RMI原理下一道中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題的探析

張香偉 王建平

【摘要】借助RMI原理的思維方式，從放大不等式、變量代換、構(gòu)造單調(diào)函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的角度分析了一道初中競賽試題的解題思路，并將該試題改編為了一道有趣的幾何問題.

【關(guān)鍵詞】RMI原理;不等式;數(shù)形轉(zhuǎn)換

【基金項目】河南省高等教育教學(xué)改革研究重點項目（2017 SJGLX034），河南省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題（2019-JKGHYB-0036）.

如果原問題“化歸”為一個新問題后，新問題與原問題是同構(gòu)（即只是形式不同，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)完全相同）的，這種“化歸”在數(shù)學(xué)上稱為“RMI”原理（Relationship Mapping Inversion，又稱關(guān)系映射反演原理）.RMI原理是由我國學(xué)者徐利治教授于1983年首先提出的，是一種具有普遍適用性的方法論，其本質(zhì)是把待解決或未解決的問題，轉(zhuǎn)化為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題.“曹沖稱象”就是一個典型的案例.在當(dāng)時的技術(shù)條件下直接稱量大象的質(zhì)量是很難辦到的，而曹沖則想到了利用浮力的原理把稱量大象的問題轉(zhuǎn)化為稱量與其等重的石塊的問題.這種解決問題的思路在數(shù)學(xué)中有著極為廣泛的應(yīng)用.下面以一道競賽試題為例做一說明.

一、原題呈現(xiàn)

2010年全國初中數(shù)學(xué)競賽初賽（荊州）試題

的結(jié)論，表明在對不等式的放大過程中放大的程度過大了.而利用反證法、構(gòu)造關(guān)于k的二次方程以及構(gòu)造概率模型也均會遇到無法突破的障礙.

分析一 上述不等式的放大過程無法證明結(jié)論的原因可歸結(jié)為放大程度放得過大，進(jìn)一步來說上述不等式都是對兩個或兩個以上的變量的關(guān)系式的綜合放大，若能將放大過程精細(xì)地控制在對其中單個變量的放大，則有可能將放大過程控制在更加精準(zhǔn)的程度，從而導(dǎo)出正確的結(jié)論.

這里假設(shè)a為最大的數(shù)，俗稱極端原理，如同幾何輔助線的功能一樣，這是一種“有效增設(shè)”，首先它是題目中原先沒有明確指出，而是在解題中新增添的“假設(shè)”;其次，它是有效的，既不改變題意又有助于求解.這種代數(shù)處理，并不缺少幾何解法的優(yōu)雅與精巧，但這種放大的思路多少有些劍走偏鋒，不具有普遍性，如果不是特別了解題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系，很難想到這種處理方式.

司馬光砸缸的故事啟示我們，“救人出水”辦不到時，也可讓“水離開人”.轉(zhuǎn)換一下思路，或許就能柳暗花明.

分析二 上述借助常見不等式的思路之所以無法在紛繁復(fù)雜的解析式中尋覓到解決問題的途徑，既有放大過度的問題，也有變量過多的原因.如果能通過變換適當(dāng)?shù)販p少變量個數(shù)，或許可以簡化問題的復(fù)雜性.

分析三 函數(shù)的單調(diào)性可以解決數(shù)量的大小比較問題，前提是能確定函數(shù)的單調(diào)性.如果能依題設(shè)條件和結(jié)論構(gòu)造一個函數(shù)并能判別其單調(diào)性，或許能另辟蹊徑.

證法一是通過變量代換的方式將多個變量間復(fù)雜的關(guān)系轉(zhuǎn)化為了少數(shù)變量間的簡單關(guān)系，證法二則是將不等式放大問題轉(zhuǎn)換為了函數(shù)的單調(diào)性問題.兩種方法均蘊涵了RMI原理解決問題的思想.

美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說過：如果一個特定的問題能轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么就能在思想上整體地把握問題，且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.

分析四 僅對問題進(jìn)行代數(shù)角度的探索，難免帶有一定的片面性.能否從幾何的角度來解決問題呢？通過對結(jié)論的觀察，容易聯(lián)想到，若把單個字母a，b，c，m，n，l和k轉(zhuǎn)化為線段，把al，bm，cn，k2視為矩形的面積，從而可將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系，最終達(dá)到解決問題的目的.

證法五通過構(gòu)造等邊三角形，揭示了一個隱含的條件∠A=∠B=∠C=60°，這也是一種“有效增設(shè)”，為計算三角形的面積提供了必要的支持.

證法四、五通過數(shù)與形的轉(zhuǎn)換，將一個棘手的問題以直觀簡明的幾何事實呈現(xiàn)出來，只要會計算矩形或三角形的面積，問題即可迎刃而解.這就是RMI原則解決問題的思想，這種思想為問題的解決提供了一種化歸手段，為實現(xiàn)由未知（難、復(fù)雜、整體、一般）向已知（易、簡單、局部、特殊）的轉(zhuǎn)化提供了可能性.證法四、五完美地詮釋了RMI原理的思想方法（如圖4所示）.

華羅庚先生說過：數(shù)無形時少直覺，形無數(shù)時難入微.數(shù)學(xué)上總是用數(shù)的抽象性質(zhì)來說明圖形的形象事實，同時又用圖形的直觀性質(zhì)來說明數(shù)的隱蔽事實.根據(jù)前面證法五的分析，可以將原試題改編為一道幾何試題.

分析 經(jīng)過試驗，如圖6所示，它是由邊長為2的等邊三角形△DOF被△AB′E割裂開，再漂移為“風(fēng)車”的.由

二、結(jié)束語

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅僅是為了傳授數(shù)學(xué)知識，更重要的是進(jìn)行思維能力訓(xùn)練，體會數(shù)學(xué)思想方法的形成過程，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力.在這方面RMI原理充分顯示了它的優(yōu)越性.RMI原理讓我們認(rèn)識到在學(xué)習(xí)的過程中，如果正面思維受阻，那么“順難則逆，正難則反，直難則曲”.順向推導(dǎo)時有阻力就逆向反求，正面證實有困難時就反面否定，直接解決有困難時就間接解決，采取迂回的方法避實擊虛，往往能夠開辟出解決問題的新路徑.

RMI原理在教學(xué)實踐中的運用不僅能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維，能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，而且在培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、分析問題和解決問題的能力等方面，更具有深遠(yuǎn)的意義.RMI原理作為一種思維方式，為問題的解決提供了一種思路，但具體問題仍須具體分析，有時還需與其他方法相結(jié)合，才有可能真正解決問題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]徐利治，鄭毓信.關(guān)系映射反演原則及應(yīng)用[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2008.

[2] 2010年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試（荊州市）https：//wenku.baidu.com/view/2ae9434de518964bcf847c0e.html.