常見最值問題的解題策略探究

趙平

【摘? 要】最值問題是中學數學中的重要內容之一，也是近些年中考數學中的熱點問題。本文對常見的最值問題進行了分類歸納，總結出幾種常見的最值模型，提煉出解題的策略與方法，以期助力數學學習效益的提升，同時培養學生利用模型解決問題的能力及綜合解題能力。

【關鍵詞】最值類型;解題策略;教學實踐

中圖分類號：G633.6? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? 文章編號：0493-2099（2021）17-0143-02

【Abstract】The most value problem is one of the important contents in middle school mathematics， and it is also a hot topic in the middle school entrance examination in recent years. This article classifies and summarizes common most value problems， summarizes several common most value models， and refines problem-solving strategies and methods， in order to help improve the efficiency of mathematics learning， and at the same time cultivate students' ability to use models to solve problems and comprehensively Problem-solving ability.

【Keywords】The most value type; Problem-solving strategy; Teaching practice

最值問題的有效解決，一直是學生學習過程中的重點和難點。如何有效突破，進而提升學生的綜合解題能力，是一線數學教師一直反復思考的問題。筆者認為，有效解決最值問題的有效策略是：識別模型、解法歸類、分解化歸、熟練應用。以下筆者結合查閱的資料和課堂的教學實踐，對常見的最值問題及解題策略進行梳理和歸納。

一、最值問題的常見解題策略

幾何類最值問題的基本解題策略是：將相關數學問題（如果是實際問題，應先抽象為數學問題）轉化為可以利用“兩點之間，線段最短”“垂線段最短”“三角形兩邊和大于第三邊”等幾何定理解決的問題，并加以解決。其中“兩點間線段最短”是解決幾何最值問題中最本質、最核心的依據，因而也是我們進行問題轉化的出發點和落腳點。在解題中應給予十足關注，才能方向明確，游刃有余。代數類最值問題的基本解題策略是：選擇適當的變量，并建立該變量與目標變量之間的函數關系（含對應關系、自變量的取值范圍），并利用函數的圖像、性質（增減性）等相關知識解決問題。其中函數的連續性是前提，增減性是保證，而在本質上是求函數值的范圍，因此體現函數三要素的有機統一。代數類最值問題也常常可以通過配方法將代數式轉化為完全平方式，并利用完全平方式的非負數加以解決;有時也可利用根的判別式建立不等式模型并加以解決。

二、常見最值問題的實例與賞析

（一）代數類最值問題及賞析

【例1】已知反比例函數[y=kx]，其中[k>-2]，且[k≠0]，[1≤x≤2]。若該函數的最大值與最小值的差是1，求[k]的值。

【賞析】本題以反比例為載體求最值問題，是很典型的代數類最值問題，基本思路為通過函數增減性及自變量取值范圍求解，因為在自變量的不同取值范圍內其最值往往是不同的，所以經常需要關注分類討論，這是代數類最值問題解題的基本方法之一。如果在解題過程中能結合函數圖像進行輔助性解題，則能更好地體現函數在求最值中的作用。

【例2】（2017年福建中考改編）已知直線[y=2x+m]與拋物線[y=ax2+ax+b]有一個公共點[M]（1，0），且[a

【賞析】本題是典型的應用函數或方程或配方求最值的代數類最值問題題目，全面體現了代數類最值問題的基本解法。（1）求[MN]范圍，即為求[MN]最值。解題的關鍵是在畫好圖形的基礎上（如圖1），求出[MN]的表達式（用含[a]的代數式表示），并通過配方法或函數的性質加以解決。（2）解題的關鍵是在畫好圖形的基礎上（如圖1），求出[△QMN]的面積[S]的表達式（用含[a]的代數式表示），并通過配方法或函數的性質或根的判別式加以解決。

（二）幾何類最值問題及其賞析

【例3】如圖2，長方形[ABCD]中，[AB=6]，[BC=4]，在長方形的內部以[CD]邊為斜邊任意作[Rt△CDE]，連接[AE]，則線段[AE]長的最小值是______。

【賞析】本題的解題的關鍵在于找到動點運動的路徑（軌跡）（如圖3），再利用“兩點之間，線段最短”即可求出最小值。

【例4】已知拋物線[y=38x2-34x-3]與[x]軸分別交于點[A]，[B]（點[B]在點[A]的右側），與[y]軸交于點[C]，連接[BC]。（1）試做出符合題意的圖形。（2）過點[B]作[BF⊥BC]交拋物線的對稱軸于點[F]，以點[C]為圓心，以[3]為半徑作[⊙C]，點[T]為[⊙C]上的一個動點，求[55TB+TF]的最小值。

【賞析】

（1）依題意畫圖，為結合最值的解決提供載體，這是解決幾何最值問題的起點。（2）本題俗稱“阿氏圓”問題（如圖4），解題的關鍵是利用“三角形相似對應邊成比例”將[55]。[TB]轉化為一條線段，并利用“三角形的兩邊之和大于第三邊” 解決，體現了幾何類最值問題的解題本質，其中拋物線僅為載體而已。

【例5】如圖5，四邊形[ABCD]是菱形，[AB=6]，且[∠ABC=60°]，[M]是菱形內任一點，連接[AM]，[BM]，[CM]，則[AM+BM+CM]的最小值為________。

【賞析】本題俗稱“費馬點”問題，解題的關鍵是通過旋轉[60°]構造等邊三角形，將三條線段（[AM]，[BM]，[CM]）轉化在同一條直線（[AE]）上（如圖6），再利用“兩點之間，線段最短”解決問題，很好地體現了幾何類最值的解題本質。

總之，識別模型、解法歸類、分解化歸、熟練應用，是有效解決最值問題的有效策略，在數學的學習與研究中教師應給予關注和強化，以更有效地提升數學學習效益。

參考文獻：

[1]蘇岳.淺談變式教學在數學教學中的應用[J].考試周刊，2018（10）.

[2]王建芬.借助模型破解中考幾何最值問題[J].中學數學教育，2019（09）.

（責任編輯? 袁? 霜）