小圖形 大智慧
——數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用

徐金燕

(福建省廈門(mén)第二實(shí)驗(yàn)小學(xué) 361009)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)研究的兩大對(duì)象，兩者互相依存，不可分割.抽象的數(shù)量關(guān)系常常有直觀的幾何意義，直觀的幾何性質(zhì)也常常需要準(zhǔn)確的數(shù)量關(guān)系描述.在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，數(shù)和形完美的配合，可以準(zhǔn)確的把握題目中條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，既有幾何的直觀，又有代數(shù)意義的準(zhǔn)確.因此，教師在教學(xué)，以及幫助學(xué)生分析題目時(shí)，可以利用數(shù)形結(jié)合，使得教學(xué)更形象直觀，也漸漸把數(shù)形結(jié)合的思想植入學(xué)生的思維中.

一、以形助數(shù)，幫助學(xué)生建立數(shù)量關(guān)系

當(dāng)題目中的文字信息比較多的時(shí)候，可以適當(dāng)?shù)漠?huà)圖，利用圖形的直觀性，幫助學(xué)生理解題意，分析數(shù)量關(guān)系，使抽象的問(wèn)題變得具體.

例如人教版《簡(jiǎn)易方程》這一單元的習(xí)題：獵豹是世界上跑的最快的動(dòng)物，速度能達(dá)到110km/h，比大象的2倍還多30km.大象最快能達(dá)到每小時(shí)多少千米？

這道題里的兩個(gè)量，大象的速度和獵豹的速度，可以先找到“1倍數(shù)”，然后再找多倍數(shù)和它的關(guān)系.教師可以讓學(xué)生找到后，自己用圖表示出來(lái)兩者的關(guān)系，最后可以在板書(shū)上畫(huà)圖如圖1.

圖1

學(xué)生通過(guò)直觀地線段圖可以列出方程：2x+30=110.

又如：甲乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，經(jīng)過(guò)1.5小時(shí)在離中點(diǎn)18千米處相遇.已知甲車的速度是乙車的1.2倍，相遇時(shí)，兩車各行駛了多少千米？

解這道題時(shí)，學(xué)生會(huì)設(shè)乙車的速度為xkm/h，則甲車的速度是1.2xkm/h，然后誤以為甲車比乙車多走了18千米，從而列出錯(cuò)誤的方程.實(shí)際上，如果畫(huà)圖出來(lái)，這道題的等量關(guān)系很好找出來(lái),如圖2.

圖2

讀圖就可以知道，甲其實(shí)比乙多走了兩個(gè)18km，等量關(guān)系就是“甲的路程-乙的路程=18km×2”，進(jìn)而可以列出方程：1.2x·1.5-x·1.5=18×2.

以數(shù)解形，幫助學(xué)生建立圖形觀念.還有一種類型的圖形題，學(xué)生不動(dòng)手畫(huà)，只靠憑空想象，或者是畫(huà)了圖，但是沒(méi)有結(jié)合準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

例如：在一個(gè)長(zhǎng)20厘米，寬4厘米的長(zhǎng)方形紙條里剪出如圖3所示梯形，最多能剪幾個(gè)？

圖3

很多學(xué)生直接算出長(zhǎng)方形的面積S長(zhǎng)=4×20=80cm2，再算出梯形的面積S梯=(3+5)×4÷2=16cm2，然后算出80÷16=5(個(gè)).然而，這道題經(jīng)過(guò)畫(huà)圖就會(huì)發(fā)現(xiàn)根本剪不了5個(gè)，如圖4.

圖4

這樣剪完4個(gè)直角梯形后，剩下的部分雖然面積也有16平方厘米，但是不能再剪成滿足題意的圖形.因此，此類題目不是大面積除以小面積就可以的，一定要結(jié)合圖形來(lái)畫(huà)一畫(huà).

