引導學生在數學建模學習中“長見識、悟道理”的思考

姜 文 呂傳漢

(貴州師范大學數學科學學院 550025)

1 問題提出

進入21世紀，隨著《義務教育數學課程標準(實驗)》和《普通高中數學課程標準(實驗)》的相繼發布，“模型思想”和“數學建模”正式進入我國基礎教育.2010年后，我國啟動的新一輪基礎教育數學課程標準修訂從核心素養的角度賦予了模型思想和數學建模新的涵義，模型思想和數學建模再次作為核心內容進入中小學數學課程標準.[1]《義務教育數學課程標準(2011年版)》提出了數感、符號意識、運算能力、……、模型思想等十大數學核心概念，并指出：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.[2]《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出了六大數學核心素養，數學建模是其中之一.[3]由此可見，我國中小學數學課程重視學生模型思想和數學建模素養的培養.

“縱觀世界各國的數學課程改革，通過數學建模來建立數學與外部世界的聯系成為共同關注的焦點”.“數學與外部世界的聯系，是數學發展到今天其在自身的舞臺上最精彩的表演”.今日之數學已突破了傳統的應用范圍向人類幾乎所有的知識領域滲透，而各門學科向著“數學化”發展，也成為當今科技發展的一個重要趨勢.[4]

當今世界各國的競爭，歸根到底是科技的競爭、人才的競爭.而人才的培養，歸根于教育特別是基礎教育. 2018年9月10日，習近平總書記在全國教育大會上指出：培養一代又一代擁護中國共產黨領導和我國社會主義制度、立志為中國特色社會主義奮斗終身的有用人才，要在增長知識見識上下功夫，教育引導學生珍惜學習時光，心無旁騖求知問學，增長見識，豐富學識，沿著求真理、悟道理、明事理的方向前進.

作為中國新時代教育的要求，可以將 “長見識、悟道理”作為課堂教學的重要目標，作為對學生核心素養培育的切入點，借以促進學生核心素養的培育.

2 “長見識、悟道理”是課堂學習的目標

“見識”是知識積累與實踐的產物， “見識”比“知識”重要，涉獵廣泛、視野開闊，是一個人對某件事的洞察能力和對知識面涉獵廣泛的程度.它是人能明智地認識事物和正確地做出判斷的能力，是一個人對事物的看法和態度；見識是智慧的展現，主要是來自于個人的豐富經驗以及知識的淬煉.

“道理”是指事情或論點的是非得失的根據、理由、情理.(1)中國社會科學院語言研究所詞典編輯室編.現代漢語詞典(第6版)[M].北京：商務印書館，2012： 269.道理需要去“悟”，“悟”的意思是理解、明白、感悟、覺醒；“悟”就是指體會到了某件事的意義.悟道理，就是認識和把握事物的客觀規律.

學習不僅僅是學習知識，更多地是領悟和感受見識. 學習上悟道理，就是領悟、理解了某篇文章、故事、情境、原理、定理或結構中所包含的哲理.因此，將“長見識、悟道理”作為課堂學習目標培育學生核心素養是恰當的.

3 在數學建模學習中“長見識、悟道理”

已有研究[5]～[14]顯示，我國學生數學建模的能力和水平并不理想，數學建模課程的實施也并不如意.一方面，數學建模能力是數學綜合能力的體現， 它需要學生有識別問題、提煉數學信息、構建數學問題、解決數學問題以及分析與檢驗解答過程等能力，是一個綜合運用數學知識和思想方法解決問題的過程.因此數學建模的學習是一個較長期的累積性學習過程.[9]另一方面，數學建模課程設計存在一些缺陷[5][8]，師資的配置也跟不上.總體來說，導致我國學生數學建模水平不高的因素是多方面的.好在新修訂的《義務教育數學課程標準(2011年版)》和《普通高中數學課程標準(2017年版)》均突出了“數學建模”的重要性，相信今后這種局面將會得到大大改善.

在數學的教學中，讓學生了解數學模型、特別是了解數學模型的形成過程是非常重要的.[15]就數學建模的課程和教學來說，如何讓學生在學習中有所收獲、受到啟迪？我們認為，從“長見識、悟道理”的角度出發引導學生思考將是一條有效的途徑.下面舉例加以說明.

