基于數學文化的高考試題特征分析

王 婷 李 祎

(福建師范大學數學與信息學院 350117)

1 數學文化及其重要性

關于數學文化的內涵，不同人有不同的觀點.比如，顧沛教授認為“數學文化是指數學思想、精神、方法、觀點以及它們的形成和發展”；黃秦安教授認為“數學文化是以數學的思想、精神、方法、內容等所輻射的相關文化領域為有機組成部分的一個具有特定功能的動態系統”;等等.但無論哪種看法，一種普遍的觀點是，數學文化是一種理性思維方式在實踐中的不斷探索所形成的有關數學史、數學精神及數學應用等的統稱.

李大潛院士曾說過：“數學是一種先進的文化，是人類文明的重要基礎.它的產生和發展在人類文明的進程中起著重要的推動作用，占有舉足輕重的地位.”[1]2003年《普通高中數學課程標準(實驗)》中明確將數學文化納入數學課程標準中，提倡體現數學的文化價值[2].在《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》中，關于數學學科的修訂內容中，也增加了數學文化的要求，這是在全國高中生學業水平測試命題指導文件中，首次明確提出“在數學中增加數學文化的內容”.《普通高中數學課程標準(2017版)》(以下簡稱《課標》)更是強調了數學文化的重要性.在教學提示與學業要求中指出，數學文化應融入課程內容，將數學文化滲透在日常教學中，應當重視數學實踐和數學文化，引導學生了解數學的發展歷程，認識數學在科學技術、社會發展中的作用；在學業水平考試與高考命題原則中，同樣建議應融入和加強對數學文化的考查[3].

近年來，數學文化被廣泛關注，逐漸成為高考考查的熱點，足以引起廣大師生的高度重視.為此，筆者對近十年來全國各地高考數學試卷中與數學文化相關的試題進行了統計分析，發現和總結了基于數學文化的高考試題的命題特征，并給出了高考試題命制中對數學文化的考查建議.

2 基于數學文化的高考試題統計分析

筆者以近10年的全國卷、北京卷、上海卷、天津卷、浙江卷、海南卷、山東卷的文理科高考試卷共計158份作為文本分析對象.樣本的選取，是基于以下的考慮，即：北京、上海、天津、浙江、海南堅持高考自主命題且于2020年均已成為新高考試點；山東于2018年加入使用全國高考試卷，于2020年踐行新高考，使用新高考全國卷Ⅰ.

2.1 近10年基于數學文化的高考試題特征統計

以下將從試卷與題號、題型、背景、試題類型、知識點與核心素養等六個角度對這些試題進行分類統計.其中對于“試題類型”，依據不同的文化載體形式，可分為數學名題、數學名著、數學家、數學美等四大類.

表1 近10年基于數學文化的高考試題統計

2.2 近10年基于數學文化的高考試題特征分析

根據以上的統計，并進行深入的系統分析，不難看出近十年高考試題對數學文化的考查，呈現出以下六個方面的特征：

第一，從數量特征角度來看，基于數學文化的高考試題共25道，平均每年2-3道.2011-2013年以數學文化為背景的高考試題較少出現，即使出現也只是以隱性形式來體現數學文化；2014年的高考試題中無涉及數學文化相關背景的試題.從2015年開始，數學文化受到了高考考查的青睞，且對數學文化的考查，均以顯性形式來呈現.所謂數學文化的隱性考查，是指不直接給出數學文化背景，但試題中隱含著與數學文化相關的數學知識和思想方法；所謂數學文化的顯性考查，是指直接給出數學文化背景作為試題的情景或引子，但解答又與數學文化背景基本無關的試題[4].

第二，從試題題型角度來看，大多試題以選擇題的形式進行考查，共有19道；其次是填空題，共有5道；最后是解答題，僅有1道.自1978年恢復高考以來，數學高考考查題型由原來單純的解答題，逐漸發展為以選擇題、填空題和解答題為主的三大題型，題型的發展意味著高考越來越重視對學生的全面考查，題型的多樣性對培養學生的數學核心素養有著積極意義.但從表中數據可以看出，數學文化相關試題絕大多數以選擇題的形式呈現，填空題極少，解答題更是寥寥無幾.

第三，從素材選取角度來看，以數學美為背景的高考試題數量最多，共計有8道；以數學名著為背景的高考試題位居第二，共計有7道；以數學家和數學名題為背景的高考試題，各有5道.不難看出，各類型試題分布相對較為均勻，且中西方的數學文化素材滲透涇渭分明，中國以數學名著、數學美為主，西方則是數學家、數學名題類偏多.其中，數學名著類素材大多摘自《九章算術》，數學美方面的素材多以中國經典建筑或圖案為背景；但以西方數學家、數學名題為素材的試題，沒有呈現出規律性的特點.

第四，從文理差異角度來看，在這些數學文化類試題中，理科試題相比文科試題偏多，理科試題共計有17道，文科試題共計有11道，其中有9道為文理科共用試題 (不含6道新高考試題).從各地高考數學試卷來看，全國卷的高考試題中每年均有涉及數學文化背景的試題，理科試題明顯多于文科試題；自2017年實施不分文理科的新高考以來，滬、浙、京、津、魯、瓊的各地高考試卷中，每年都有新高考試卷涉及數學文化試題，且試卷中的試題位置在逐漸前移，近兩年均處在第4題的位置.

