幾何代數熔一爐 向量恒等式溝通數與形

彭翕成 張景中,2

(1.華中師范大學 國家數字化學習工程技術研究中心 430079； 2.廣州大學 計算科技研究院, 510006)

解析幾何的建立，使得幾何問題能轉化成代數問題，從而按部就班地操作，也可以認為是架構了一座從幾何通向代數的橋梁.反之，如何基于解析幾何從代數通向幾何？這方面的研究，似乎還比較少見.一座橋梁，當然最好是兩邊互通，而不是單向的.我們研究發現，向量幾何，特別是向量恒等式能很好地溝通數形關系.之前的研究[1-10]已詳細介紹基于點幾何，從幾何題出發生成代數恒等式的案例.本文重點介紹如何從代數通向幾何.

下面先給出一些代數恒等式(含條件恒等式)，單看這些代數式，可能會覺得枯燥乏味，但認識到這些代數式的幾何意義之后，則會改變看法.這樣的多角度審視，會使得數學變得豐富多彩.因為本文重點在于介紹代數與幾何之間的轉化，因此對所給代數式不加證明，請有興趣的讀者自證.

1 一次恒等式

單純從代數式角度來看，此式實在簡單.但若從點幾何的角度來看，短短式子，等價于幾何命題：四邊形中，一組對邊平行且相等的充要條件是另一組對邊平行且相等.四邊形對邊平行且相等的充要條件是四邊形的對角線相互平分.

詳細寫出：A-B=D-C?A-D=B-C

圖1

=(A-B)+(D-C).

圖2

(3)如果AB∥CD，此時四邊形為梯形，AB∥CD∥MN，2MN=AB+DC表示梯形的中位線定理.

(4)如果AB∥CD，且C、D兩點錯位(圖3)，此時四邊形為梯形，AB∥CD∥MN，2MN=AB-DC表示梯形兩對角線的中點的連線平行于底邊且等于兩底差的一半.

圖3

圖4

幾何意義：如圖5，已知M、N為平面內任意四邊形一組對邊AD、BC的中點，A1、A2三等分AB，D1、D2三等分DC.求證：MN被A1D1、A2D2三等分且A1D1、A2D2又被MN平分.

圖5

幾何意義：如圖6，△ABC中，在各邊上作三等分點，這些三等分點與對邊頂點連接后，產生交點X、Y、Z、U、V、W，求證：XU、YV、ZW交于一點.

圖6

幾何意義：如圖7，任意六邊形ABCDEF，AB、CD、EF各邊中點構成的三角形的重心，AF、BC、DE各邊中點構成的三角形的重心，△ABF的重心與△CDE重心的中點，……求證：這些點重合.

圖7

說明：A、B、C、D、E、F六點無需共面.點的個數越多，可組合的形式也越多.讀者可自行嘗試一些組合.

2 二次恒等式

例8設a、b、c、d四數成等比數列，求證：

(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.

這是一道數列題，看似與幾何題風馬牛不相及.根據題目生成恒等式[(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2-(a-d)2]-2(b2-ac)-2(c2-bd)-2(ad-bc)=0.

例9證明：

(a+b+c-d)2+(a+b-c+d)2+

(a-b+c+d)2+(-a+b+c+d)2

=4(a2+b2+c2+d2).

為使得幾何意義更加明顯，改寫恒等式為

a2+ad+d2=b2+bc+c2.

根據題目生成恒等式：

[(a-d)2-(b-c)2]+

[(a+b+c)(b+c+d)-

(c+d+a)(d+a+b)]-3(bc-ad)=0.

幾何意義：四邊形ABCD中，O是任意點，M、N、P、Q分別是△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的重心，若AD=BC，求證：

例11已知b2+c2=a2，求證：

根據題目生成恒等式：

幾何意義：如圖8，G是△ABC的重心，四邊形BCAD、CABE、ABCF是平行四邊形，O是任意點，求證：

圖8

幾何意義：G是△ABC的重心，四邊形BCAD、CABE、ABCF是平行四邊形，O是任意點，求證：9OG2+OD2+OE2+OF2=4(OA2+OB2+OC2).

