過(guò)程中要讓學(xué)生展示其思維過(guò)程，讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的成就感，在最近發(fā)展區(qū)域內(nèi)，讓學(xué)生通過(guò)深入思考，總結(jié)出解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題分類討論的方法，通過(guò)分類與整合提升學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)知，提升其核心素養(yǎng).