方波工況下PMSM 單電流調(diào)節(jié)器控制策略的研究

王 震，周明磊，王琛琛

（北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，北京 100044）

永磁同步電機(jī)PMSM（permanent magnet synchronous motor）具有高功率密度、高效率以及高功率因數(shù)等一系列優(yōu)點(diǎn)，因而被越來越多地應(yīng)用于軌道交通領(lǐng)域。軌道交通領(lǐng)域中逆變器的開關(guān)頻率通常較低，電機(jī)在高速區(qū)通常運(yùn)行在方波工況。方波工況下電機(jī)電壓幅值達(dá)到最大值，完全失去調(diào)節(jié)能力，僅有電壓矢量角可供調(diào)節(jié)，而傳統(tǒng)基于雙電流環(huán)的控制策略不再適用，因此方波工況下控制策略的研究是軌道交通用永磁同步電機(jī)重點(diǎn)研究內(nèi)容之一。

永磁同步電機(jī)方波工況下的控制策略可以分為電流指令計(jì)算和電壓指令計(jì)算兩個部分。其中電流指令計(jì)算環(huán)節(jié)的目的是為了得到合適的電流指令，常用的方法主要包括公式法[1]、查表法[2]、梯度下降法[3]以及負(fù)直軸電流補(bǔ)償法[4]等，其中負(fù)直軸電流補(bǔ)償法原理簡單且魯棒性較好，是目前應(yīng)用較多的一類方法。電壓指令計(jì)算環(huán)節(jié)的目的是根據(jù)得到的d、q 軸電流指令，經(jīng)過一定的控制算法對d、q 軸電壓進(jìn)行調(diào)節(jié)，最終實(shí)現(xiàn)對電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩的控制，其常用的方法大致可以分為3 類：①通過電機(jī)數(shù)學(xué)方程計(jì)算得到電壓指令[5]，魯棒性較差，而且由于沒有電流環(huán)，無法實(shí)現(xiàn)電流的準(zhǔn)確跟蹤控制；②通過基于雙電流環(huán)的控制策略調(diào)節(jié)得到電壓指令[6-7]，但由于方波工況下電壓幅值達(dá)到最大值，無法調(diào)節(jié)，需要對調(diào)節(jié)器輸出的電壓指令重新進(jìn)行復(fù)雜的修正，以匹配方波電壓輸出，計(jì)算復(fù)雜且動態(tài)性能一般；③通過基于單電流環(huán)的控制策略調(diào)節(jié)得到電壓指令[8-14]，具有良好的電流跟蹤性能和動態(tài)性能，同時有效避免了雙電流調(diào)節(jié)器耦合而產(chǎn)生的飽和沖突問題，是目前應(yīng)用最多的一類方法。文獻(xiàn)[8]通過單個電流調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)d 軸電壓并建立電機(jī)的q 軸電壓和電流的線性函數(shù)，修正電機(jī)q 軸電壓的指令值，進(jìn)而得到電壓指令；文獻(xiàn)[9-10]在其基礎(chǔ)上用查表法替代線性函數(shù)的方法來確定q 軸電壓進(jìn)而得到電壓指令；文獻(xiàn)[11]通過電壓幅值與單電流調(diào)節(jié)器輸出的d 軸電壓得到q 軸電壓進(jìn)而得到電壓指令，充分利用了直流側(cè)電壓；文獻(xiàn)[12-13]提出在牽引工況利用d 軸電流調(diào)節(jié)器，在制動工況利用q 軸電流調(diào)節(jié)器來調(diào)節(jié)電壓矢量角，并結(jié)合電壓幅值得到了電壓指令；文獻(xiàn)[14]提出無論是牽引還是制動工況均可以通過單q 軸電流調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)電壓矢量角，并結(jié)合電壓幅值得到了電壓指令。

上述文獻(xiàn)僅對基于單電流環(huán)控制策略的某一種方法進(jìn)行了分析，并未對方波下不同控制策略之間的聯(lián)系與區(qū)別進(jìn)行梳理總結(jié)。本文針對方波下只有電壓矢量角一個變量可供調(diào)節(jié)的現(xiàn)狀，通過分析不同變量之間的關(guān)系，可得方波工況下共有6 種基于單電流環(huán)的控制策略，而目前應(yīng)用于方波工況下的單電流環(huán)控制策略屬于這6 種方法之一。通過建立小信號模型，對這6 種控制策略的穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能進(jìn)行對比分析。最后通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析的正確性。

