聚焦數學核心素養 設計單元-課時教學
——以高中“一元二次函數、方程和不等式”單元為例

方長林

(上海市復興高級中學 200434)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》實施建議中指出：數學教學要從教學目標、教學情境創設、教學內容把握、教學方法選擇、信息技術運用五個方面提出了培育學生數學核心素養的教學建議.落實建議的關鍵是教師需轉變教學觀念，從一個個知識點或一個個課時的教學中跳出來，整體把握教學內容，居高臨下，實施主題、單元教學.所謂“單元教學”，是教師基于對教學內容的整體設計和結構化思考，從提升學生數學學科核心素養的角度出發，以重要的數學概念或核心知識、數學思想方法、數學學科核心素養或數學核心能力等為主線組織教學.在單元教學設計的基礎上設計課時教學，將教學內容置于整體中去把控，更多地關注教學內容的本質及其蘊含的思想，有利于素養教學的實施.章建躍博士在《〈普通高中教科書·數學(人教A版)〉單元-課時教學設計體例與要求》中說：“在單元教學設計的基礎上再給出課時教學設計，以充分體現數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統性，切實防止碎片化教學，通過有效的‘四基’‘四能’教學，使數學學科核心素養真正落實于數學課堂.”[1]

對于單元-課時教學設計的具體實施過程，章建躍博士給出的樣例包括內容和內容解析、目標和目標解析、教學問題診斷分析、教學支持條件分析和課時教學設計五個主要環節.[1]呂世虎、楊婷、吳振英等在“數學單元教學設計的內涵、特征以及基本操作步驟”中提出：單元教學設計的步驟流程為：確定單元教學內容、分析教學要素、編制單元教學目標、設計單元教學流程以及評價反思與修改.[2]黃華、方耀華等在《高中數學單元教學設計指南》中指出：單元教學設計的流程為：研讀文本(數學課標與數學教材)、構建單元(確定單元類型與確定單元內容與結構)、設計方案(確定單元教學目標與單元教學流程)等環節.[3]從中可以看出，無論哪種模式或流程，單元-課時教學設計的共同特征體現在：(1)整體性：基于整體思維的教學設計方式，縱覽全局，有利于學生從宏觀上形成對數學知識的認識，從整體上掌握數學學習內容，從結構上更好地把握數學知識的整體性.(2)層次性與有序性：強調從“單元”到“課時”，先進行單元教學設計，對本單元內容及其蘊含的數學思想和方法、著重培養的數學學科核心素養等做出全面分析，再將本單元內容按知識的發生發展過程、學生的認知過程分解到課時.(3)系統性：同一單元的數學教學內容相對完整，能構成一個相對獨立的知識系統和邏輯關系.系統性保證了結構化的教學設計和教學實施，有助于學生的系統思維和數學學習.

對于教師而言，單元-課時教學設計，可使教師從整體與結構上把握數學知識之間的關系、理解數學本質、感受數學思想方法，從而站在高位上認識數學教學活動.但是在具體實施的過程中，教師往往會有一些困惑：對單元教學內容從哪些角度進行分析？單元教學目標的設計是如何從總體知識中進行提煉與概括？學生學習能力如何界定(學情分析)？單元學習活動(情境創設、知識構建、問題探究、合作交流等)如何設計？如何做到將單元教學要素逐步分解、細化到課時教學過程？等等.本文以“一元二次函數、方程和不等式”單元為例，探討一下基于培育數學學科核心素養的單元-課時教學設計.

1 理解數學，分析單元教學內容，是設計單元-課時教學的基礎

單元教學內容分析要以“四基”為基礎，以明確學科核心素養為指向.其主線是揭示單元知識內容的本質、挖掘內容蘊含的數學思想方法、明確知識的上下位關系、說明單元內容在數學體系中的地位和作用，提煉單元學習在提升能力和培育學科核心素養的具體作用.