3.1 案例分析

案例[9]：(削菠蘿)四月剛好是菠蘿收獲的季節， 為使我們能品嘗到新鮮的菠蘿，水果店都有專人幫助我們削菠蘿皮，這是一個藝術性的刨削過程，削完后，菠蘿上留下的是一條條螺線.請你從數學角度來思考，人們為什么這樣削菠蘿?

圖1

對于這樣一個實際問題，第一步要理解情境，厘清關系，弄清問題.情境中要求學生“從數學的角度思考為什么要這樣削菠蘿”，需要從兩方面考慮，一方面是從水果店的角度來看，他們總是希望削的時間越短越好；另一方面，從消費者的角度來看，通常來講，消費者往往希望削完菠蘿之后剩下的菠蘿肉越多越好.

第二步，考慮了這兩方面的因素之后，提什么樣的問題才是合理的呢？也即是說在削菠蘿的時候怎樣才能做到既快速又能剩下盡可能多的菠蘿肉呢？此時，需要將“剩下盡可能多的菠蘿肉”這一說法做一個等價的轉述，即削菠蘿的時候，盡可能少地削除可食用的菠蘿肉就可以了.從數學的角度來看，就是要使削菠蘿的刀在菠蘿上走的路程盡可能短才行.

第三步，明確問題之后，需考慮建立與之相關的數學模型.一個普遍而比較合理的認識就是，可以把菠蘿近似地看成為圓柱體，菠蘿表面上的菠蘿籽按行或列來排列，每一行或列上有相同數量的菠蘿籽，這些菠蘿籽交錯排列著，它們可以用螺旋線連接起來，如圖2所示.

圖2

進一步觀察， 菠蘿上被削出的螺線有這樣的結構，即上一行的菠蘿籽與下一行的相鄰的菠蘿籽可以連接起來成為一條“斜線”. 按照立體圖形的平面展開圖，可將圓柱體展開成平面矩形，這些螺旋線即變為直線，如果把菠蘿籽看成點，那么這些直線上就規律地排列著“點” ，與橫向直線和縱向直線比較，這些“斜線”以最短的距離將所有點連接起來，如圖3所示. 接下來就要從數學的角度來論證這個推測.

圖3

第五步，根據實際檢驗結果.一方面，按螺線的方法削菠蘿是最有效的，而且也是最快的；另外一方面，按照這種方法削菠蘿可以多保留近30%的菠蘿肉. 因而該方法兼顧了商家和消費者的需求，削菠蘿的時候不僅節省時間，而且讓購買者獲得盡可能多的菠蘿肉，是最佳方法.

3.2 討論

上述問題學生經歷了從實際問題中提出問題、建立模型、求解檢驗等過程，每經歷一個環節都是一次質的飛躍.那么，從“實際情境”到“提出問題”、“建立模型”、“求解模型”以及“檢驗結果”的每一個環節，要讓學生“長什么見識、悟出什么道理”呢？

首先，如何確定研究的問題？學生遇到實際生活中的一個問題，這個問題是常見的，但是很多情況下學生并不在意，也不去深究為什么要這樣削菠蘿，更不會有意識地從數學的角度來探究這個問題.現在問題擺出來了，而且要求學生用數學的眼光來“看”這個現象.無疑，這個過程讓學生感受到數學與生活的關聯，從情感、態度上重新認識數學(即使有的同學根本不知道如何用數學的知識和方法來解決該問題).接下來就應該思考這個實際現象和數學的什么問題聯系起來？怎樣聯系？從哪些方面考慮二者之間的關聯？等等.一個基本的常識就是，作為消費者，總是希望菠蘿削皮之后剩下盡可能多的菠蘿肉，對于商家，總是希望削菠蘿的時間越短越好.于是猜想，有可能這樣削皮剩下的菠蘿肉最多而且速度最快！那么，怎么從數學的角度來說明這個事情呢？如果有幾種削皮的方案的話，那么就應該尋找損失菠蘿肉最少且削的速度最快的一種.也就是說，使削刀盡量短的時間內在菠蘿上走的路程也盡可能短“應該”就可以達到目的了.因此，需要研究的問題就提出來了：用線將菠蘿籽連起來，怎樣連才能使得總長度最小(而且削皮的速度盡可能地快)？在這一過程中，學生長什么知識、悟出什么道理呢？我們認為至少有兩點：一是數學與生活的關聯.數學是有用的，有可能曾經認為數學無用武之地的一些學生會因此而改變自己對數學的態度，開始對數學產生興趣；二是如何從實際情境中提出數學問題.這一環節中，讓學生明白提出數學問題的道理是珍貴的！

