基于數學抽象的概念形成：模型與案例①

劉春艷 馮啟磊

(北京教育學院數學系 100044)

1 問題提出

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《課標》)提出，數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現．其中數學抽象位于六大學科核心素養之首，是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎．從數學內容來看，數學源于對現實世界的抽象，概念是數學的核心內容，因此，獲得數學概念是數學抽象的主要表現之一，數學概念的形成也是發展學生數學抽象的重要載體．在實際教學中，如何從情境中抽象出數學概念，既是重點也是難點．為此，很多學者開展了大量研究．

關于概念學習，杜賓斯基(Ed Dubinsky)等人提出APOS理論，強調學習者在學習數學概念時要經歷4個心理建構階段，即操作(Action)、過程(Process)、對象(Object)、圖式(Scheme)．奧蘇貝爾(D.P. Ausubel)提出與概念形成的最高發展形式有關的心理過程，大致有八個環節．結合此結論，曹才翰與章建躍兩位學者提出了概念形成的過程模式(如圖1)．

圖1 概念形成的一般過程(曹才翰，章建躍，2006)

為了更精確地刻畫數學領域中抽象性的含義，徐利治教授給出了弱抽象、強抽象和廣義抽象的概念，并指出弱抽象的過程依據“特征分離概括化原則”，強抽象的過程依據“關系定性特征化原則”[1]．對于具體數學概念的抽象過程，史寧中教授根據抽象程度的不同，分為三個階段，或者說三個層次：一是簡約階段，把握事物關于數量或圖形的本質，把繁雜問題簡單化，給予清晰表達；二是符號階段，去掉具體內容，利用符號和關系術語，表述已簡約化的事物；三是普適階段，通過假設和推理，建立法則或者模型，能在一般意義上描述一類事物的特征或規律．[2]李昌官老師按照學生學習時認知的先后順序，把數學抽象分為感知與識別、分類與概括、想象與建構、定義與表征、系統化與結構化5個階段．

上述相關理論和結論，對于一般意義上的數學概念的抽象過程具有指導意義．徐利治教授對每類抽象給出了工作原則，史寧中教授提出的三個階段,指明了數學概念抽象過程的基本框架，在具體操作時都需要細化；曹才翰和章建躍等學者給出的認知過程具有一種等級結構或順序結構．但是在學習具體概念時，由于數學概念的復雜性和不同階段學生的差異等原因，學生認知過程是否一定遵循線性順序？教學中如何更加清晰地引導學生經歷數學抽象的過程，建構數學概念呢？以上問題都需要進一步探討．

2 基于數學抽象的概念形成模型

在概念教學中，數學概念是研究對象，教學流程與認知過程緊密相連．首先，要對數學研究對象的特點進行分析．一般地，數學概念來源于兩方面：一是對客觀世界中的數量關系和空間形式的直接抽象；二是在已有數學理論上的邏輯建構[3]．相應地，數學概念分為兩類：一類是對現實對象或關系的直接抽象而成的概念，如三角形的概念，定義包含了組成要素(三條線段)和要素之間的位置關系(首尾順次相接)；另一類是純數學抽象得到的，是抽象邏輯思維的產物，如三角形的中線概念，是在“三角形”基礎上生成的，具有主從關系．三角形的中線定義中的邏輯關系是通過臨近的屬概念(三角形)加上種差(連接頂點與對邊中點的線段)來體現的．因此，數學概念是由要素和要素之間的邏輯關系構成的，概念形成過程“實質上是抽象出某一類對象或事物的共同本質特征的過程”[4]，也就是抽象出概念包含的要素，以及要素之間邏輯關系的過程．

其次，基于認知心理學關于概念學習的相關理論，在大量課堂觀察與訪談分析的基礎上，我們發現學生的認知過程非常復雜．在實際教學中，教師需要根據學生的具體表現，或重復已有的過程，或轉換表達方式，或補充新的實例等等，概念的建構過程并非一定遵循線性關系．基于以上分析，我們建構了基于數學抽象的概念形成模型，如圖2．

圖2 基于數學抽象的概念形成模型

2.1 簡約階段

簡約階段的操作過程，就是對于情境中的原型進行識別，把某個或某類數學特性分離出來，也就是教學中的概念引入．通過具體的、直觀的、典型的、豐富的案例，結合長時記憶中的相關信息，在情境中辨認出數學特性，舍棄非數學的特征和屬性，形成進一步研究的“范本”，這是概念形成的基礎．如關于多面體和旋轉體的概念，教材中提供了紙杯、紙箱、腰鼓、金字塔、茶葉盒、籃球、鉛錘等大量生活中物體的圖片，請學生描述它們的形狀，這些情境可以和后續概念(如棱柱、棱錐、線面的平行與垂直等)的理解與應用相呼應，為概念的系統化做一些鋪墊．