1.1 單元內容與知識結構圖

本單元包含：等式性質與不等式性質；基本不等式；二次函數與一元二次方程、不等式三節內容，可分7個課時學習.首先通過具體實例理解不等式，認識不等關系與不等式的意義與價值；然后在梳理等式性質的基礎上，通過類比，研究不等式的性質，并利用這些性質研究一類重要的不等式——基本不等式；接著通過從實際情境中抽象一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現實意義，理解一元二次不等式的概念，并像利用一次函數、方程和不等式的關系解決一元一次不等式的問題那樣，利用二次函數、方程和不等式的關系解決一元二次不等式的有關問題.

單元知識結構圖如下：

1.2 單元內容解析

(1)單元內容的本質

不等式是式與式之間的一種關系，是實數的序關系的一般化.實數大小關系的基本事實是解決等式、不等式問題的邏輯基礎.不等式的基本性質(1)、(2)的自反性(a>b?bb，b>c?a>c)是實數序關系的特性，其余性質是刻畫不等式在運算中的不變性與規律性.基本不等式就是不等式運算所產生的非常奇妙的變化，它的本質其實就是“實數的平方為非負數”，這是實數一個非常深刻的、帶有本源性的性質，已成為實數大小關系的一個基本出發點，同時基本不等式也蘊含著豐富的幾何意義，如“圓的半徑不短于半弦”.二次函數、一元二次方程和不等式的內容本質就是利用一般性的函數方法解決不等式的求解問題，也是一種程序思想方法，更能體現數學的本質，并且適用的范圍更廣，同時，函數、方程與不等式之間關系也體現了運動與靜止的辯證關系.

(2)單元知識的上下位關系

初中學生已經學習過一次函數與方程、不等式，還學過二次函數與一元二次方程，知道方程(組)、不等式之間具有的內在聯系，可以用函數的觀點把它們統一起來，這是數學知識的聯系性與整體性的體現.實數大小關系的基本事實是不等式性質的邏輯基礎，類比等式的性質，研究不等式的性質；不等式的基本性質是不等式運算(變形)的理論依據，而基本不等式就是不等式運算的一個結構簡單、關系深刻的變形式；類比初中用一次函數的觀點看一元一次方程、一元一次不等式，得到了以二次函數為紐帶，把一元二次方程、一元二次不等式聯系起來的思想方法，并得到一種利用函數的零點求解一元二次不等式解集的簡捷方法.這一單元的知識作為高中數學的一塊預備知識，為后續學習函數的概念與性質(定義域、值域、單調性等)、冪函數、指數函數和對數函數等內容奠定基礎.

(3)單元蘊含的思想和方法

“類比是偉大的引路人(波利亞語)”.根據學生的認知基礎與特點，類比學習的方法貫穿本單元全過程.從等式的性質類比到不等式的性質；從“三個一次”的關系類比到“三個二次”的關系.同時，等式和不等式的性質蘊含著運算的不變性與規律性；不等式性質的證明滲透了歸納推理、演繹推理、比較法、反證法的思想方法；基本不等式及其證明、應用蘊含了比較法(作差、作商比較法)、綜合法(由因導果)、分析法(執果索因)、幾何證明法(幾何意義)等數學方法；二次函數與一元二次方程、不等式中蘊含了函數與方程、數形結合、等價轉化的數學思想，進一步揭示可以用函數觀念統一方程和不等式的數學思想方法，這也是數學知識的聯系性與整體性的體現.

(4)單元重點提升的數學核心素養(育人價值)

數學知識是載體，數學思想是數學知識通往數學素養目標的“橋梁”，數學核心素養是數學思想方法里的“DNA”，是數學學科育人的價值所在.本單元中，從生活中的一些不等關系提煉出不等式、抽象出不等式的概念，正是用數學的眼光觀察世界、用數學的語言表達世界，發展數學抽象、數學建模核心素養；代數學的根源在于運算，“運算中的不變性、規律性”是發現“代數性質”的“引路人”,[1]這也是不等式基本性質培育數學運算、邏輯推理等核心素養；基本不等式及其證明、應用更是聚焦于數學抽象、邏輯推理、數學運算、數學建模和直觀想象核心素養的培育；“三個二次”中重點提升直觀想象和數學運算的核心素養.因此，本單元的教學是提升學生數學學科核心素養的良好素材.

