RMI原理下一道中學生數學競賽試題的探析

張香偉 王建平

【摘要】借助RMI原理的思維方式，從放大不等式、變量代換、構造單調函數和數形結合的角度分析了一道初中競賽試題的解題思路，并將該試題改編為了一道有趣的幾何問題.

【關鍵詞】RMI原理;不等式;數形轉換

【基金項目】河南省高等教育教學改革研究重點項目（2017 SJGLX034），河南省教育科學“十三五”規劃課題（2019-JKGHYB-0036）.

如果原問題“化歸”為一個新問題后，新問題與原問題是同構（即只是形式不同，數學結構完全相同）的，這種“化歸”在數學上稱為“RMI”原理（Relationship Mapping Inversion，又稱關系映射反演原理）.RMI原理是由我國學者徐利治教授于1983年首先提出的，是一種具有普遍適用性的方法論，其本質是把待解決或未解決的問題，轉化為一類已經解決或比較容易解決的問題.“曹沖稱象”就是一個典型的案例.在當時的技術條件下直接稱量大象的質量是很難辦到的，而曹沖則想到了利用浮力的原理把稱量大象的問題轉化為稱量與其等重的石塊的問題.這種解決問題的思路在數學中有著極為廣泛的應用.下面以一道競賽試題為例做一說明.

一、原題呈現

2010年全國初中數學競賽初賽（荊州）試題

的結論，表明在對不等式的放大過程中放大的程度過大了.而利用反證法、構造關于k的二次方程以及構造概率模型也均會遇到無法突破的障礙.

分析一 上述不等式的放大過程無法證明結論的原因可歸結為放大程度放得過大，進一步來說上述不等式都是對兩個或兩個以上的變量的關系式的綜合放大，若能將放大過程精細地控制在對其中單個變量的放大，則有可能將放大過程控制在更加精準的程度，從而導出正確的結論.

這里假設a為最大的數，俗稱極端原理，如同幾何輔助線的功能一樣，這是一種“有效增設”，首先它是題目中原先沒有明確指出，而是在解題中新增添的“假設”;其次，它是有效的，既不改變題意又有助于求解.這種代數處理，并不缺少幾何解法的優雅與精巧，但這種放大的思路多少有些劍走偏鋒，不具有普遍性，如果不是特別了解題設和結論之間的關系，很難想到這種處理方式.

司馬光砸缸的故事啟示我們，“救人出水”辦不到時，也可讓“水離開人”.轉換一下思路，或許就能柳暗花明.

分析二 上述借助常見不等式的思路之所以無法在紛繁復雜的解析式中尋覓到解決問題的途徑，既有放大過度的問題，也有變量過多的原因.如果能通過變換適當地減少變量個數，或許可以簡化問題的復雜性.

分析三 函數的單調性可以解決數量的大小比較問題，前提是能確定函數的單調性.如果能依題設條件和結論構造一個函數并能判別其單調性，或許能另辟蹊徑.

證法一是通過變量代換的方式將多個變量間復雜的關系轉化為了少數變量間的簡單關系，證法二則是將不等式放大問題轉換為了函數的單調性問題.兩種方法均蘊涵了RMI原理解決問題的思想.

美國數學家斯蒂恩說過：如果一個特定的問題能轉化為一個圖形，那么就能在思想上整體地把握問題，且能創造性地思索問題的解法.

分析四 僅對問題進行代數角度的探索，難免帶有一定的片面性.能否從幾何的角度來解決問題呢？通過對結論的觀察，容易聯想到，若把單個字母a，b，c，m，n，l和k轉化為線段，把al，bm，cn，k2視為矩形的面積，從而可將代數問題轉化為幾何關系，最終達到解決問題的目的.

證法五通過構造等邊三角形，揭示了一個隱含的條件∠A=∠B=∠C=60°，這也是一種“有效增設”，為計算三角形的面積提供了必要的支持.

證法四、五通過數與形的轉換，將一個棘手的問題以直觀簡明的幾何事實呈現出來，只要會計算矩形或三角形的面積，問題即可迎刃而解.這就是RMI原則解決問題的思想，這種思想為問題的解決提供了一種化歸手段，為實現由未知（難、復雜、整體、一般）向已知（易、簡單、局部、特殊）的轉化提供了可能性.證法四、五完美地詮釋了RMI原理的思想方法（如圖4所示）.

華羅庚先生說過：數無形時少直覺，形無數時難入微.數學上總是用數的抽象性質來說明圖形的形象事實，同時又用圖形的直觀性質來說明數的隱蔽事實.根據前面證法五的分析，可以將原試題改編為一道幾何試題.

分析 經過試驗，如圖6所示，它是由邊長為2的等邊三角形△DOF被△AB′E割裂開，再漂移為“風車”的.由

二、結束語

數學教學的目的不僅僅是為了傳授數學知識，更重要的是進行思維能力訓練，體會數學思想方法的形成過程，養成良好的數學素質，培養分析問題和解決問題的能力.在這方面RMI原理充分顯示了它的優越性.RMI原理讓我們認識到在學習的過程中，如果正面思維受阻，那么“順難則逆，正難則反，直難則曲”.順向推導時有阻力就逆向反求，正面證實有困難時就反面否定，直接解決有困難時就間接解決，采取迂回的方法避實擊虛，往往能夠開辟出解決問題的新路徑.

RMI原理在教學實踐中的運用不僅能夠激發學生的創造性思維和發散性思維，能夠促進數學的學習，而且在培養學生獨立思考、分析問題和解決問題的能力等方面，更具有深遠的意義.RMI原理作為一種思維方式，為問題的解決提供了一種思路，但具體問題仍須具體分析，有時還需與其他方法相結合，才有可能真正解決問題.

【參考文獻】

[1]徐利治，鄭毓信.關系映射反演原則及應用[M].大連：大連理工大學出版社，2008.

[2] 2010年全國中學生數學競賽初賽試（荊州市）https：//wenku.baidu.com/view/2ae9434de518964bcf847c0e.html.