探討圓錐曲線一個(gè)幾何性質(zhì)

王 寧

(北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 100032)

1 問題的提出

文獻(xiàn)[1,2]等都提到了橢圓的一個(gè)優(yōu)美的幾何性質(zhì)：設(shè)A,B,C,D,E,F為橢圓上六個(gè)點(diǎn)，若AB∥DE且BC∥EF，則AF∥DC(如圖1)．此性質(zhì)是圓錐曲線的Pascal定理[2,3]的一種特殊情形．定理表明：對(duì)于同一條圓錐曲線上的六個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,E,F，如果AB∩DE=M，BC∩EF=N，AF∩DC=P，則M，N，P三點(diǎn)共線．根據(jù)射影幾何的觀點(diǎn)，若AB∥DE且BC∥EF，意味著M，N為兩個(gè)不同的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，因此三點(diǎn)共無窮遠(yuǎn)直線，因此點(diǎn)P也是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以AF∥DC(圖1～4)．推廣到任意圓錐曲線后，下文中簡稱此結(jié)論為“性質(zhì)”．

圖1 橢圓

“性質(zhì)”適合作為高中學(xué)生課外探究活動(dòng)的素材．學(xué)生利用幾何畫板或GeoGebra軟件可以方便地觀察和驗(yàn)證上述結(jié)論，并留下深刻印象．但是，他們?nèi)粝胝f明其中的道理——特別是當(dāng)圓錐曲線為雙曲線時(shí)——是比較困難的．我們的教學(xué)和研究體會(huì)大致是：

(1)從射影幾何的觀點(diǎn)看，通過以無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為投影中心的中心投影(即平行投影)，可以把任意橢圓變成圓[2]．如果我們?cè)趫A中考慮“性質(zhì)”(圖2)，則證明是簡單的.

圖2 圓

注意到平行投影的一個(gè)性質(zhì)是將平行線投影成平行線[2]，既然“性質(zhì)”在圓中成立，它對(duì)于所有的橢圓也必然成立．

用這種方法研究橢圓，是學(xué)生也可以想到的．但是，(i)雖然在射影幾何的觀點(diǎn)下，選擇空間某點(diǎn)作為投影中心，可以把任何一種圓錐曲線變成圓(借助圓錐截面，學(xué)生能夠理解這點(diǎn))，但此變換不能保證把平行線投影成平行線．(ii)如果選擇無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為投影中心(平行投影)，則橢圓只能變成橢圓或圓，雙曲線只能變成雙曲線，拋物線只能變成拋物線，三種圓錐曲線之間不能相互轉(zhuǎn)化[2]．綜合(i)(ii)可知，不能通過空間投影的方法把“性質(zhì)”直接推廣到雙曲線和拋物線．

(2)如果把“性質(zhì)”視為Pascal定理的一種特殊情形，則必須依賴于射影幾何的觀念，特別是“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”、“無窮遠(yuǎn)直線”的概念．這些對(duì)于中學(xué)生而言是超前的概念，即使可以接受，也很難知其所以然．

(3)文獻(xiàn)[3]以“二次曲線系”為工具，給出了Pascal定理(包括各種特殊情況)的不用射影幾何知識(shí)的證明，這使得Pascal定理和“性質(zhì)”可以進(jìn)入部分中學(xué)生的知識(shí)范圍，對(duì)于定理的普及推廣極有意義．與[3]的工作類似，我們也和學(xué)生討論了一種基于曲線系的證明方法．

性質(zhì)設(shè)A,B,C,D,E,F為圓錐曲線(橢圓、雙曲線或拋物線)上的六個(gè)點(diǎn)，若AB∥DE且BC∥EF，則AF∥DC．

證明我們依次記直線AB,BC,CD,DE,EF,FA的方程為fi(x,y)=0(i=1,2,3,4,5,6)，記直線AD的方程為g(x,y)=0，記圓錐曲線的方程為G(x,y)=0．

考慮A,B,C,D四點(diǎn)，存在系數(shù)μ1,λ1使得μ1G=f2g+λ1f1f3=0；考慮A,D,E,F四點(diǎn)，存在系數(shù)μ2,λ2使得μ2G=f5g+λ2f4f6=0．顯然這里μ1μ2λ1λ2≠0．

消去g，得到(μ1f5-μ2f2)G=λ1f1f3f5-λ2f2f4f6(*)．注意此式為恒等式，對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)(x,y)都成立．