2 理解學生，設置單元-課時教學目標，是設計單元-課時教學的靈魂

教學目標是教學設計的“核心”.具體的教學過程設計圍繞教學目標展開，教學評價也是以教學目標為依據.[4]單元教學目標的設計是在單元規劃和單元教材教法分析的基礎上，綜合考慮單元內知識與技能的學習要求，知識之間的邏輯順序和關系結構，結合學生的學習基礎、認知規律和心理發展特點，指向培育學生數學學科核心素養的目標設計.它具有整體性原則、順序性原則、適切性原則.[3]同時，要注意單元教學目標和課時教學目標保持內在的一致性，課時目標的積累就成為單元目標的達成.

2.1 學情分析是單元-課時教學目標設計的前提

學情分析，就是要找出學生已有的認知與學習需要之間的差距.一方面要分析學生已有的認知基礎，另一方面就要結合本單元的學習內容，分析學生需要具備的認知基礎與經驗，兩者之間的差距，也就是學生學習本單元內容可能遇到的困難.[4]

2.1.1 學生的認知基礎

學習本單元之前，學生在初中已經學過一次函數與方程、不等式，還學過二次函數與一元二次方程，熟悉等式的基本性質、一次函數和二次函數的圖像與某些性質，會解一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式(組)，會用代數方法，先對二次三項式進行因式分解，把一元二次不等式轉化為一元一次不等式組，通過求解一元一次不等式組，得到一元二次不等式的解集.學生已經具備一定的數學運算基礎和數形結合、等價轉化的數學思想.這些都是學生學習本單元的良好基礎.

2.1.2 學生可能遇到的困難

學生雖然具備本單元學習的一定基礎，但對數學的學習大多還停留在知識的記憶和技能的訓練階段，缺乏對知識結構的整體思考、系統理解和對數學本質的認識.

(2)從等式的性質類比遷移不等式等式性質，可能會出現“負遷移”.如：a=b?ac=bc類比到a>b?ac>bc、a=b,c=d?ac=bd類比到a>b,c>d?ac>bd等都是錯誤的.

(3)學生的邏輯推理能力的不足、數學證明方法的欠缺，因此在不等式基本性質的證明、基本不等式的證明方法與思路上會有障礙；對基本不等式的條件、等號成立的條件、幾何意義理解上存在困難，導致利用基本不等式求最值可能出現的許多錯誤(一正、二定、三相等).

(4)學生數形結合、函數與方程的思想在初中滲透不夠，因此用函數的觀點把方程、不等式統一起來有一些困難，學生很容易帶著初中求解一元二次不等式代數方法的思維定勢來學習求解一元二次不等式的通性通法(函數方法)；學生對“三個二次”之間聯系的豐富內涵理解上不夠深刻，所以利用一元二次不等式解決方程的有關問題會存在困難，如根的分布等.

2.2 單元-課時教學目標

(1)會從一些生活情境、科學情境、數學情境中的不等關系經歷“數學化”(即“去情境化”)的過程，提煉不等式，提升數學抽象、數學建模的核心素養；

(2)掌握不等式的基本性質及其推導證明過程；

(3)通過類比等式性質，猜想和證明不等式基本性質；在合作討論中，尋求規律，探究新知；經歷自主探索的過程，在比較中研究不等式性質證明的多種方法(比較法、分析法、綜合法等).

(4)在探究不等式性質的教學活動中，形成和發展邏輯推理、數學運算的核心素養；在品味數學美的過程中，提升學科學習的興趣和動力.