第五，從知識考查角度來看，若將高中數學知識劃分為代數(向量、數列、函數、三角、算法、線性規劃、其他)、幾何(立體幾何、平面幾何)、概率與統計(概率、統計)、微積分(導數、定積分)等四個領域，則不難發現，在這些數學文化類試題中：代數類試題數量最多，共計有13道；幾何類試題次之，共計有7道；概率與統計類試題，合計有5道；微積分類試題中，均未涉及到對數學文化的考查.從具體內容來看，在這些試題中，數列有3道，函數有3道，算法有2道，三角有2道，其他有3道(其中比例2道、方程1道)，平面幾何有2道，立體幾何有5道，概率有5道，向量、線性規劃、統計、導數、定積分等內容的試題均未涉及到對數學文化的考查.

第六，從核心素養角度來看，數學文化相關的高考試題中，大量滲透了對數學運算與邏輯推理這兩大核心素養的考查，其次是直觀想象、數學抽象，而數學建模和數據分析則從未涉及.數學核心素養是數學課程目標的集中反映，是具有數學基本特征的思維品質和關鍵能力的綜合體現，這些核心素養既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體[3].從表中統計結果來看，每道題平均考查2-3個核心素養，以數學文化為載體來考查數學核心素養，可以為如何彰顯數學文化對數學核心素養落地的積極作用提供更多有益的思考.當然，研究數學文化不是因為它是潮流，而是因為它的確關乎學生的終身發展，數學文化“搭臺”核心素養“唱戲”，這正體現了旨在培養學生“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界”的教學目標.

3 基于數學文化的高考試題考查建議

3.1 正確對待數學文化的考查

《課標》指出：數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動[3].但目前人們對數學文化的理解仍存在分歧.比如，部分研究者將數學應用試題全盤納入數學文化的相關試題中，把數學與生活、其他學科等的聯系“強行”理解為數學文化，然而有的學者并不認同這一觀點.這也是對數學文化的一種庸俗化、簡單化的理解，異化了數學文化的內涵，窄化了數學文化的外延，不僅沒有觸及數學文化的精神實質，難以實現對數學文化的真正考查，還會無形之中增加學生的學習負擔[5].

數學知識是數學文化的載體，數學文化影響著學生的思維方式.數學知識是數學的顯性成分，而數學精神、思想方法等則是數學的隱性成分.數學教學中數學文化的融入、數學考試中數學文化的考查成為了教學的重要目標，但首要的任務是確立起正確對待數學文化的態度.數學文化不僅包括了各種具體的知識成分，即問題、方法、語言和理論，還包括相應的觀念成分即數學傳統，包括核心思想、規范性成分、啟發性成分[6].只有對數學文化有正確的認識，才能更好地把握數學文化，接受數學文化對數學精神、思維方式等潛移默化的積極影響.

3.2 合理地對數學文化進行考查

自《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》中首次明確提出“在數學中增加數學文化的內容”以來，數學文化成為了高考的“寵兒”，怎么考、考什么成為了廣大師生關注的焦點.據不完全統計，近10年的31套高考試題中數學文化相關試題僅有25道.一方面，試題數量偏少，且大多以選擇題的形式出現，以填空題形式出現的也較少，解答題更是寥寥無幾(僅2013年全國卷Ⅰ中出現一次)，因此在今后的數學高考中，可考慮適當增加數學文化類試題的數量，豐富數學文化類試題的題型；另一方面，試題背景大多與數學史、數學家、數學名著和數學名題等相關，并以顯性形式呈現試題，試題中大篇幅數學文化素材的出現，無疑增加了學生閱讀和理解數學試題的負擔，因此如何簡化素材背景的選取，將數學文化“隱性化”，真正立足于數學文化的本質對學生的核心素養進行考查，是今后需要探索和研究的重要課題.

同時，從文理分科的角度來看，在人們的習慣認知里，與理科生相比，文科生更擅長人文閱讀，導致了高考在文科命題上有所疏忽，造成了理科試題較文科試題偏多的現象，這顯然是有失偏頗的.因此，在文理不分科的新高考背景下，在高考試卷中適當增加數學文化類試題，不僅具有必要性，而且具有可行性.從數學知識和核心素養考查的角度來看，也可進一步拓寬考查的知識領域和能力目標.此外，無論對數學文化怎么考查，我們必須讓學生牢記的是，數學文化僅僅是一種命題載體，大可不必恐慌和畏懼，只要在平時的學習過程中，積累數學文化知識，加強閱讀訓練，提高理解能力，那么在解題時就可以通過快速的閱讀和理解，從背景材料中迅速獲取有關數學知識的信息，實現從數學文化載體到知識素養的有效轉換，從而使數學問題在“透過現象看本質”中獲得成功解決.

總之，數學文化作為一種重要的文化，對學生的素養形成和品格完善具有重要作用，因此在高考中考查數學文化必要且重要，如何考查、考查什么便成為了值得研究的課題.本文以近10年六省市高考卷及全國卷的數學試題為研究對象，通過從數量特征、試題題型、素材選取、文理分科、知識考查、核心素養等六個方面的統計分析，旨在探索基于數學文化的高考試題命題的特點和規律，為進一步提高和完善高考對數學文化的考查提出合理化的意見和建議.