信息技術條件下的高中數學實驗教學

向引

【摘要】本文將數學實驗教學與信息技術有機結合，通過兩個教學課例，說明如何讓學生主動建構知識，并從中獲得數學體驗，提升數學核心素養.

【關鍵詞】 APOS理論;實驗教學;過程性變式

【基金項目】安徽省教育信息技術研究2019年度立項課題——信息技術條件下的高中數學實驗校本課程的開發（AH2019341）.

引 言

從當前我國中學數學實驗開展的總體狀況看，中學階段數學實驗更側重于教師展示知識的發展過程，幫助學生積累感性認識，加深理解，充分利用計算機輔助教學.其實施的主體是教師而不是學生，其教學內容與中學物理、化學實驗相比，一般沒有穩定和相對獨立的內容，因而，數學實驗在理論上的重要性不能保證它在課程實施中，與大學數學實驗課或中學的理化實驗課取得平行的重要地位.中學理化課上，實驗不可缺少，大學的數學實驗課上，學生實驗不能省略，而中學生的數學實驗課，被視為可有可無.

2017版課程標準有如下闡述：“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質.提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學生學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展.注重信息技術與數學課程的深度融合，提高教學的實效性.不斷引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值”.因此，有必要進行中學數學實驗課的研究.

實驗教學的軟、硬件條件：

我校高一學生，每人一臺“智慧課堂”配發的平板電腦，平板電腦內安裝有GeoGebra軟件.

一、APOS理論

杜賓斯基的APOS理論包含四個部分：

（一） “活動（action）”.個體通過一步步的外顯性的指令去變換一個客觀的對象.

（二） 經過多次的重復后，個體內化為“程序（process）”心理操作，有了這個“程序”，個體不需要具體操作，而在大腦中實施這個程序.

（三）將程序作為一個整體處理時，就變成了心理“對象（object）”.在數學概念中，概念具有過程性和對象性.概念經過個體簡約壓縮后，成為“對象”.

（四）與其他概念相聯系，形成“圖式（schema）”.

以上的過程，它反映了學生對概念的思維過程，這與上海青浦教改發起者顧泠沅先生所倡導的數學教學應“有層次的推進”的理念不謀而合.

二、兩個課例

（一）定積分的教學

1.“活動”階段

教師介紹數學史古希臘圓的面積計算.教師用GeoGebra軟件展示課件：圓的內接正多邊形和外切多邊形，邊數從6到96，用多邊形的面積逼近圓的面積，讓學生體會“無限細分，無限求和”的微積分思想.那么如何求y=x2，x∈[0，1]與x軸圍成的面積呢？

2.“程序”階段

學生打開平板電腦GeoGebra軟件.

在變化中探求不變之理.通過命令框，改變函數解析式，定義域不變.例如，可以改為y=-x2，y=x2+1等等.通過以上多個函數的反復操作、思考，學生發現相同和不同之處.相同的是，上和與下和逼近同一個常數;不同的是，這個常數可以是正數，可以是負數，甚至可以是0.面積自然不能為負值.猜測：上和與下和的計算中用到了小區間端點的函數值.

3.“對象”階段

為了讓學生順利地從“程序”階段壓縮到 “對象”階段，老師板書演示y=x2的“上和”計算過程，得出和式.

學生類比、歸納得出相應的“下和”計算，在實驗報告上寫下y=x2的“下和”計算過程.值得注意的是，受數列知識的影響，學生對和式的計算會有困難，但他們可以通過軟件輸入指令迅速得到結果.

4.“圖式”階段

考查定積分的幾何意義.將它和導數的概念做比較，導數是商的極限，定積分是和的極限.

以上過程中，“活動”階段是學生理解概念的必要條件，學生感受了定積分思想的雛形.在“程序”階段，學生有所反思，并思考出共同特征.到了“對象”階段，對其賦予形式化的定義和符號;同時，為了讓學生更加確定演示結果，用筆計算“下和”將程序化的過程符號化，以順利壓縮“程序”至“對象”.

（二）函數y=x+ax單調性的“分界點”

高一學生在學完函數y=x+1x 后，同學對函數的單調性定義和圖像特征有所認識.但是，y=x+ax在0，+∞上的單調性，由于學生對單調性的分界點（極值點）是a感到困惑，如果老師說“由圖像可知”，那么學生會用具體的函數圖像歸納，但圖像只是其代數形式的一種表征，而且學生在畫圖像時如果僅僅用描點法，那么畫出的圖像就顯得較為粗糙，“形少數時難入微”.如果老師回答“用高二的導數知識可求”，學生的探究的進程就會暫時被擱淺，探究的激情也會受挫.因此在學生現有的知識儲備下，如何有意義的建構該極值點為a？

1.“活動”階段

學生求解方程x+1x=4，在GGB軟件運算區，輸入方程，點擊“求近似解”按鈕，即得近似解.在指令區輸入y=x+1x與y=4，即得兩個函數的圖像.類似地，解方程x+1x=2，x+1x=12，得到相應函數圖像.

2.“程序”階段

在活動階段學生通過方程的輸入和相應圖像的建立，經過多次重復，建立起了一套程序，即通過方程的根的個數判斷兩函數圖像交點的個數.

讓學生設計實驗：方程x+1x=t，當t為何值時，方程只有一個根，根為多少？

3.“對象”階段.

（1）當學生能夠將x+1x=t化為x2-tx+1=0時，表明學生可以將以上過程中左右兩邊的變化的函數壓縮為一個對象，即關于x的二次方程.當該方程有且只有一個實根時，此時學生可以從二次方程的判別式求出方程的一個根，得到t的值，進而求出方程的根1，

4.“圖式”階段

（1）學生通過割線來逼近切線的方法，認識到了單調性的“分界點”即為切點橫坐標，此時，y=t為y=x+ax的切線.這種思想可與后續的“導數幾何意義”相聯系.

（2）學生可以研究得出f（x）=g（x）有實數解y=f（x）與y=g（x）圖像有交點.

三、總結

1.對數學實驗與數學核心素養提升的思考

數學核心素養的提高首要任務是激發學生思考.實驗操作的外顯行為和內在的數學性質會激發個體產生猜測，并在操作數學對象及分析可能的動態結果中驗證猜測，進而產生結論，形成思考.然而，學生不容易把握實驗結果與數學性質之間的結構關系而無法形成這種思考模式.因此，在GGB環境下進行實驗的過程中，教師適時給予結構性的提示將有助于學生思考.（例如 “方程的根是成對出現，這和我們所學的什么方程類似？方程在結構上能否化為二次方程”）

2.關于實驗工具

在數學實驗中，我們選用了動態數學教育軟件GeoGebra，學生可以直接在命令框中輸入命令作圖、計算，實現幾何圖形與代數方程的同步變化.另外，GeoGebra還具備符號計算、微積分、統計等功能.在普通高中教科書數學系列中（人民教育出版社，2019版）將GeoGebra作為信息技術處理數學問題的首要工具，通過信息技術，建構數學概念，發現數學結論，同時增強了學生的數學表達能力.