基于問題驅動的高中數學探究性教學
——以雙曲線拓展教學為例

陸 恬 沈新權

(1.浙江省桐鄉茅盾高級中學 314500；2.浙江省嘉興市第一中學 314050)

1 引言

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質.提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展.”[1]同時國務院辦公廳印發的《關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》一文在創新教學組織管理中提出：“積極探索基于情境、問題導向的互動式、啟發式、探究式、體驗式等課堂教學，注重加強課題研究、項目設計、研究性學習等跨學科綜合性教學，認真開展驗證性實驗和探究性實驗教學”[2].這給我們高中數學教師提供了新的教學思路：“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質.”[1]

2 案例呈現

2.1 問題提出

在學生的學習過程中，隨著知識的不斷深入與完善，不免會遇到學習上的困惑.比如在解析幾何中，我們學習了雙曲線之后，善于思考的學生就會產生困惑，初中階段學的反比例函數也叫雙曲線，那么高中階段的雙曲線與初中階段的雙曲線是不是同一種類型的曲線呢? 還有沒有其它的雙曲線方程形式呢?

對于學生的這種疑問，我們要抓住契機，在課堂上，利用學生的困惑進行探索，最終啟發學生通過解析幾何中的雙曲線的定義來判斷初高中所講的雙曲線是不是同一種類型的曲線.

2.2 探究反比例函數、一次分式型函數與雙曲線的關系

探索：引導學生從雙曲線的定義出發，尋找兩個定點，使得反比例函數圖象上的任意一點到這兩個定點的距離之差的絕對值為定值(且定值小于這兩個定點間的距離).

設M(x,y)是C上的任意一點，我們去尋找兩個定點P(x1,y1)，Q(x2,y2)，使得||MP|-|MQ||為定值.

如何尋找P(x1,y1)，Q(x2,y2)？從哪里開始入手？我們學過的雙曲線的定義和幾何性質能不能給我們提供一些啟發？

學生：對于雙曲線的標準方程來講，這兩個定點是在雙曲線的對稱軸上的.

教師：那么曲線C有沒有對稱軸呢？

學生：有的，曲線C的對稱軸就是直線y=x，這樣我們需要尋找的點的坐標可以簡單的設為P(m,m)，Q(n,n)，而且由雙曲線的幾何性質我們知道這兩個定點是關于原點對稱的，因此，進一步可以把所尋找的定點的坐標設為P(m,m)，Q(-m,-m)，從而||MP|-|MQ||=

教師：為了考查||MP|-|MQ||能否為常數，我們從哪里入手？

到這里，學生先前的疑問得以解決，不少學生的思維可能就到此為止了，但實際上要引導學生進一步探究，這僅僅是開始.接下來，我們繼續創設情境，聯系舊知，引發猜想，進一步提出問題，為學生進行探究學習與活動創造條件.

拓展2 探討坐標軸旋轉公式

學生：就像物理中觀察物體時所用的參照系一樣，它們方程之間的差異在于坐標系的不同.如果適當的改變坐標系，我覺得它們的方程應該可以是一樣的.

教師：對，很好！這樣的思考，跨度就比較大了，它涉及到坐標軸旋轉的概念.坐標軸旋轉對我們來講是新的概念，但這一步不是不可跨越.就像這位學生說的，坐標軸旋轉的本質就是參照系的變化引起點的坐標的變化，從而引起曲線方程的變化.

說明：這個環節，如果沒有教師的引導，學生就很難進行下去，所以，教師可以進一步啟發.

教師：不改變坐標的位置和單位長度，只改變坐標軸方向的坐標系的變換，叫做坐標軸的旋轉，我們首先需要解決的問題是把坐標軸繞著原點O旋轉一定的角度后，直角坐標系中的點是如何變化的？

設點M在原坐標xOy中的坐標為(x,y)，坐標軸逆時針旋轉θ角以后，坐標系變成x′Oy′，設點M在新的坐標系x′Oy′下的坐標為(x′,y′).現在的問題是，我們如何去尋找x′,y′與x,y之間的關系？

此時，教師可以適度啟發：點M到原點的距離不變，坐標軸的旋轉，變化的是角度，因此，我們的切入點在哪里？

通過坐標軸的旋轉我們得到了平面直角坐標系下的旋轉公式，下面我們就利用這個旋轉公式來探討一次分式型函數與雙曲線的關系.

