從“十字架”基本相似三角形出發的試題改編及反思

阮凱能

[摘? 要] 基礎的幾何圖形蘊含豐富的幾何變化和數學模型，是編題的好素材. 文章以“矩形中的十字架型”為基礎圖形，編擬不同的試題，達到激發學生思維、提升學生綜合能力的目的.

[關鍵詞] 基礎圖形;十字架型;改編

基礎的幾何圖形，往往蘊含豐富的幾何變化和數學模型. 因此，這樣的圖形是我們改編和命題的好素材. 數學教師應能夠挖掘圖形特征，合理更改結構、巧妙變化圖形、靈活整改條件，以改編題目來達到激發學生思想、考查學生綜合能力的目的.

改編背景

筆者在講授一節中考專題復習課“矩形中的十字架型”中，提出了十字架這個基礎模型. 如圖1，矩形中的垂直線段構成一組相似三角形（△ADE∽△BAC），兩條垂直線段的比等于矩形的長寬比 = . 我們稱圖1這個模型為“十字架”模型. 除了這兩個三角形相似以外，也易證明在這個圖形中所有的三角形都是相似的.

然而，在后續的練習中，筆者設置了這樣一個問題：如圖2，請找出圖中有哪些相似的三角形？失望的是，學生受模型學習的負向遷移，顧此失彼，只能找出一小部分的相似三角形. 實際上，圖中藏著許多組教師經常歸納總結的特征三角形，例如：全等三角形（△ADG≌△CBH）、射影定理中的相似三角形（△AGE∽△DGA）、“A”字型相似三角形（△AEG∽△ABH）、“8”字型相似三角形（△AEG∽△CDG）、“十字架”型的相似三角形（△ADE∽△BAC）……

題目改編

針對這個有眾多特征的圖形，為了激發學生對于圖形的全面分析和綜合應用能力，筆者在之后的教學中以“雙十字架”為模型改編了一系列的綜合壓軸題.

原稿：發現全等相似，綜合運用.

命題說明：

原稿筆者的意圖是想讓學生能整體把握這個圖形的特點，考查學生對于圖形中全等三角形、相似三角形的觀察和運用.

題目：

如圖3，在矩形ABCD中，DE⊥AC于點G，BF⊥AC于點H，

（1）證明：EG=FH;

（2）若AD=1，AB=3，求AG;

（3）若四邊形BEDF為菱形，AE=1，求菱形的邊長.

解析 （1）（2）略.

（3）設菱形邊長為x，

由于△AEG∽△ABH，可得BH=（1+x）EG.？搖

由于△AGD≌△CHB，可得DG=BH=（1+x）EG，ED=EG+GD=（2+x）EG=x.

由射影定理可得AE2=EG·ED，代入x2-x-2=0，則x=2，菱形的邊長為2.

分析 本題前兩問比較簡單，學生只需要關注單一的兩個三角形的全等或者相似. 第三問則要綜合運用前面的全等和相似的結論，學生要關注到更加全面的三角形之間的關系，能夠充分挖掘幾個三角形的相似. 同時，運用簡單的設元思想，用方程去解決問題也會讓本題的解答更加容易.

第1稿：變化基本圖形，本質不變.

命題說明：

十字架模型在矩形中的結論是可以延續到平行四邊形甚至三角形中的. 將原題中的矩形變成平行四邊形時，筆者發現上面的全等和相似圖形也基本會得到保留. 同時，增加垂直的條件來構造更多的相似的直角三角形也是筆者的改編方向之一. 于是，筆者設計了以一般的平行四邊形為背景的第1稿.

題目：

如圖4，在平行四邊形ABCD中，BD=12，BD⊥AE，BD⊥CF，

（1）求證：BG=DH.

（2）設BE∶EC=k，解決以下問題：

①若k= ，四邊形AECF的面積為48，求GE;

②若k= ，四邊形AECF為菱形，求GE.？搖

解析 （1）略.

（2）①由于BE∶EC=1∶4，那么BG∶GH∶DH=1∶4∶1. 由于BD=12，那么GH=8. 四邊形AECF的面積為48，GH為四邊形的高，則AE=6. 由于△BGE∽△DGA，則GE=1.

②如圖5，連結AC，EF，由中心對稱知道O平分EF. 由于BE∶EC=1∶2，BG∶GO=1∶1，則BG=3，GO=3. 設GE=x，由于△BGE∽△DGA，則AG=3x. 由射影定理可得GO2=AG·GE，代入3x2=9，得x= ，則GE= .

分析 從矩形到平行四邊形，圖中仍然保留了兩個垂直的十字架. 學生仍要觀察圖形中的幾組全等三角形和相似三角形. 在改編過程中，圖形的核心特征和結論并沒有改變.

第二問考查了菱形的知識點. 學生能聯想到對角線垂直，就能發現新的相似三角形（△AGO∽△OGE）. 再利用幾組相似三角形之間的比例轉化，就可以建立方程.

第2稿：套嵌二次函數，形藏其中.

命題說明：

函數和幾何，是學生初中學習的重要板塊. 設計一道函數與圖形相結合的大題，也是筆者思考改編設計的一個方向. 筆者希望命制一道以第一稿為基礎的幾何與函數綜合題，能讓學生抓住幾何特點，挖掘函數隱藏信息，從而解決問題.

題目：

如圖6，矩形OABC在直角坐標系中，函數y=ax2-2ax+c交AB于點D，交OC于點E，

（1）當點B坐標為（2，4）時，若y=ax2-2ax+c的頂點恰好在BC上，且∠CBE=∠AOD，求函數的解析式;

（2）當點B坐標為（m，2m）時，連結AC，若AC⊥OD于點F，AC⊥BE于點G，y=ax2-2ax+c的對稱軸恰好過點G，求函數的解析式.