2.2 符號階段

符號階段是對簡約階段識別出的要素，通過分析與建構、歸納與概括、定義與表征的認知過程，得到概念的定義和名稱等，也就是教學中的概念形成．

(1)分析與建構

分析是將材料分解成它的組成部分，并確定各部分之間的相互關系，以及各部分與總體結構之間的關系[5]．建構是通過數學內在邏輯建立起系統的、內在一致的關系，使其構成一個整體．對于每個情境中識別出的要素，通過觀察、比較等進行區分，選擇與概念相關的、重要的、關鍵的要素，進一步明確需要研究的問題，也就是從哪些角度建立要素之間的邏輯關系．

對于代數的相關概念主要是從數量關系進行分析，如等差數列的概念，通過代數運算進行分析；對于幾何的相關概念主要從圖形關系進行分析，如棱柱的概念，通過觀察每個面的形狀和兩個面之間的位置關系進行分析；對于函數的相關概念主要從對應關系進行分析，如函數的單調性，分析兩個變量間的大小關系，通過對應關系得到的兩個函數值之間大小關系是否具有規律性．

(2)歸納和概括

先對不同情境中分析得到的要素及其之間的關系進行比較，得到共同特征，這也是知覺表象階段的感性歸納和概括．再把共同特征推廣到范圍更廣的包含研究對象的同類事物中，實現從個別到一般的過程．揭示事物本質特征與聯系的過程，是在頭腦中進行的思維水平的概括．比如等差數列的概念，在對每個情境中的數列分別進行運算的基礎上，進行歸納和概括發現取值規律，再一般化得到“每一項與前一項的差都等于同一個常數”．分析和構建、歸納和概括是符號化表達的重要基礎．

(3)定義和表征

定義有兩種，一種是描述性定義，一種是說明性定義．比如集合的概念就是無法說明的基礎性概念，只能描述性定義；有理數的概念鑒于初中學生的理解水平，只能采用描述性定義；而函數的概念是說明性定義，揭示兩個變量之間的對應關系．對于描述性定義主要以文字語言的形式進行表達．對于說明性定義需要揭示事物本質的邏輯關系，需要用嚴謹的數學語言表示概念的要素、要素之間的相互聯系相互制約的關系，如高中學習函數的概念時用“集合—對應”的語言進行表達．

在概念的形成過程中，上述認知過程之間不是嚴格的線性順序結構，常常是相互交疊和多次反復．比如，在定義的表征過程中，常常需要回到情境中，結合具體情境解釋抽象的定義，幫助學生建立抽象的數學符號與概念本質內容之間的聯系．另外，不同概念的認知過程各有側重，比如對于描述性定義，更關注對情境中識別的要素進行歸納與概括．

2.3 普適階段

給概念下定義之后，進入概念的精致化與系統化階段．通過對正例和反例的辨析、解釋，以及運用概念解決問題，實質上是在一個更大范圍內對概念進行檢驗和修正，進一步促進學生對概念本質屬性的理解，建立此概念與已經熟悉的相關概念之間的聯系，逐步將新概念納入已有的認知結構中，形成新的結構體系．這個過程在后續的學習中持續進行，如通過判斷兩個函數是否相同等問題，提升對函數概念的理解，通過具體函數、從函數觀點認識方程和不等式、函數應用等內容，理解函數是現代數學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具，體會函數是貫穿高中數學課程的主線．

3 基于數學抽象的概念形成模型的教學案例——高中“函數概念”

函數概念強調了三個方面：函數是實數集合A與B間的對應關系；對于實數集合A中的元素是處處定義的(即任意性)；對于實數集合B中的元素是單值定義的(即唯一性)．這三個方面就構成了函數的本質屬性．常見的函數三種表示方法只是對應關系的表現形式，形式不是函數的本質，符號也不是函數的本質，比如同一個函數既可以用f(x)表示，也可以用g(t)表示．根據函數的本質屬性，聚焦函數概念的三要素，教學的主要過程如下：

3.1 概念的引入

設計意圖復習回顧初中函數的概念，同時體會到進一步研究函數概念的必要性．初中是從運動變化的角度，用兩個變量之間的依賴關系來描述函數的．對于“y=1是函數嗎？”，有的學生認為解析式中沒有自變量，所以y=1不是函數；有的學生認為y是常數，不是變量，所以y=1不是函數．對于判斷兩個函數是否相同，學生沒有任何經驗，初中學習的是三類具體函數，很多學生對此無從下手．通過這些問題引發學生的認知沖突，引入研究對象．

3.2 概念的形成

情境1： 某高速列車加速到300km/h后保持勻速運行半小時．[6]