例13(ay-bx)(cw-dz)+(az-cx)(dy-bw)+(aw-dx)(bz-cy)=0.

取其特例，設x=y=z=1，w=2，即

(A-B)(2C-D)+(B-C)(2A-D)

+(C-A)(2B-D)=0.

幾何意義：如圖9，△ABC中,O為任意點，延長OA至X，使得OX=2OA，延長OB至Y，使得OY=2OB，延長OC至Z，使得OZ=2OC，分別過X、Y、Z向BC、CA、ZK作垂線，則三條垂線交于點D.

圖9

說明：當取其他系數時，幾何意義有所不同.特別地當x=y=z=w=1，(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)+(C-A)(B-D)=0時，此式的幾何意義為垂心定理，而且A、B、C、D四點地位相等，可將D(A、B、C)看成是△ABC(△BCD、△CDA、△DAB)的垂心.從這容易引出垂心組的概念：以三點為三角形的頂點，另一點為該三角形的垂心的四點稱為垂心組.垂心組中的四點,每一點都可為其余三點為頂點的三角形的垂心.

例14(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2+(ay-bx)2+(bz-cy)2+(cx-az)2.

取其特例，設x=y=z=1，即

A2+B2+C2

其幾何意義就是著名的萊布尼茨公式：G為△ABC的重心,P為任意點，則

=3PG2+GA2+GB2+GC2.

能否將a和x都看作是點？以目前我們的研究來說，不行，因為無法解釋a2x2.也就是兩點之間可定義乘法為向量內積，三個點(更多點)之間如何定義乘法，使得幾何意義明顯，還有待進一步研究.因此本文所涉及的僅為一次和二次代數恒等式.

下面也是一個經典代數恒等式，其幾何意義留與讀者練習.

(a2+b2+c2+d2)(x2+y2+z2+t2)

=(ax+by+cz+dt)2+(ay-bx+ct-dz)2+(az-bt-cx+dy)2+(at+bz-cy-dx)2

=(ax+by+cz+dt)2+(ay-bx)2+(az-cx)2+(at-dx)2+(bz-cy)2+(bt-dy)2+(ct-dz)2

我們甚至可以“隨手”寫一些恒等式，然后去解讀幾何意義.

圖10

解讀此恒等式比較簡單，只要選擇原點O在BC中垂線上，設O=0，則上述恒等式的幾何意義：如圖11，四邊形ABCD，E、F、G分別是CD、BA、AD的中點，O是BC中垂線上的點，作平行四邊形FOEN，求證：GN⊥BC.

圖11

例17如圖12，在△ABC中，設BC為最大邊，在BC上取點P、Q，滿足BA=BQ，CA=CP，求證：PQ2=2BP·QC?AB⊥AC.

圖12

證法1設a=BC，b=CA=CP，c=BA=BQ，BP=a-b，PQ=-a+b+c，QC=a-c，根據恒等式(-a+b+c)2-2(a-b)(a-c)=b2+c2-a2，命題得證.

證法2設A=0，則

[(P-Q)2-2(B-P)(Q-C)]-2BC+[C2-(C-P)2]+[B2-(B-Q)2]=0.

例18(A-C)2+(B-D)2-(A-B)2-(C-D)2-2(B-C)(A-D)=0.

幾何意義1：四邊形ABCD中，AD⊥BC，求證：AC2+BD2=AB2+CD2.

幾何意義2：梯形ABCD中，AD∥BC，求證：AC2+BD2=AB2+CD2+2BC·AD.

3 小結

不論數學如何發展，數形之間的關聯與轉化，都是一個非常基本和重要的問題.本文中的大量案例表明，向量恒等式確實在數形之間架構了一座橋梁，數形結合更加緊密，有助于幾何、代數之間的融合.人類研究初等數學幾千年，積累了大量的代數式和幾何題.如果按照本文的方法，基于代數式生成幾何題或基于幾何題生成代數式，幾何和代數攜起手來,兩者都會變得更加豐富多彩.