解析 （1）由于函數y=ax2-2ax+c，可知函數對稱軸為x=1. 由于頂點在BC上，可知頂點P坐標（1，4）. 由于B（2，4），可知點D、點E關于x=1對稱，OE=AD.？搖 由于∠CBE=∠AOD，可知△BCE≌△OAD，則CE=AD，那么OE=CE，則E（0，2），D（2，2）. 代入P（1，4），E（0，2），可知函數解析式：y=-2x2+4x+2.

（2）易證明△BCE∽△COA，那么CE=0.5m，則 = . 由于△CEG∽△COF，則 = = . 由全等可知：CG=AF，則CG∶GF∶AF=1∶3∶1. 由于函數對稱軸恰好過點G，則點G的橫坐標為1. 根據比例關系，那么m=5，則E（0，7.5），D（5，2.5），代入可知函數解析式：y= - x2+ x+ .

分析 本題中學生要挖掘函數y=ax2-2ax+c的隱藏信息：對稱軸為x=1;同時也要挖掘幾何圖形的信息：多組的全等三角形和相似三角形. 用幾何條件來提供代數的條件，比較好地體現了數形結合的思想. 第二小題中，學生既可以用比例關系求得m的值，也可以用常規方法去表示G點的坐標. 題目起點較低，能讓不同思維層次的學生都有所收獲.？搖？搖？搖？搖

第3稿：挖掘中心對稱，加入圓形.

命題說明：

從整體上看，這個圖形是以長方形的中心為對稱中心的圖形. 從這個特點分析，在這個圖形上添加其他的中心對稱圖形，既能豐富圖形的內涵，同時又能保留圖形的優美性質. 筆者在嘗試以后，考慮到垂直與圓有很多結論，于是在原圖形上添加一個圓，命制了第3稿.

題目：

，矩形ABCD中，DE⊥AC于點G，BF⊥AC于點H. 請完成以下問題：

（1）證明：△AGE≌△CHF;

（2）若AD=3，AB=4，求AG和△ADE的面積;

（3）連結EF，以EF為直徑作圓，分別交DE、BF于點M、N，若GM∶MD=1∶2，AG=3，求圓的半徑.

解析 （1）（2）略.

（3）如圖8，由中心對稱性質可知EF與AC的交點就是圓心O. 由垂徑定理知EG=MG. 由于GM∶MD=1∶2，則EG∶GD=1∶3. 由△AGD≌△CHB可得DG=BH，則EG∶BH=1∶3. 由于△AEG∽△ABH且AG=3，可得GH=6，OG=3. 由射影定理可得AG2=EG·GD，代入EG= ，則r= =2 .

分析 對比第1稿，第3稿題目考查的知識點更加靈活多樣. 從大的整體入手，學生要把握圖形的中心對稱，尋找圓心. 從小的圓和垂直入手，則提醒學生去聯想垂徑定理，計算半徑.

改編后本題的關鍵是靈活轉化GM∶MD=1∶2這個條件，將這個比例轉化到不同的相似三角形中去. 第3稿的改編，仍然需要學生觀察運用圖形中的相似和全等三角形，圖形的核心特征和考查點仍然得到了很好的保留，幾個經典模型的組合也很好地考查了學生的綜合運用能力.

總結

1. 利用圖形的變化，特殊到一般相互轉化

改編題目的時候，最常見的思路就是變化圖形，這里使用平移、旋轉、對稱又是最常見的變化方式. 對于基礎形狀，我們在編題的時候又可以考慮從特殊到一般地進行探究發現. 例如，在原稿到第1稿的改編中，筆者就是把矩形變化成了平行四邊形. 反過來，我們也可以在一般的圖形上面加入一些特殊的形狀來引發學生進一步的探究思考. 例如，在原稿和第1稿中筆者最后都加入了菱形，豐富了題目的內涵. 靈活變化基礎圖形，發掘圖形變化中“不變的內核”，這是改編者的重要的技能.

2. 整合條件，調整結構，凸顯考查方向？搖

題目的條件變化會讓題目煥然一新. 正確的改編要讓題目的一些條件隱藏起來，一些結論顯現出來. 例如，第3稿中筆者在最后一問中給出了“GM∶MD=1∶2”這個條件，凸顯了比例關系，是希望學生去聯想轉化相似的比例線段. 選擇半徑作為所求結論，是因為求圓的半徑是較常見的題型，筆者期望學生能夠聯想垂徑定理去求半徑. 利用條件的變化，我們可以改變考查方向和意圖. 對于題目的條件和結論的調整轉化能讓試題的考查方向變得清晰. 另外，變更條件和結論的方式，也常常能讓題目有更多的拓展可能.

3. 組合基本模型，創造改編方向

解決復雜的幾何題目往往需要學生有能夠從其中剝離出一些基礎的數學模型的能力，教師也經常會在日常的教學中補充滲透很多數學模型. 同樣地，對于題目的改編我們也可以參考這類方法，在原來的圖形上構造基礎模型或者將幾個基礎圖形進行組合重構. 在第1、2、3稿中筆者的改編想法都是緊緊圍繞對原稿中原本的圖形增添一些基本圖形來展開的，加入圖形、加入坐標系甚至加入函數都是我們可以去思考改編題目的方向.

同時，我們可以將大題分小題設置，凸顯其中的某些基礎模型，這會讓題目有梯度，同時也是設計探究發現類大題的重要方法.