課堂教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生充分經(jīng)歷“猜想與驗(yàn)證”的過程

李峰

【摘要】數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)“有利于學(xué)生主動地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動”，“動手實(shí)踐、自主探索、合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”.為了體現(xiàn)新課程理念，我在教學(xué)“圓的周長”這一內(nèi)容時對教材進(jìn)行了一些校本化處理，也對學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、教師的教學(xué)方式進(jìn)行了一些嘗試和探索.本文將對這兩方面做法進(jìn)行介紹.

【關(guān)鍵詞】 推測;經(jīng)歷;猜想;分析;驗(yàn)證

“圓的周長”這一常規(guī)內(nèi)容，我教過很多遍，有關(guān)“圓的周長”的典型課例也看過很多次了.如今，再次執(zhí)教這一內(nèi)容，我對這一內(nèi)容有了進(jìn)一步的認(rèn)識.現(xiàn)將“圓的周長”這一課的教學(xué)片段展示如下.

教學(xué)片段

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

師：這里有一個用橡膠管做成的圓形呼啦圈，怎樣才能知道做這個呼啦圈用了多長的橡膠管呢？

1.測量圓的方法.

（1）圍的方法;

（2）滾動的方法（課件演示）.

師：我們剛才是利用圍的方法或滾動的方法求圓的周長的，如果求一個很大的圓形廣場的周長，你還能用這兩種方法嗎？

2.計算的方法.

師：圓的周長與圓的哪些要素有關(guān)？

二、初步推測，形成猜想

猜測一：圓的周長與圓的哪些要素有關(guān)？是與圓心有關(guān)，與半徑有關(guān)，還是與直徑有關(guān)？

直徑越長，周長越長;直徑越短，周長越短.（教師可結(jié)合手中的4個不同大小的圓和學(xué)生一起探究）

猜測二：圓的周長與直徑有什么關(guān)系？

師：對于一個圓來說，周長和直徑到底存在什么關(guān)系？（教師舉起手中的一個圓）

圓的周長與直徑存在倍數(shù)關(guān)系.

猜測三：圓的周長大約是直徑的幾倍？

師：很明顯，任何一個圓的周長都要大于它的直徑，研究周長與直徑之間的倍數(shù)關(guān)系，應(yīng)該用圓的周長除以直徑，看看周長是直徑的多少倍.那么，請你猜測一下，圓的周長大約是直徑的多少倍？說出你猜測的依據(jù).（小組討論）

三、設(shè)計方案，驗(yàn)證猜想

觀察討論：圓的周長大約是直徑的幾倍？

1.看到圖1所示的這幅圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？

通過觀察發(fā)現(xiàn)，半圓的弧線大于直徑.

得出結(jié)論：圓的周長比直徑的2倍還要多一些.

2.觀察圖2中的圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么？

通過觀察發(fā)現(xiàn)，正方形的周長（直徑的4倍）大于圓的周長.

得出結(jié)論：圓的周長比直徑的4倍還要少一些.

3.仔細(xì)觀察圖3中的圖形，你能得出什么結(jié)論呢？

通過觀察發(fā)現(xiàn)，圓周上的每一條小弧線都大于正六邊形的邊長（半徑）.

得出結(jié)論：圓的周長比直徑的3倍還要多一些.

小結(jié)：一開始，我們認(rèn)為圓的周長在直徑的2倍至4倍之間.后來，我們確定圓的周長比直徑的3倍還要多一些.

這個結(jié)論是否可靠，我們需要進(jìn)一步用數(shù)據(jù)來進(jìn)行驗(yàn)證.

四、分析數(shù)據(jù)，得出結(jié)論

1.學(xué)生計算C÷d，并把結(jié)果填入表1中.（課件展示表1）

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

得出結(jié)論：圓的周長總是直徑的3倍多一些.

2.揭示圓周率的意義.

師：圓的周長總是直徑的3倍多一些，這個倍數(shù)是一個固定的值，叫作圓周率，用字母π表示.（雖然π是一個希臘字母，但它代表的是一個數(shù)）

3.介紹有關(guān)圓周率的歷史.

（介紹過程略）

4.推導(dǎo)圓的周長的公式.

師：我們已經(jīng)明確了圓的周長與直徑的關(guān)系——C÷d=π，

若已知直徑，怎樣求圓的周長呢？

（C=πd）

若已知半徑，怎樣求圓的周長呢？

（C=2πr）

說明：在實(shí)際計算中，若無特別說明，則π取3.14.

