淺談GeoGebra在橢圓解題教學中的應用

張國梅

【摘要】2020年新高考方案推出“3+3”模式，數學成為必考科目之一.在新出版的《普通高中數學課程標準（2017年版）》的思想下，如何利用信息技術環境提高學生學習數學的興趣，培養學生的數學核心素養，已成為課程改革的重點問題.

【關鍵詞】高中數學;信息技術;核心素養

【基金項目】本文系廣東省教育技術中心2018年度青年課題《利用信息技術培養學生數學核心素養的研究》（課題立項號：18JX07230）的研究成果之一

在現代的社會中，信息技術已經融入生活中的各個領域，當然也為新時代的教學提供了更多的選擇與機會.在高中數學教學過程中，特別是圓錐曲線這一章中，利用信息技術軟件作為平臺，能夠創設多樣性的教學方式，提高學生學習的興趣，豐富教學內容，增加教學的有效時間，拓寬學生的解題思路，提高學生的解題速度.本文主要講解在信息技術環境中GeoGebra在橢圓解題中的應用.

例1 如圖1，已知一個動圓與兩個定圓（x-2）2+y2=14和（x+2）2+y2=494均相切，動圓圓心的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程;

（2）過點F（2，0）作兩條互相垂直的直線l1，l2，設l1與曲線C交于A，B兩點，l2與曲線C交于C，D兩點，線段AC，BD分別與直線x=2交于M，N兩點.求證MF∶NF為定值.

解析 （1）在求曲線C的軌跡方程之前，先確定兩定圓之間的位置關系.兩個定圓為（x-2）2+y2=14和（x+2）2+y2=494，

設動圓圓心為P，半徑為r，

兩定圓的圓心分別為F1（2，0），F2（-2，0），

半徑分別為12，72，

∵F1F2=22<72-12=3，

∴兩個定圓內含.

∵動圓P與兩個定圓均相切，

∴PF1=12+r，PF2=72-r，∴PF1+PF2=12+72=4，

∴動點P的軌跡為以F1（2，0），F2-2，0為焦點，以4為長軸長的橢圓，∴曲線C的方程為x24+y22=1.

（2）當l1，l2平行于坐標軸時，易知MF∶NF=1.

當l1，l2不平行于坐標軸時（如圖2），

設l1：x=my+2，

l2：x=-1my+2，

將l1的方程代入曲線C的方程消去x化簡得：

（m2+2）y2+22my-2=0，

∴yA+yB=-22mm2+2，yAyB=-2m2+2.

同理可知yC+yD=22m2m2+1，yCyD=-2m22m2+1.

直線AC：y-yAyA-yC=x-xAxA-xC，

令x=2可得y=2-xAyA-yCxA-xC+yA.①

∵l1與曲線C交于A，B兩點，l2與曲線C交于C，D兩點，

∴xA=myA+2，xC=-1myC+2，

代入①式化簡得y=（m2+1）yAyCm2yA+yC，

∴M2，（m2+1）yAyCm2yA+yC，同理可得N2，（m2+1）yByDm2yB+yD.

∵（m2+1）yAyCm2yA+yC+（m2+1）yByDm2yB+yD

=（m2+1）yAyCm2yA+yC+yByDm2yB+yD

=（m2+1）m2yAyB（yC+yD）+（yA+yB）yCyD（m2yA+yC）（m2yB+yD）

=（m2+1）m2·-2m2+2·22m1+2m2+-22mm2+2·-2m21+2m2（m2yA+yC）（m2yB+yD）=0，

∴MF=NF.綜上所述，MF∶NF為定值1.

分析 此題在GGB軟件技術下，第（1）問學生通過直觀的圖形首先了解了兩個定圓的位置關系：內含，從而確定所要求的動圓與小圓外切，與大圓內切，這樣容易建立方程關系求解曲線C的軌跡方程;第（2）問由于線段AC與BD都是過定點F的動直線，則點M，N都是隨著動直線變化而變化，首先從兩條特殊的直線下筆，當l1，l2平行于坐標軸時，能夠得到特殊情況下的MF∶NF=1，然后討論不平行于坐標軸時，也就是一般情況下的兩條動直線，設定直線方程，求出M，N兩點坐標.這道題目對學生的數學運算能力要求比較高，不僅要求學生能夠利用圖形與圖形之間的關系抽象出數學概念、一般的規律，還要能夠用數學的語言來表示.

例2 如圖3，已知A-2，0，B（2，0），點C，D依次滿足AC=2，AD=12AB+AC.

（1）求點D的軌跡.

（2）過點A作直線l交以A，B為焦點的橢圓于M，N兩點，線段MN的中點到y軸的距離為45，且直線l與點D的軌跡相切，求該橢圓的方程.

（3）在（2）的條件下，設點Q的坐標為1，0，是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PA，PB都相切？如果存在，求出P點坐標及圓的方程;如果不存在，請說明理由.

解析

（1）由題目知，AC=2，A-2，0，可得C點是以A點為圓心，以2為半徑的圓上的動點，則可以得到C點的軌跡方程為（x+2）2+y2=4.

由AD=12AB+AC得

點D為線段BC的中點.

假設D（x，y），Ca，b，又B（2，0），

∴2x=a+2，2y=b+0 a=2x-2，b=2y.

∵a+22+b2=4，

∴將上式代入得x2+y2=1.

（2）如圖4，設直線l的方程為y=k（x+2），①

橢圓的方程為x2a2+y2a2-4=1（a2>4），②