對于反比例函數而言，它的對稱軸所在的直線方程是y=±x，而雙曲線標準方程中，其對稱軸所在的直線方程是x,y軸，如果我們把x,y軸旋轉到與y=±x重合，會發生什么情況呢？

化簡可得x′2-y′2=2k.

教師：由此可見，經過坐標軸旋轉以后反比例函數的解析式與等軸雙曲線的標準方程在形式上是一致的.

2.3 探究對勾函數與雙曲線的關系

我們可以先從如下的問題作為探究起點.

問題：點P到兩定點A(1,2)與B(-1,-2)的距離差的絕對值等于4，求點P的軌跡方程.

2.4 雙曲線的一般方程

拓展5 從上面的探討可知，一次分式型函數與對勾函數都是雙曲線，那么中心在原點的雙曲線的一般方程又是什么

(b2cos2θ-a2sin2θ)x′2+(b2sin2θ-a2cos2θ)y′2+2sinθcosθ(a2+b2)x′y′=a2b2.(*)

由此得到如下結論：

3 教學思考

3.1 反思成為探究的起跑點

探究性學習可以引導學生對所學知識的反思.比如，在學生原先的認知結構中，反比例函數、對勾函數，雙曲線分別在代數和幾何中以獨立的形式存在，通過雙曲線的拓展教學，學生進行反思，能夠發現反比例函數、對勾函數、雙曲線本質上是一樣的，它們原本屬于同一種幾何圖形.這樣的學習，進一步加深了學生對原有知識和知識體系的認識，從而可以進一步啟發學生對數學的研究思路與方法的反思.在雙曲線的拓展教學中，我們經歷了發現相似——舉例實驗——探索驗證——生成結論這一系列的過程，這個過程不僅完善了雙曲線這一知識體系，而且可以啟發學生在進行代數與幾何中的相關問題研究時，我們常常采用的方法是以“形”來發現，以“數”來驗證，以此來推動學生邏輯思維的順利展開，而這也是科學研究的方法之一.

3.2 內化成為素養的發動機

再有，學生在學習過程中，學到的是知識還是智慧，這取決于學生對所學內容的內化程度.學習論認為，我們不僅要學習知識，更要把知識轉化成智慧，而積極的參與交流是知識轉化為智慧的路徑之一.“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，這說明理不辯不明，知識不討論不探索印象就不深.所以學生的探究性活動是在教師的引導下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題和任務，全身心參與的學習活動，它非常注重知識間的關聯性、層次性和整體性，因此更能夠體現學生學習的價值，可以加快學生對所學的數學知識、方法與思想的內化，也更有助于學生分析問題、解決問題能力的提高，從而逐步提升學生的學科核心素養.

3.3 評價成為學習的催化劑

首先，探究式的課堂教學應該是在教師的引導下，以問題串為主線，通過有效的提問驅動學生的思維，學生在探索過程中，或“發現”結論，或探索失敗，這都是正常的現象.在這一過程中，教師要給予及時的點評與反饋，并且不斷地關注學生的思維動態，進行持續性的評價，可以推動學生不斷的進行反思.評價既要關注學生學習的結果，更要重視學生學習的過程.通過評價，提高學生學習興趣，幫助學生認識自我，從而實現學生對整個學習過程的反思.因此，師生在一起探索過程中，教師的評價不僅有利于鼓勵學生探索問題的積極性，而且更能夠促進學生進行深入思考.

4 結束語

探究性的學習活動是學生成就自我的學習，是學生對知識渴求的一種內驅力，體現的是學生的主體性，教師在其中的引領作用不可或缺.在基于問題導向的探究式的數學教學活動中，教師的引導、啟發和評價是為了促進學生的感知、體驗和參與，促進學生的反思和探索，從而促進學生數學理性思維的發展，促進學生學科核心思維的養成，促進學生學會學習.這其實就是數學教學的魅力所在．