另外一種題目是雖然學(xué)生畫(huà)了，但是因?yàn)閷?duì)題目規(guī)律的理解不深刻，也導(dǎo)致題目做錯(cuò)：在長(zhǎng)7.2分米，寬1分米的長(zhǎng)方形卡紙上，剪出底是1.2分米，高是1分米的等腰三角形(如圖5)，最多能剪出幾個(gè)？

圖5

有了之前的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生知道考慮邊長(zhǎng)了，通過(guò)7.2÷1.2=6(個(gè))，算出一面可以剪6個(gè)，但是接下來(lái)錯(cuò)誤的以為另一邊也可以剪6個(gè)，直接得出6×2=12(個(gè)).但是通過(guò)數(shù)據(jù)進(jìn)行畫(huà)圖可以知道，因?yàn)橛袃深^的損耗，剩下的另一邊只能剪出6-1=5(個(gè))，所以總共是11個(gè)這樣的三角形(如圖6).

圖6

在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)以數(shù)想形的思想，學(xué)生從單純的計(jì)算和觀察轉(zhuǎn)化到一邊畫(huà)一邊結(jié)合數(shù)據(jù)想，并且提煉出相應(yīng)的抽象規(guī)律.因此，在分析數(shù)學(xué)題目時(shí)，數(shù)和形缺一不可.在此過(guò)程中，鍛煉了學(xué)生的觀察能力，實(shí)際動(dòng)手操作能力，還有想象能力.

此外，在學(xué)習(xí)植樹(shù)問(wèn)題的時(shí)候，也可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合，用畫(huà)圖的方式，讓學(xué)生感受到樹(shù)和間隔的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖7.

圖7

這樣就可以不用死記公式，通過(guò)簡(jiǎn)單的畫(huà)一畫(huà)知道，當(dāng)只種一端時(shí)，樹(shù)和間隔正好一一對(duì)應(yīng)，所以，棵數(shù)=間隔數(shù).當(dāng)兩端都種的時(shí)候，多出的一棵樹(shù)沒(méi)有間隔與之對(duì)應(yīng)，棵數(shù)=間隔數(shù)+1，以此類推.

二、數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生解題能力

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，同時(shí)利用以形助數(shù)，以數(shù)解形，達(dá)到數(shù)形互譯，將題中的數(shù)字信息在圖中標(biāo)注出來(lái)，再利用圖形的直觀，幫助分析各個(gè)量之間的關(guān)系，從而解決問(wèn)題.五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)的《平面圖形的面積》這一單元，就對(duì)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用非常廣泛，如果只是單靠看題中的信息，或者單靠看圖，是沒(méi)有辦法準(zhǔn)確的解決問(wèn)題的.

例如：如圖8，組合圖形是由一個(gè)正方形和一個(gè)三角形組成，已知正方形周長(zhǎng)是12cm，求這個(gè)組合圖形的面積.

圖8

這道題應(yīng)該先求出正方形的邊長(zhǎng)是12÷4=3cm，接下來(lái)用7-3=4cm，求出三角形的高，而這條高對(duì)應(yīng)的底正好是挨著正方形那條邊，也就是3cm，但是教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在求出4cm之后，就認(rèn)為三角形的邊長(zhǎng)就是4cm，從而使題目做錯(cuò).歸咎其原因，就是沒(méi)有把題中信息和圖結(jié)合在一起.因此在教學(xué)這一單元的知識(shí)的時(shí)候，教師要引導(dǎo)學(xué)生做標(biāo)注，比如把知道的線段長(zhǎng)準(zhǔn)確的標(biāo)在圖中相應(yīng)位置，接著對(duì)圖形進(jìn)行分析，分析的過(guò)程中也要結(jié)合數(shù)據(jù).

根據(jù)前面一系列的研究可以得出，數(shù)形結(jié)合不但是解決問(wèn)題過(guò)程的一個(gè)體現(xiàn)，也體現(xiàn)了學(xué)生將抽象思維和形象思維結(jié)合在一起共同協(xié)作的過(guò)程.有了形象思維的支持，抽象思維變得更具體明了，使解決問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單.數(shù)形結(jié)合方法也是人們研究和解決問(wèn)題時(shí)，利用數(shù)據(jù)的精確性和圖形的直觀化采取的利于問(wèn)題簡(jiǎn)單解決的策略和方法.