問題1.1： 這段時間內，列車行進的路程與運行時間之間是函數關系嗎？為什么？

問題1.2： 這段時間內，設列車行進的路程為S(單位：km)，運行時間為t(單位：h)，S與t之間的關系如何表示？

問題1.3： 列車勻速運行1小時前進了多少km？為什么？

問題1.4： 列車運行時間t的取值范圍如何表示？S的取值范圍呢？S與t之間是如何對應的？

情境2： 某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天300元，而且每周付一次工資．[6]

問題2.1： 一個工人的工資是他工作天數的函數關系嗎？為什么？

問題2.2： 設某工人的工作天數為d，工資為w元，w與d之間的關系如何表示？

問題2.3： 工作天數d的取值范圍如何表示？w的取值范圍呢？w與d之間是如何對應的？

情境3： 右圖是北京市2016年11月23日的空氣質量指數(Air Quality Index，簡稱AQI)變化圖．[6]

問題3.1： 北京市2016年11月23日的空氣質量指數與這一天內任意時刻t之間是函數關系？為什么？

問題3.2： 如何確定這一天內任意時刻的空氣質量指數？

問題3.3： 請仿照前面的方法，描述I與t之間的對應關系.

表1 我國某省城鎮居民恩格爾系數變化情況

問題4.1：恩格爾系數r是年份y的函數嗎？為什么？

問題4.2：如何知道該城鎮居民某一年的恩格爾系數？

問題4.3：請仿照前面的方法，描述r與y之間的對應關系.

問題5：根據上述分析，進行歸納概括．

問題5.1：拋開實際背景，上述四個實例中的函數都有哪些共同特征？

問題5.2：這些共同特征是否適用一般函數？

問題5.3：由此能否概括出函數概念的本質特征？

問題5.4嘗試利用“集合—對應”的語言給函數下個定義.

預設：學生下定義出現困難時，(1)先用口頭語言描述函數的三要素，再進行符號化表達；(2)回顧已學習的數學概念，體會定義的一般結構．如初中函數概念，先描述大背景條件(一個變化過程中)，指明兩個要素(兩個變量x和y)，然后說明兩個要素之間的對應關系(對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應)，最后給出定義名稱(稱y是x的函數)．

設計意圖這個過程是數學抽象的符號階段，學生經歷了分類與識別、分析與建構、歸納與概括的過程，具體結構如下：

(1)體現數學抽象的基本過程．

在對具體情境中的變量及其對應關系分析的基礎上，拋開背景情境，聚焦變量與變量之間的關系，歸納概括共性，推廣至一般，并用“集合—對應”的語言表達得到函數的定義，實現從理性具體到理性一般的抽象過程．

(2)情境凸顯概念的本質特征．

根據函數的本質特征以及學生已有的認知基礎，設計四個情境，具體如下：

情境對應關系說明情境1現實情境(行程問題)解析式情境2現實情境(工資問題)解析式兩個情境中函數的對應關系相同,情境1中的函數是連續型函數,情境2中的函數是離散型函數情境3科學情境(空氣質量指數)圖象函數是連續型函數情境4科學情境(恩格爾系數)表格函數是離散型函數

(3)系列問題聚焦函數三要素．

問題是學生思維的“路標”，應緊密圍繞概念的要素及要素之間的邏輯關系展開．函數的三要素是函數概念的核心，通過系列問題幫助學生逐步厘清函數三要素，并用數學符號語言表達．四組問題整體結構“相似“，具體表述略有差異，如問題3.3和問題4.3是仿照前面的方法，描述兩個變量之間的對應關系，相對于問題1.4和問題2.3更開放．

(4)下定義的過程注重概念定義結構的一般化．

對函數概念下定義是教學的難點，在實例歸納概括的基礎上，一方面對于表達形式，可以從口頭語言直觀解釋再到符號語言抽象表示；另一方面類比已有定義的結構，表達各要素之間的邏輯關系．可以借助初中函數定義，體會定義也是命題，命題包括條件和結論，函數定義也是類似的，先指明條件，也就是函數的三要素，即非空實數集合A和B，以及對應關系f，再說明三個要素之間的關系，即對于集合A中的每一個實數x，集合B中有唯一實數y=f(x)與x對應．通過這個過程幫助學生進一步體會數學中下定義的方法．

3.3 概念的精致化與系統化

問題6：利用今天學習的內容，解決下列問題：

問題6.1：對于熟悉的一次函數、二次函數、反比例函數，它們的定義域、對應關系和值域分別是什么？請用函數定義描述這些函數．

問題6.2：今天學習的函數定義與初中學習的函數定義之間的聯系？

問題6.3：請分析函數y=x(10-x)的定義域、對應關系和值域；并嘗試構建一個問題情境，使其中函數的對應關系為y=x(10-x)．[6]