1 方波下永磁電機(jī)的轉(zhuǎn)矩控制方法

當(dāng)PMSM 運(yùn)行在高速區(qū)時，定子電阻上的壓降可以忽略不計(jì)，在兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的穩(wěn)態(tài)電壓和轉(zhuǎn)矩方程為

式中：ud和uq為定子電壓的直軸和交軸分量；id和iq為定子電流的直軸和交軸分量；Ld和Lq為直軸和交軸電感；ωr為電機(jī)同步電角速度；ψr為電機(jī)轉(zhuǎn)子磁鏈；Te為電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩；Np為電機(jī)的極對數(shù)。

軌道交通用永磁電機(jī)的控制目標(biāo)為轉(zhuǎn)矩，在方波工況下電壓幅值達(dá)到最大值，即usmax=2Udc/π，Udc為直流側(cè)電壓，此時僅有電壓矢量角一個變量可供調(diào)節(jié)。為了證明可以通過調(diào)節(jié)電壓矢量角來控制轉(zhuǎn)矩，需要證明轉(zhuǎn)矩和電壓矢量角始終滿足一一對應(yīng)關(guān)系。定義電壓矢量角θ 為電壓矢量與d 軸電壓的夾角，方波工況下的d、q 軸電壓分別表示為

結(jié)合式（1）～式（3），轉(zhuǎn)矩方程可以通過θ 表示為

基于電機(jī)參數(shù)，電機(jī)轉(zhuǎn)矩Te與電壓矢量角θ的關(guān)系曲線如圖1 所示。θ 的可調(diào)范圍在（0，π）內(nèi)，在此范圍內(nèi)θ 和轉(zhuǎn)矩始終滿足單調(diào)關(guān)系，即一一對應(yīng)關(guān)系，因此可以通過調(diào)節(jié)θ 來控制轉(zhuǎn)矩。

圖1 轉(zhuǎn)矩與電壓矢量角的關(guān)系Fig.1 Relationship between torque and voltage vector angle

除了直接調(diào)節(jié)θ 之外，還可以通過調(diào)節(jié)d、q 軸電壓間接調(diào)節(jié)θ。但由于θ 與d、q 軸電壓并非線性關(guān)系，因此為了證明可以通過調(diào)節(jié)d、q 軸電壓來控制轉(zhuǎn)矩，需要證明轉(zhuǎn)矩和d、q 軸電壓同樣滿足一一對應(yīng)關(guān)系。d、q 軸電壓用電壓幅值可以表示為

結(jié)合式（2）和式（5），轉(zhuǎn)矩方程可以表示為

基于電機(jī)參數(shù)，電機(jī)轉(zhuǎn)矩與d、q 軸電壓的關(guān)系曲線如圖2 所示。由圖2（a）可知，d 軸電壓ud始終和轉(zhuǎn)矩呈單調(diào)關(guān)系，即一一對應(yīng)關(guān)系，因此可以通過調(diào)節(jié)ud來控制轉(zhuǎn)矩；圖2（b）中虛線代表制動工況，實(shí)線代表牽引工況。當(dāng)牽引和制動工況下轉(zhuǎn)矩的絕對值相同時，uq雖然相同，但ud方向相反，故可以通過控制ud的正負(fù)來控制輸出轉(zhuǎn)矩的正負(fù)，即控制電機(jī)運(yùn)行在牽引或制動工況。無論是牽引工況還是制動工況，uq與轉(zhuǎn)矩始終滿足單調(diào)關(guān)系，因此可以通過調(diào)節(jié)uq來控制轉(zhuǎn)矩。

圖2 轉(zhuǎn)矩與d、q 軸電壓的關(guān)系Fig.2 Relationship between torque and d/q-axis voltage

由上述分析可知，通過調(diào)節(jié)θ 和ud、uq可以控制轉(zhuǎn)矩。同時為了進(jìn)一步提高轉(zhuǎn)矩的穩(wěn)態(tài)精度以及動態(tài)響應(yīng)速度，需要加入電流閉環(huán)控制實(shí)現(xiàn)這幾個變量的自動調(diào)節(jié)。