(5)能在具體的情境中(生活的、物理的、幾何的、代數的等)，通過抽象概括及邏輯推理獲得基本不等式；

(6)通過基本不等式的證明過程，掌握不等式證明的多種證法(比較法、綜合法、分析法等)；理解基本不等式的幾何意義，體會數形結合的數學思想方法；會用基本不等式證明一些簡單的不等式；

(7)掌握基本不等式成立的條件和等號成立的條件，會運用基本不等式求某些函數的最值，能用基本不等式解決一些簡單的實際問題，體會數學的應用價值；

(8)通過基本不等式的學習，激發學生的參與意識，培養探究學習的習慣，感悟邏輯推理、數學抽象、數學建模、數學運算、直觀想象核心素養；

(9)通過類比“三個一次”，溝通“三個二次”之間內在的聯系，感悟運用函數的觀點統一方程和不等式的數學思想方法；

(10)掌握借助一元二次函數圖像的直觀，利用一元二次方程的零點，求解一元二次不等式的通性通法(函數法)，滲透數形結合、函數與方程的數學思想，提升直觀想象和數學運算素養.

2.3 單元教學目標分解

具體的教學過程是以課時為單位進行設計的，所以需要將單元教學目標分解到課時教學目標.本單元建議劃分為7個課時，等式的性質與不等式的性質(2課時)、基本不等式(2課時)、二次函數與一元二次方程、不等式(2課時)、單元小結(1課時).如2.2中的(1)、(2)、(3)、(4)對應的是第一節2課時的目標；(5)、(6)、(7)、(8)對應的是第二節2課時的目標；(9)、(10)對應的是第三節2課時的目標.

3 理解教學，預設單元-課時教學過程，是實施單元-課時教學的關鍵

從單元到課時、從整體到局部，有邏輯有順序有步驟地設計課時教學過程，充分體現了單元教學設計的整體性和有序性，是單元教學目標實現的重要保障.[4]教學過程的設計要突出兩條線索：一條明線是，以“問題串”方式呈現教學過程；一條暗線是，數學概念和思想方法的發生發展過程與學生數學思維過程兩方面的融合所構建的內在邏輯線索.

課時教學設計： 課題內容 等式性質與不等式性質(第2課時)

3.1 課時教學目標

(1)通過兩實數大小的基本約定，類比等式性質，猜想和證明不等式性質.

(2)經歷不等式性質的探究過程，了解不等式性質證明的多種方法，形成和發展邏輯推理的數學核心素養.

(3)理解并掌握不等式基本性質，弄清不等式性質之間的邏輯推理關系.

(4)體會不等式性質的應用，積累研究數學問題的經驗和方法，鍛煉運用數學語言表達和交流能力.

3.2 教學重點和難點

(1)教學重點：梳理等式性質蘊含的數學思想方法，探究不等式基本性質.

(2)教學難點：不等式基本性質的內在關聯、結構和應用.

3.3 教學過程設計

(1)開宗明義，闡述學法

導入語：相等關系與不等關系是現實世界中兩種重要的數量關系，常用“等式”與“不等式”表示.解方程要用等式性質，那么解不等式也要用不等式性質.究竟不等式有哪些性質呢？怎樣探究究不等式性質？等式和不等式的共同點：都是刻畫大小關系.等式運算的規律性與不變性正是不等式性質研究的“引路人”(類比法).我們可以通過梳理等式的性質，挖掘等式性質中蘊含的思想方法，獲得啟示，從而探究不等式性質(引題).

設計意圖本環節以單元教學理念為指導，著眼于學生的最近發展區，喚醒學生與所研究內容相關的認知基礎，明確學習內容與研究方法，為后續環節學生的自主學習鋪墊基礎.

(2)問題引領，類比探究

問題1：請同學們回憶并梳理出等式有哪些性質？

活動：學生獨立思考、回答、合作交流、相互補充，小結梳理.

性質1: 如果a=b，那么b=a；

性質2: 如果a=b,b=c，那么a=c；

性質3: 如果a=b，那么a±c=b±c；

性質4: 如果a=b，那么ac=bc；

問題2：請同學們觀察這些性質的共性，你能歸納一下發現等式性質蘊含的思想方法嗎？

活動：學生獨立觀察、思考、回答；教師啟發、引導.

結論：性質1、2反映了相等關系自身的特性，對稱性與傳遞性；性質3、4、5是從運算的角度提出的，反映了等式在運算中保持的不變性，可加性、可減性、可乘性與可除性.運算中的不變性就是性質.