師：要求圓的周長，需要知道哪些條件？（直徑或半徑）

教學(xué)反思

“圓的周長”這一內(nèi)容是組織學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的極好素材.我把這節(jié)課的課題確立為“探索與發(fā)現(xiàn)”.探索什么呢？就是探索圓的周長與直徑的關(guān)系.發(fā)現(xiàn)什么呢？就是發(fā)現(xiàn)“圓的周長總是直徑的3倍多一些”的規(guī)律.在實(shí)際教學(xué)中，我為學(xué)生提供了進(jìn)行數(shù)學(xué)活動和交流的機(jī)會，讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、猜測、驗(yàn)證等探究活動，感知圓的周長，理解圓周率的意義，自主推導(dǎo)出圓周長的計算公式.

那么，教學(xué)這一傳統(tǒng)內(nèi)容，怎樣才能體現(xiàn)一些創(chuàng)新性的教法呢？為此，我們做了以下幾方面的嘗試.

（1）在確立重點(diǎn)上有所突破

以往教學(xué)這節(jié)課時，我們一般把教學(xué)重點(diǎn)放在圓周長公式的推導(dǎo)和應(yīng)用上.而今我們把這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確立為探索圓的周長和直徑的關(guān)系，其目的在于突出探索的過程.

（2）在處理教材上有所突破

對于教材，我們做了一些校本化處理.以往在教學(xué)這一內(nèi)容時，這節(jié)課要從圓周長的意義講到圓周率的得出，再講圓周長公式的推導(dǎo)，最后講公式的應(yīng)用.而今，為了給學(xué)生更多的探索時間和空間，讓學(xué)生體會圓周率的推算過程，我們將“利用公式解決問題”放在下一節(jié)課進(jìn)行.

（3）讓學(xué)生親身經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—合理猜測—數(shù)據(jù)驗(yàn)證”的探索過程

讓學(xué)生經(jīng)歷探索與發(fā)現(xiàn)的過程，是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的理念之一.在引導(dǎo)學(xué)生探索圓的周長和直徑的關(guān)系時，我讓學(xué)生進(jìn)行了三次猜測：第一次是讓學(xué)生猜測“圓的周長與圓的哪些要素有關(guān)”，目的是讓學(xué)生初步明確探索什么（探索圓的周長與直徑的關(guān)系）;第二次是讓學(xué)生猜測“圓的周長與直徑存在什么關(guān)系”（如加、減、乘、除，哪一種關(guān)系），進(jìn)一步明確探索的目標(biāo);第三次是讓學(xué)生猜測“圓的周長大約是直徑的幾倍”.我在處理這一環(huán)節(jié)時，為學(xué)生提供了3幅圖：第一幅是一個圓被直徑分成兩部分，學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)上、下半圓的弧分別大于直徑，于是得到第一個結(jié)論——圓的周長比直徑的2倍還要多一些;第二幅是圓外切正方形，學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，圓的周長小于正方形的周長，而正方形的周長恰好等于圓直徑的4倍，于是得到第二個結(jié)論——圓的周長比直徑的4倍還要少一些;第三幅是圓內(nèi)接正六邊形，學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，圓的周長大于內(nèi)接正六邊形的周長，而圓內(nèi)接正六邊形的周長恰好等于直徑的3倍，于是得到第三個結(jié)論——圓的周長比直徑的3倍還要多一些.從第一幅圖的“2倍多”到第二幅圖的“4倍少”，圓的周長除以直徑的結(jié)果是2點(diǎn)幾倍還是3點(diǎn)幾倍，是沒有定論的.但是通過第三幅圖，我們鎖定“圓的周長比直徑的3倍還要多一些”這一結(jié)論，從而確定了圓的周長與直徑的倍數(shù)關(guān)系的區(qū)間，為后來的數(shù)據(jù)計算驗(yàn)證提供了理論依據(jù)，最后得出圓周率的意義.

事實(shí)上，我們從有關(guān)圓周率的研究史料中也能了解到，今天我們研究圓周率的過程與古人的研究過程是相似的.古希臘的阿基米德從圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形兩個方向推導(dǎo)，獲得了圓周率介于22371和227之間的結(jié)論.后來，我國的劉徽和祖沖之利用“割圓術(shù)”對圓周率進(jìn)行更精確的計算.雖然我們沒有像古人那樣精確地探索圓周率問題，但學(xué)生親身經(jīng)歷了類似古人的探索過程，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出與科學(xué)家基本一致的研究結(jié)果.學(xué)生因此獲得了成功體驗(yàn)，增強(qiáng)了熱愛數(shù)學(xué)的情感.

（4）在介紹有關(guān)圓周率的史料方面對學(xué)生進(jìn)行國際理解教育

以往，我們在介紹有關(guān)圓周率的史料時，只介紹劉徽、祖沖之的成就，而忽略了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的成就.因此，我們在對學(xué)生進(jìn)行愛祖國、愛科學(xué)教育的同時，應(yīng)對學(xué)生進(jìn)行國際理解教育.