假設(shè)AF與CD不平行，交點(diǎn)為P(x0,y0)，顯然點(diǎn)P不在圓錐曲線上．將P(x0,y0)帶入(*)，因?yàn)閒3(x0,y0)=f6(x0,y0)=0，所以右式=0；而左式中，G(x0,y0)≠0，所以μ1f5(x0,y0)-μ2f2(x0,y0)=0．因?yàn)锽C∥EF，所以f5(x0,y0)≠f2(x0,y0)，所以μ1≠μ2，所以μ1f5-μ2f2=0表示一條與BC和EF都平行，并且經(jīng)過P(x0,y0)的直線，記作L．

取L與直線AB的交點(diǎn)Q1(x1,y1)，則(*)左式在Q1(x1,y1)處的值為0，且右式中f1(x1,y1)=0，f2(x1,y1)≠0，f4(x1,y1)≠0，所以f6(x1,y1)=0，所以點(diǎn)Q1也在直線AF上，所以點(diǎn)Q1與點(diǎn)A重合；同理，取L與直線DE的交點(diǎn)Q2，則點(diǎn)Q2也在直線CD上，所以點(diǎn)Q2與點(diǎn)D重合．

現(xiàn)在，直線L與直線AF有公共點(diǎn)P和Q1，與直線CD有公共點(diǎn)P和Q2，所以點(diǎn)P，Q1(即點(diǎn)A)，Q2(即點(diǎn)D)都重合，這就與A，D是兩個(gè)不同的點(diǎn)相矛盾．因此“假設(shè)AF與CD不平行”不能成立．(1)上述證明過程，到(*)為止與[3]的思路相同．之后我們采用了更依賴幾何直觀的反證法，而[3]采用了基于多項(xiàng)式整除性的代數(shù)證法．□

但是，曲線系的方法仍然超出了高中數(shù)學(xué)的知識(shí)范圍．為使這個(gè)優(yōu)美的性質(zhì)能夠成為高中學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的適當(dāng)素材，本文將繼續(xù)研究以下問題：

(1) 用高中數(shù)學(xué)知識(shí)證明“性質(zhì)”(不涉及Pascal定理)；

(2) 基于“性質(zhì)”的高中數(shù)學(xué)命題．

2 用中學(xué)數(shù)學(xué)的方法研究“性質(zhì)”

高中解析幾何，平行是最常見的條件之一．要想證明“性質(zhì)”，不難想到以下直截了當(dāng)?shù)乃悸?讀者可對(duì)照?qǐng)D1、圖3、圖4)：

圖3 雙曲線

圖4 拋物線

設(shè)B(x1,y1),E(x2,y2)，設(shè)kAB=kDE=k1,kBC=kEF=k2．首先計(jì)算A,D,C,E四點(diǎn)的坐標(biāo)(用x1,y1,x2,y2,k1,k2表示)，再驗(yàn)證(yA-yF)(xD-xC)=(xA-xF)(yD-yC)．

這種思路理論上可行，但計(jì)算量過大．針對(duì)不同類型的圓錐曲線，我們分類討論，探索其它證法．

2.1 拋物線

不妨設(shè)拋物線的方程為x=my2，并設(shè)A～F這六個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)依次為(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)．我們有以下非常簡潔的證法．

2.2 雙曲線和橢圓

假設(shè)圓錐曲線的方程為mx2+ny2=1．仍設(shè)A～F這六個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)依次為(xi,yi)．

兩式相減得x1y4-x3y6=y1x4-y3x6，

即x1y4+x6y3=y1x4+y6x3， ⑤

可以驗(yàn)證

(x1y4)2+(x6y3)2-(y1x4)2-(y6x3)2

=(x1y3)2+(x6y4)2-(y1x3)2-(y6x4)2，

將⑤兩邊平方，再減去上式，即得

(x1y3+x6y4)2=(y1x3+y6x4)2. ⑥

在已證得⑤、⑥的基礎(chǔ)上只需再證明

x1y3+x6y4=y1x3+y6x4，⑦

并否定(x1y3+x6y4)=-(y1x3+y6x4)．⑦′

從已證的⑥到目標(biāo)⑦，看似一步之遙，卻是最困難也最有趣的一步．

【先看雙曲線】

用高中知識(shí)不難證明：(1)對(duì)于雙曲線上的任意一點(diǎn)P，平行于OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線與雙曲線一定有兩個(gè)交點(diǎn)，且分別位于雙曲線的兩支上．(2)如果雙曲線有兩條平行弦，那么或者4個(gè)端點(diǎn)都在同一支上，或者有2個(gè)點(diǎn)在一支、另2個(gè)點(diǎn)在另一支上．

以圖3為例，假設(shè)點(diǎn)A，B在同一支(左支)上，點(diǎn)C，D在另一支(右支)上．因?yàn)锳B∥DE，所以點(diǎn)E必在右支上；因?yàn)锽C∥EF，所以點(diǎn)F必在左支上．

對(duì)于F1，因?yàn)樗瑫r(shí)滿足⑤、⑦，因此AF1∥DC，所以點(diǎn)F1在左支上，相應(yīng)地點(diǎn)F2在右支上．已證點(diǎn)F在左支上，所以F=F1，所以AF∥DC．

點(diǎn)A，B，C，D在雙曲線兩支上的其它分布情況，均可類似地驗(yàn)證．□

【再看橢圓】

式①～⑥仍然成立，但為從⑥到⑦，我們需要引入新的工具——參數(shù)方程．

(從這里也可看出⑤式成立.)