2 基于單電流環(huán)的方波控制策略

為了避免雙電流調(diào)節(jié)器飽和的問題并獲得較好的動態(tài)性能，可以選擇單電流調(diào)節(jié)器對θ 和ud、uq這3 個變量閉環(huán)調(diào)節(jié)。電流調(diào)節(jié)器輸入可以為id和iq，輸出可以為θ 和ud、uq。為了進(jìn)一步了解這6 種單電流調(diào)節(jié)器，需要對調(diào)節(jié)器輸入變量和輸出變量的關(guān)系進(jìn)行分析。

結(jié)合式（1）和式（3），可得id、iq和θ 的導(dǎo)函數(shù)關(guān)系為

牽引工況和制動工況對應(yīng)的θ 的范圍分別為：（π/2，π）和（0，π/2）。由式（8）可知，id和θ 在制動工況呈正相關(guān)，在牽引工況呈負(fù)相關(guān)；iq和θ 始終呈正相關(guān)。

結(jié)合式（1）和式（5），可得id、iq和ud、uq的導(dǎo)函數(shù)關(guān)系為

由式（9）～式（12）可知，id和ud在制動工況呈負(fù)相關(guān)，在牽引工況呈正相關(guān)；iq和ud始終呈負(fù)相關(guān)；id和uq軸電壓始終呈正相關(guān)；vq和uq在制動工況呈正相關(guān)，在牽引工況呈負(fù)相關(guān)。

通過分析上述不同變量之間的聯(lián)系，方波工況下共有6 種單電流環(huán)的控制策略，分別為：單d 軸電流調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)電壓矢量角SDCR-VVA（single daxis current regulator-variable voltage angle）、單d 軸電流調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)d 軸電壓SDCR-VDV（single d-axis current regulator-variable d-axis voltage）、單d 軸電流調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)q 軸電壓SDCR-VQV（single d-axis current regulator-variable q-axis voltage）、單q 軸電流調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)電壓矢量角SQCR-VVA（single q-axis current regulator-variable voltage angle）、單q 軸電流調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)d 軸電壓SQCR-VDV（single q-axis current regulator-variable d-axis voltage）、單q 軸電流調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)q 軸電壓SQCR-VQV（single q-axis current regulator-variable q-axis voltage）。電流指令計(jì)算環(huán)節(jié)框圖如圖3 所示，本文采用負(fù)直軸電流補(bǔ)償法計(jì)算電流指令。電壓指令計(jì)算環(huán)節(jié)框圖，即方波工況下的6 種單電流環(huán)控制策略框圖如圖4 所示。

圖3 電流指令計(jì)算框圖Fig.3 Block diagram of current command calculation

圖4 6 種單電流環(huán)控制策略框圖Fig.4 Block diagram of six single-current loop control strategies

3 穩(wěn)定性及動態(tài)性能分析

建立小信號模型，對這6 種單電流環(huán)控制策略方法的穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能進(jìn)行分析比較。限于篇幅，僅以SQCR-VDV 的控制策略為例進(jìn)行分析。

3.1 控制策略的小信號建模

SQCR-VDV 控制策略的小信號模型框圖如圖5 所示。

圖5 SQCR-VDV 小信號模型框圖Fig.5 Block diagram of small-signal model of SQCR-VDV

小信號模型對應(yīng)的傳遞函數(shù)G（s）為

式中：Δiq和分別為q 軸電流的實(shí)際值和指令值的變化量；a0、a1、a2、a3、b0、b1、b2為系數(shù)，其表達(dá)式分別為

小信號框圖中，參數(shù)ku為q 軸電壓變化量Δuq和d 軸電壓變化量Δud的比值，即

通過勞斯判據(jù)對其穩(wěn)定性進(jìn)行分析。滿足勞斯判據(jù)的參數(shù)關(guān)系有2 組，表示為

這兩組解所對應(yīng)的ku的范圍以及調(diào)節(jié)器參數(shù)范圍均不同，說明在這兩組解對應(yīng)的工況中需要分別選取合適的調(diào)節(jié)器參數(shù)才能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定。