問題6.4：再次思考引入中的問題．

小結等略．

設計意圖利用新知識再次解釋學生熟悉的三類函數，進一步理解函數概念的三要素．通過與初中函數概念的對比分析，讓學生體會函數概念的兩個抽象層次，初中函數的“變量—對應”說，與運動變化背景緊密相連，比較形象、直觀，高中函數的“集合—對應”說，抽象為兩個實數集元素之間的對應關系，更聚焦函數的本質特征，拓展了函數的研究視野與應用的范圍[7]．利用函數解析式構建問題情境，實現從抽象到具體的過程．通過系列問題，幫助學生構建完整的函數概念，促進函數概念的系統化．

4 模型應用中應重點關注的幾個方面

(1)重點關注概念的本質屬性．

概念的本質屬性是概念教學的核心內容．概念教學的目標就是理解概念，理解的認知過程包括解釋、舉例、分類、總結、推斷、比較和說明，比如舉例涉及辨認概念的定義特征，并利用這些特征去選擇或構建一個具體例子[5]．這些過程都需要明確概念的本質屬性，明確構成概念的要素以及要素之間的邏輯關系．

概念教學的核心問題指向概念的本質屬性．通過問題引導學生經歷觀察歸納、直觀感知，對構成概念的要素進行分類與識別，對要素之間的邏輯關系進行分析與建構．比如三角函數是函數的下位概念，與前面學習的其它函數不同，三角函數反映的是“幾何元素之間的對應”，其本質是單位圓上點P的坐標與以OP為終邊的旋轉角之間的對應關系．在概念抽象過程中，人教A版教材借助具體特殊角，經歷“從角的終邊位置的確定，到角的終邊與單位圓的交點，再到交點坐標與角之間的對應關系”的過程，明確三角函數的三要素，建構幾何元素之間的對應關系，這是概念抽象過程中的重點和難點．因此，概念的本質屬性是概念抽象過程中的“路標”，支撐起概念教學的內在邏輯，也是基于數學抽象的概念形成模型應用的關鍵．

(2)重點關注概念形成認知過程的非線性．

對于概念的數學抽象過程，簡約階段是概念抽象的起點，符號階段是概念抽象的重點，普適階段是概念抽象的延伸，認知過程包括分類與識別、分析與建構、歸納與概括、定義與表征，以至精細化系統化．對于具體概念，上述認知過程不是絕對的線性關系，比如在函數概念案例中，分類識別與分析建構兩個認知過程是交疊在一起的，后續具體函數、函數應用等內容的學習也是概念系統化的過程；對于函數單調性，人教A版教材采用了“規-例”法，先用符號語言表達二次函數f(x)=x2的單調性，然后讓學生模仿，描述兩個熟悉的函數的單調性，再給出一般化嚴格的數學表達，更具有概念同化的特點，淡化了歸納與概括的過程．在實際教學中，描述性的概念更注重分類與識別的過程，說明性的概念更強調對邏輯關系的分析與建構．因此，概念抽象的認知過程不是嚴格線性的，每個過程也不是嚴格“均勻分布”的，在應用模型的過程中需要根據實際情況調整．

(3)重點關注概念形成的整體設計．

由于數學概念的抽象性、概念表征的多元性，以及概念形成過程中思想方法的豐富性，對概念教學要進行整體設計．一方面，概念形成是以系統化為標志．系統化是指新獲得的概念納入已有概念體系中，與相關概念建立起邏輯關系，也就是杜賓斯基的APOS模型中的圖式階段．概念系統化主要是通過概念應用來實現的．學生在明確概念的定義、名稱、屬性之后，就進入概念系統化階段，通過概念的應用，不斷完善優化已有概念系統，這個過程需要持續比較長的時間，涉及更多的概念．如函數的概念，得到定義之后，就進入概念的精致化與系統化的過程，這個過程將在后續的函數性質、三角函數等內容中逐步完成．

另一方面，概念抽象過程中蘊含著豐富的思想方法，如從特殊到一般，從具體到抽象，以及分類、歸納、類比等．這些方法是連接數學概念的暗線，具體概念的數學抽象過程，既是運用這些方法的過程，又是進一步理解這些方法的過程．數學思想方法的理解需要學生經歷從直觀到抽象、從模糊到嚴謹、從膚淺到深刻、從模仿到應用、從感性到理性、不斷反思、反復提煉的過程．因此，概念教學需要整體設計，使得概念形成過程成為發展學生數學抽象素養的重要載體，實現《課標》提出的“整體把握教學內容，促進數學學科核心素養連續性和階段性發展．”