同時(shí)，分別將①③、②④兩邊平方后相減，

將⑨和⑩中的第一個(gè)式子聯(lián)立，可以得到α1-α4-α5+α2=2kπ(分類討論，過程略).

將⑨和⑩的第二個(gè)式子聯(lián)立，同理得α3-α6-α5+α2=2k′π，故α1-α4=α3-α6+2λπ.

所以sin(α1-α3)=sin(α4-α6)成立，

進(jìn)而⑦成立，所以AF∥DC．□

2.3 證法小結(jié)和引申

以上我們對(duì)于拋物線、雙曲線、橢圓這三種圓錐曲線，用不超出中學(xué)教材范圍的知識(shí)和方法——其中融會(huì)貫通了代數(shù)、幾何、三角等知識(shí)，以及特定圓錐曲線的一些特殊性質(zhì)——證明了“性質(zhì)”成立．如果不局限于高中知識(shí)，上述證明還可以帶給我們一些額外的收獲：

將式(△)變形為

用二維向量的“向量積”表示，就是

如圖5(1)，我們事實(shí)上已經(jīng)由式(△)得到了一個(gè)推論：

圖5(1)

推論如果在橢圓(或雙曲線)中兩條弦AB∥DE，則S△OAD=S△OEB．

圖5(2)

3 基于“性質(zhì)”的高中數(shù)學(xué)命題

高中數(shù)學(xué)研究圓錐曲線，通常用聯(lián)立方程的辦法處理直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系，用代數(shù)計(jì)算的方法分析論證衍生圖形的幾何性質(zhì)．本文所研究的這個(gè)“性質(zhì)”，條件和結(jié)論簡單清晰，從圖形背景來看，很適合編寫符合北京卷風(fēng)格、研究運(yùn)動(dòng)變化過程中不變因素的證明題[4]．但為遷就高中解題的通性通法，必須讓6個(gè)點(diǎn)的分布滿足一些特殊的條件．

我們?cè)鵀楸拘８呷昙?jí)命題如下：

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)若橢圓上的兩點(diǎn)E、F(不與頂點(diǎn)重合)滿足EF∥AB，點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)G，求證：CF∥AG．

所以 當(dāng)Δ>0時(shí)，

有x1+x2=-2t，x1·x2=2(t2-1).

其中，

=x1x2+(t-1)(x1+x2)-2(t-1)

=2(t2-1)-2t(t-1)-2(t-1)=0.

所以kCF=kAG，所以CF∥AG．□

本題可以再調(diào)整已知和求證，構(gòu)造“姊妹題”．例如：任取橢圓上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)E和G，作CF∥AG交橢圓于F，求證直線EF的斜率為定值；或者已知EF∥AB和CF∥AG，求證點(diǎn)E和點(diǎn)G關(guān)于y軸對(duì)稱等．相應(yīng)地，解題思路和計(jì)算量也會(huì)有所調(diào)整．

4 結(jié)論

本文的主要成果，是僅用高中數(shù)學(xué)的知識(shí)方法證明了圓錐曲線的一個(gè)幾何性質(zhì)，使得高中生也能夠“知其所以然”．在證明過程中，我們不斷發(fā)現(xiàn)新問題，又不斷引進(jìn)新方法，將幾何、代數(shù)、三角等知識(shí)融會(huì)貫通，使得本文的方法適合作為高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的素材；“性質(zhì)”的一些特殊情形也可以作為高中數(shù)學(xué)考試命題的背景素材．有興趣進(jìn)一步研究的學(xué)生，還可繼續(xù)學(xué)習(xí)二次曲線系、射影幾何、Pascal定理等知識(shí)[5]．

我們常說，數(shù)學(xué)教學(xué)要提升學(xué)生的思維水平、培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題的意識(shí)和創(chuàng)新能力．以這個(gè)小問題的解決為例，僅限于高中知識(shí)的證明畢竟是相對(duì)繁瑣的；只有在更廣闊的知識(shí)背景和更高觀點(diǎn)的方法的基礎(chǔ)上，才能深入發(fā)掘其內(nèi)涵，獲得更有價(jià)值的成果．