設計意圖通過問題串，引領學生思考，梳理等式性質，探究并發現等式性質蘊含的思想方法，提高學生從思想方法角度認識問題的意識，為不等式性質的探究奠基.

問題3：同學們能類比等式的性質，猜想不等式的性質嗎？

等式基本性質不等式基本性質如果a=b,那么b=a如果a=b,b=c,那么a=c如果a=b,那么a±c=b±c如果a=b,那么ac=bc如果a=b,c≠0,那么ac=bc

問題4：回顧不等式證明的邏輯基礎(實數大小關系的基本事實).

問題5：同學們能證明以上四條不等式基本性質嗎？

活動：合理類比、大膽猜想，自主填表；獨立思考、嚴格論證、交流方法.

設計意圖這一環節的設計，一方面學生經歷了類比(合情推理)的探究過程；另一方面，學生體會數學證明的邏輯性與嚴謹性，感受到“猜想的結論要證明，證明要有依據”，養成言必有據、思維縝密的數學表達習慣.

問題6：請同學們觀察下表中給出等式的性質，類比猜想不等式基本性質.

等式的性質不等式基本性質如果a=b,c=d,那么a+c=b+d如果a=b,c=d,那么ac=bd如果a=b,那么an=bn(n∈N,n≥2)

問題7：請同學們判斷類比猜想出不等式性質的命題真假與否？若為真命題，請給出證明；若為假命題.請舉出反例，并在原有條件的基礎上增加適當的條件，使其成為真命題，并給出證明.

活動：小組討論、合作交流；師生共同評價、完善、形成結論.

設計意圖讓學生經歷“猜想—證明—修正猜想—再證明—得出性質—理解”研究數學問題的方法，加深對類比學習的理解；進一步認識到“運算中的不變性、規律性”在研究不等式性質中“引路人”的作用；在不等式性質的證明過程中，提升學生數學運算、邏輯推理核心素養.

(3)小試牛刀，學以致用

活動：引導學生分析例題中不等式的結構特點，尋找證題思路，學生獨立完成例題的證明，交流不同的證明方法，教師進行點評.變式練習安排學生板演與展示.

設計意圖本題是不等式基本性質的簡單應用.強化分析法的證題思路——執果索因和綜合法的表述方式——由因導果，提高學生分析問題、解決問題的能力，提升數學應用的意識.

(4)課堂總結，凝練升華

問題8：這節課學習了不等式哪些基本性質？(知識總結—授之以魚)

對稱性、傳遞性、可加性、可乘性、加法法則、乘法法則、乘方法則.

問題9：不等式性質是如何探究的？性質證明運用了哪些方法？(方法提煉—授之以漁)

類比學習法、歸納—猜想—論證；比較法、分析法、綜合法等.

問題10：你能從不等式基本性質的內在結構特點中發現其蘊含著哪些思想方法？(思想滲透—授之以道)

不等式基本性質(1)、(2)是序關系的特性(自反性、傳遞性)；不等式基本性質(3～7)是不等式在運算中的不變性、規律性.

活動：學生共同交流、評價和質疑，提煉和升華學習成果.

設計意圖從知識、方法、思想三個角度進行課堂小結，納入學生的認知結構，從而發展“四基”、提高“四能”、培育數學核心素養.

(5)復習鞏固，目標檢測

作業設計：

基礎練習題

1.判斷下列命題的真假，并說明理由.

(1)如果ac2>bc2，那么a>b；

(4)如果a

2.已知2

拓廣探索題

設計意圖考查學生對不等式基本性質的簡單應用能力和靈活應用能力，既能夯實基礎，又有拓展提高.

結語基于理解數學、理解學生、理解教學，進行有效的單元-課時教學設計，可以促進課堂教學效率的提升，促進學生數學核心素養的發展.主題、單元教學是新課程改革強調的一個重點，如何聚焦核心素養，更好地設計單元-課時教學，發展“四基”，提高“四能”，培育“三會”，真正實現數學教育的價值，是我們每位數學教師應當認真思考、深入研究、積極嘗試、大膽創新、努力實踐的現實課題.