3.2 穩(wěn)定性分析

基于電機(jī)參數(shù)，選取合適的調(diào)節(jié)器參數(shù)對其穩(wěn)態(tài)性能進(jìn)行測試。測試工況為：輕載±0.1Trate、中載±0.5Trate、重載±0.8Trate，電機(jī)頻率范圍為50～65 Hz，極點(diǎn)分布情況如圖6 所示。由圖可知，在任何工況下系統(tǒng)極點(diǎn)均在左半平面，說明該方法具有全局穩(wěn)定性。

圖6 SQCR-VDV 不同工況極點(diǎn)分布Fig.6 Distribution of poles under different working conditions of SQCR-VDV

3.3 動態(tài)性能分析

為了提升系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度，需要選取合適的調(diào)節(jié)器參數(shù)。測試工況設(shè)置為電機(jī)轉(zhuǎn)矩為15 N?m，電機(jī)頻率為65 Hz，不同PI 參數(shù)對系統(tǒng)極點(diǎn)的影響如圖7 所示，圖中，參數(shù)kp的變化范圍為0.1～0.5，箭頭方向代表kp增大方向。由圖7 可見，kp相比于參數(shù)ki對系統(tǒng)極點(diǎn)的影響較小，可以忽略，因此主要分析ki對系統(tǒng)極點(diǎn)的影響。在牽引工況，隨著ki的增大，共軛極點(diǎn)向虛軸靠近，實(shí)軸極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸；在制動工況，隨著ki的增大，共軛極點(diǎn)向虛軸靠近，實(shí)軸極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸。無論是牽引工況還是制動工況，隨著ki增大，系統(tǒng)都將出現(xiàn)超調(diào)和振蕩現(xiàn)象。

圖7 PI 參數(shù)對系統(tǒng)極點(diǎn)分布的影響Fig.7 Influences of PI parameters on the distribution of system poles

固定kp為0.5，選取不同的ki對系統(tǒng)做階躍響應(yīng)測試，結(jié)果如圖8 所示。隨著ki的增大，動態(tài)響應(yīng)速度有所提升，但當(dāng)ki選取過大時，系統(tǒng)逐漸出現(xiàn)超調(diào)和振蕩，因此ki不能選取過大，可選取kp=0.5、ki=2 000。

圖8 不同PI 參數(shù)下的階躍響應(yīng)測試結(jié)果（kp=0.5）Fig.8 Step response test results under different PI parameters（kp=0.5）

3.4 6 種控制策略的比較

通過對比勞斯判據(jù)結(jié)果與文獻(xiàn)[15]推導(dǎo)的有限轉(zhuǎn)速系統(tǒng)電機(jī)有效弱磁區(qū)域，從是否需要切換調(diào)節(jié)器參數(shù)的角度比較這6 種方法，結(jié)果示意如圖9 所示。圖中，陰影部分對應(yīng)的曲線ABDC 為有效弱磁區(qū)域，圓上實(shí)線與虛線分別為勞斯判據(jù)兩組解對應(yīng)的ku的范圍，可見，SQCR-VDV 和SQCR-VVA 這2種方法僅使用1 組調(diào)節(jié)器參數(shù)即可實(shí)現(xiàn)全弱磁區(qū)域的穩(wěn)定運(yùn)行，而其他4 種方法在使用1 組調(diào)節(jié)器參數(shù)的條件下均無法實(shí)現(xiàn)全弱磁區(qū)域的穩(wěn)定運(yùn)行。

圖9 6 種控制策略的比較結(jié)果Fig.9 Comparison results among six control strategies

4 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文的仿真和實(shí)驗(yàn)采用的電機(jī)參數(shù)如表1 所示。

表1 仿真與實(shí)驗(yàn)所用電機(jī)參數(shù)Tab.1 Motor parameters in simulation and experiment