其次，建立什么樣的模型來求解問題？要尋求一種將菠蘿籽連起來長度最短的線，需要找到一個具體的模型.通過觀察菠蘿的形狀，可以考慮用圓柱體來近似代替菠蘿，菠蘿籽用圓柱體表面規律排列的一些點代替.在這一過程中，學生明白用數學來研究生活中的問題，不可能像研究數學本身那樣是精確的，近似計算往往是處理問題的一種手段.而近似的追求目標是使得結果盡可能接近真實的問題，因而如何選擇模型進行研究就是關鍵的.

再次，怎樣確定參數和求解參數？當問題、模型都確定了，接下來就是尋找什么參數進行計算了.要確定研究的參數，需結合問題和目標.一個事實是，兩點之間的連線，線段最短.本問題的最終目標是尋找線段連線之和最小，故而參數可以考慮圖形的邊長.在假設的條件下，橫豎相鄰兩個菠蘿籽的距離相等，因此可以設這個距離的長度為x，然后用它來計算斜線的點連線之和，并分別與橫線或者縱線上的點的連線之和作比較，探尋哪種連線之和最短(這與實際中不是豎著削，也不是橫著削，而是斜著削的情況類似).這一過程能讓學生明白，在確定了研究的問題之后，如何抓關鍵——準確確定參數.找準參數是求解結果和應用結果的關鍵一步，參數不合理、不準確，求解過程可能很繁雜，結果與實際情境也可能會相差較大，沒有說服力.當然，遇到這種與實際情況相差較大的，還可以重新修改方案，再次求解，畢竟，數學建模往往不能一次成功，而是一個不斷改進模型求解參數并檢驗結果的循環過程.但是，這不是我們希望遇到的，我們期望的是盡可能少的次數就能完成任務.

最后，如何檢驗和應用結果？當完成了以上各個步驟之后，就是檢驗數學計算的結果與實際情境是否吻合了.這一過程能讓學生明白準確的數學運算結果如何近似地解釋實際問題.因為我們得到的是實際問題的一個近似值，這個值的可信度有多大？能不能接受？是否需要修改？等等，需要從多個角度來考慮.

在整個數學建模過程中，或許只有極少數學生能夠完成全部過程的每個環節和階段，利用數學的知識和方法解決該實際問題，而大部分學生只能完成其中的一個或兩個步驟.盡管如此，即使對于只能完成其中一個步驟的學生，這樣的過程也有助于提高他們數學建模的信心，積淀建模的核心素養.例如，通過觀察，發現相鄰的四個菠蘿籽可以構成正方形的四個頂點，進而將問題轉化為研究圖形的關系.這一過程或許使學生會用數學的眼光看待外部世界，樹立良好的數學情感和態度.

4 結束語

總的來說，數學建模的整個過程，讓學生體會運用數學解決實際問題的方法，長了“用數學的眼光觀察世界、用數學的語言表達世界、用數學思維思考世界”的見識，領悟到“數學與人類生活和社會發展緊密關聯”的道理.

盡管中學數學建模目前的狀況并不理想，絕大部分學生的建模能力都比較低.然而，引導學生在數學建模學習中“長見識、悟道理”應該是我們追求的一種課堂教學價值取向，將“長見識、悟道理”作為課堂學習目標之一來培育學生核心素養.“長見識、悟道理”需要通過學生的主動學習來實現，探索、嘗試、實驗和實施有利于學生主動學習的教學形態，是當前數學教學值得關注的問題.理解和把握與“長見識”“悟道理”相關的教學之道，是數學教學深入改革的方向.