4.1 仿真結(jié)果

仿真工況設(shè)置為：電機(jī)頻率65 Hz，轉(zhuǎn)矩在7 s時由25 N?m 切換到-25 N?m，且在整個運(yùn)行過程中每種控制策略僅采用1 組調(diào)節(jié)器參數(shù)。6 種控制策略穩(wěn)態(tài)性能比較的仿真結(jié)果如圖10 所示，圖中Flgwk為弱磁標(biāo)志位，其值為100 時為弱磁控制。由圖可見，SQCR-VVA 和SQCR-VDV 這2 種控制策略在整個切換過程中電流和轉(zhuǎn)矩均能穩(wěn)定跟隨，即可以在不改變調(diào)節(jié)器方向的情況下實(shí)現(xiàn)方波控制；SDCR-VQV 在制動輕載工況會存在電流和轉(zhuǎn)矩不能穩(wěn)定跟隨的現(xiàn)象，而其他3 種方法在進(jìn)入制動工況后會存在電流和轉(zhuǎn)矩不能穩(wěn)定跟隨的現(xiàn)象，即這4 種方法在僅使用1 組調(diào)節(jié)器參數(shù)的條件下均存在不穩(wěn)定區(qū)域。仿真結(jié)果與圖9 所示的理論分析結(jié)果一致，驗(yàn)證了理論分析的準(zhǔn)確性。

圖10 穩(wěn)態(tài)性能比較的仿真結(jié)果Fig.10 Simulation results of steady-state performance comparison

仿真工況設(shè)置為：電機(jī)頻率為65 Hz，在4 s 時轉(zhuǎn)矩由10 N?m 階躍至15N?m。6 種控制策略動態(tài)性能比較的仿真結(jié)果如圖11 所示。由圖可見，相較于其他5 種方法，無論是牽引工況還是制動工況，SQCR-VDV 都具有較優(yōu)的動態(tài)響應(yīng)速度，動態(tài)響應(yīng)時間大約為30 ms。

圖11 動態(tài)性能比較的仿真結(jié)果Fig.11 Simulation results of dynamic performance comparison

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證上述理論分析和仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性，搭建如圖12 所示的永磁同步電機(jī)對拖實(shí)驗(yàn)平臺，實(shí)驗(yàn)電機(jī)參數(shù)見表1。

圖12 實(shí)驗(yàn)平臺Fig.12 Experimental platform

實(shí)驗(yàn)工況與仿真工況一致，6 種控制策略穩(wěn)態(tài)性能比較的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖13 所示。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，SQCR-VVA 和SQCR-VDV 這2 種控制策略可以在不改變調(diào)節(jié)器方向的情況下實(shí)現(xiàn)方波控制，SDCR-VQV 在制動輕載工況會存在電流和轉(zhuǎn)矩不能穩(wěn)定跟隨的現(xiàn)象，而其他3 種方法在進(jìn)入制動工況后會存在電流和轉(zhuǎn)矩不能穩(wěn)定跟隨的現(xiàn)象，即這4 種控制策略在僅使用1 組調(diào)節(jié)器參數(shù)的條件下均存在不穩(wěn)定區(qū)域。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果基本一致，進(jìn)一步證明了理論分析的準(zhǔn)確性。

圖13 穩(wěn)態(tài)性能比較的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.13 Experiment results of steady-state performance comparison

圖14 為SQCR-VDV 控制策略下電機(jī)頻率為65 Hz，轉(zhuǎn)矩為15 N?m 工況時電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行的結(jié)果。實(shí)驗(yàn)工況與仿真工況一致，6 種控制策略動態(tài)性能比較的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖15 所示，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果基本一致，相較于其他5 種方法，SQCRVDV 控制策略具有較優(yōu)的動態(tài)性能。

圖14 SQCR-VDV 的穩(wěn)態(tài)波形Fig.14 Steady-state waveforms of SQCR-VDV

圖15 動態(tài)性能比較的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.15 Experimental results of dynamic performance comparison

5 結(jié)語

本文通過推導(dǎo)轉(zhuǎn)矩和電流與電壓矢量角和d、q 軸電壓的關(guān)系，可知方波工況下共有6 種單電流環(huán)的控制策略。通過建立小信號模型對這6 種控制策略的穩(wěn)態(tài)性能比較可知，SQCR-VVA 和SQCRVDV 這兩種控制策略僅使用1 組調(diào)節(jié)器參數(shù)便能實(shí)現(xiàn)全弱磁區(qū)域的穩(wěn)定控制；對這6 種控制策略的動態(tài)性能比較可知，SQCR-VDV 這種方法具有最優(yōu)的動態(tài)性能。最后通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了上述分析的準(zhǔn)確性。